IV
xz^-f y = - —
TT 27r
C'est un demi-cercle. Cliacun des autres segments maxima se compose d'un certain nombre de cercles entiers superposés , plus im demi-cercle.
Le résultat obtenu pour le segment maximum maximorum pouvait être prévu, en remarquant que si Ion juxtapo-
i34 DEUXIÈME PARTIE.
sait au segment maximum un second segment égal^ de manière qu'ils fussent de côtés différents de la corde commune, on aurait un contour fermé, de longueurs/, qui devrait embrasser une aire maximum, propriété qui n'appartient qu'au cercle.
La seconde solution
lang — = —
fournit aussi une infinité de valeurs réelles pour x, que l'on pourra construire par l'intersection des deux lieux géométriques
y •=. Zy y z=z lang z , z désignant le rapport
A ces valeurs de x répondent des minima pour la foncer ^ '' t ^ dx^ la
On a aussi, pour ces valeurs de a:,
tion r; car elles réduisent -f- à H cos
^ dx^ ix^ IX
Px
PoUr x =00 , on a y = o 5 l'arc se réduit à une ligne droite.
Les maxima et minima doivent se succéder alternativement. En effet , les valeurs de — > qui répondent aux maxima,
sont
et si l'on représente par la suite o , a , |3 , y , cî, . . . les va^ leurs du même rapport qui répondent aux minima , on a
EXERCICES d'analyse. i35
On peut se proposer une question de maximum semblable à celle que nous venons de résoudre, pour les volumes des segments sphériques ayant une surface donnée , et appartenant à des sphères de rayons variables.
4. Etant donnés deux arcs de grands cercles d*une sphère , perpendiculaires entre eux, et deux points A et B sur l'un d'eux , on propose de déterminer sur l'autre arc un point C , tel que l'angle ACB du triangle sphérique qui a ces trois points pour sommets , soit maximum ou minimum (fig. 27).
Soient DA = a, DB = Z» , î>C = x.
Le rayon de la sphère étant pris pour unité , on a
{.) ung ACB=tang(DCB-DCA)= . ^i"(^-^)'»i°" , , ^ .
°^ ' smasm^+cosacos6sm'x
• Posons
sinasin^ = A, cosacos^==B.
Comme sin [b — a) est un facteur constant et positif, il s'agit de déterminer les valeurs de x, propres à rendre maximum ou minimum l'expression
siD.r
A -h B sin' X
On égale — à zéro , et l'on a
ces J7(A — Bsin'd7)= o,
équation à laquelle on satisfait de deux manières.
1°. Soit cosx = o ; comme x est compris entre o et fr, on
aura a: = -9 et pour cette valeur de x , on trouvera
riy^ (A-B ) fW (AH-B)^
l36 DEUXIÈME PA.RTIE.
Cette valeur de -^ sera négative , si l'on a A — B > o , ou bien
CCS (fl -h ^) <C o ) c'est-à-dire - : « -h ^ <[
Dans ce cas, tang ACB, et, par suite, l'angle ACB lui^ même sera maximum.
Au contraire , la valeur de -r^ sera positive , si l'on a a-^ù<^-j ou û 4- > — 5
et il y aura minimum.
Enfin -r-: se réduit à zéro , si l'on a
1 ^ J ^^ «H-6 = — j ou a -\- b -=.
On peut alors recourir aux dérivées d'ordre supérieui?, et l'on s'assure ainsi que -r-^ s'annule , et que -7^ prend une valeur
négative 5 mais il est plus simple de remarquer que l'exprès^
sionde— > qui se réduit, dans le cas qui nous occupe, à
— =~rTi P^sse évidemment du positif au négatif, lors-
i\. [ I *T~ sin x\
que X atteint et dépasse — Il y a donc maximum,.
TT
La formule (i ) donne , pour a: = - 9
tang ACB = tang (6 — « ) , ou ACB = ^ — a.
L'arc {h — a) ou la base AB du triangle qui jouit de la propriété du maximum ou minimum, mesure donc l'angle ACB. Effectivement, si l'on prend l'arc DC égal à un quadrant, le point C sera le pôle de l'arc de grand cercle PAB \ les côtés AC'^ BC seront aussi égaux au quadrant.
EXERCICES d'analyse. iSj
2°. Soit A — B sin* x = o , d'où sin x == i/ - ; nous ne
prenons que le signe H- du radical, attendu que Tare x est
compris entre o et tt. Pour que cette valeur de sin x soit réelle
A et plus petite que i , on doit avoir ^ <C « <C ' î c'est-à-dire
cosûcosô^o et cos(ûH-^)^o, d'où l'on conclut que les deux arcs a et ft devront être tous deux plus petits, ou bien tous deux plus grands que -*, et, déplus, leur somme sera, dansle premier cas, plus petite que
-; dans le second cas, plus grande que — La valeur de
-;--? poursma: = i/- > est -=£: elle est négative ;
par conséquent il y a maximum. I^a formule (i) donne pour
sinx =yg
tang ACB = -^ ,
V sin 2 a sin 2^
ou, plus simplement,
. , sinf^ — a)
sin(6 -4- a)
Comme à un même sinus répondent deux arcs supplémentaires, X aura deux valeurs, telles que DC et l>a" = 'K—DC"(fig, 28). Au milieu de l'arc C'C'' se trouve le point C pour lequel l'angle ACB est minimum, comme on l'a vu dans la première partie de cette discussion.
En résumé , le problème comporte au plus trois solutions , savoir : deux maxima séparés par un minimum , et au moins une solution qui est alors un maximum. Pour cju'il y ait trois solutions , il faut et il suffit que la somme
plus petite que — -, il n'y a qu'une solution^ l'angle AC'B
l38 DEUXIÈME PARTIE.
a-\-b soit plus petite que - ou plus grande que — \ alors,
si Ton conçoit que le sommet C du triangle cherché, d'abord situé en D, s'élève sur l'arc de grand cercle dans le sens DCE, Tangle ACB, d'abord nul, ira en croissant et atteindra un premier maximum AC'B, puis un minimum AC B à 90° de distance des extrémités D et E de l'arc , puis un second maximum AC'B , Q'" étant aussi distant de E que Qa" l'est de D; enfin il redeviendra nul au point E.
Lorsque la somme a -H i est égale à - ou à — > * les deux
points C, £a"' se confondent avec C'*, il n'y a plus qu^ une solution, et l'angle AC B est alors maximum.
Enfin , quand la somme a -j- è est plus grande que - et
est maximum.
Nous n'avons pas égalé -j- à l'infini 5 on reconnaît aisé-
ment que celte nouvelle équation ne fournirait ni maximum ni minimum. En effet, la valeur de x qui satisferait
à l'équation
A -f- B sin^ x=:o
rendrait tang ACB infinie , ou l'angle ACB droit 5 et lorsque X , croissant à partir de o ,- atteindrait et dépasserait celle valeur , le dénominateur de tang ACB , d'abord positif, deviendrait négatif, tandis que le numérateur conserverait le signe H- 5 l'angle ACB, d'tibord aigu, deviendrait obtus: il continuerait donc à croître.
Si l'angle des deux arcs de grands cercles D AE , DCE , n'était pas supposé 'droit , on serait conduit à chercher le maximum d'une expression de la forme
sin.r
B sm^x -f- Csinx cosr
EXERCICES D^ANALYSE. liç)
En égalant ^ à o, et prenant pour inconnue cotx ^= z,
on obtiendra une équation du troisième degré en z , privée de second terme. Dans le cas où cette équation aura ses trois racines réelles , on pourra ramener sa résolution à l'équation connue de la trisection de l'angle/ Ces racines répondront* à deux maxima séparés parutt minimum. Nous ne développerons pas ces calculs.
5. Les mêmes choses étant posées que dans le problème précédent, à Texception de F angle des deux grands cercles que "nous stipposeroBs quelconque , on propose de déterminer le point C par la condition que Vaire dw triangle spliérique ACB soit maximum (fig. 29).
Soient DA = a, DB=:fe, DC = x, angleADC=a5 S Taire du triangle ABC rapportée au carré construit sur le rayon pris pour unité 5 9 et y les angles du triangle DAC , dont les sommets sont A et C 5 y? et ^p les angles du triangle DBC dont les sommets sont B et C.
On a S~4;-hïi— ((p-4-Ô), d'où
taDg-S=ung(^L \--
Or les analogies de Neper donnent
cos cos
tang -i == cot , tang = cot ,
2 2 X -\' h 2 2 jc -h a
ces cos ■ —
on substituera ces valeurs dans le développement de tang - S
et si l'on pose, pour abréger, cot- = /r, il vient
k \ cos cos cos cos
tang - S =
S 2 ■.r4-.^ X -\- a * . X — b x — a cos cos h «^ cos cos 22 22
l4o DEUXIEME PARTIE.
OU, en remplaçaut les produits de cosinus par des sommes, et réduisant :
/ sin —, — - sm X
(i4-A^^)l cos — ^-cosx-hcos I — (i — it'jsin sina;
Il s'agit donc de déterminer la valeur de x pour laquelle l'expression
sin j?
b-ha b — a\ , ... b-^-a .
sm sin^
(i4-A-')l cos cosx-hcos )""(* — '^ )
est maxunum.
En égalant — à zéro, on trouve simplement
b '\' a b — a (\\ ces h ces X ces = o.
Il est remarquable que la constante ft a disparu , en sorte
que la valeur cherchée de x est indépendante de l'angle
que les deux grands cercles font entre eux. Comme le
cosinus de est toujours moindre, numériquement,
que le cosinus de ? la valeur de cos j: tirée de l'équation précédente est plus petite que i . Le problème aura donc toujours une solution. Selon que la somme a -h fe sera plus petite ou plus grande que la demi-circonférence, Tare x sera lui-même plus grand ou plus petit qu'un, quadrant. La valeur de x tirée de l'équation (i) réduit l'expression
^L-f^sinx
de -j^ à ^ — —~ > en désignant par D le dénominateur de )^. Il y a donc maximum : d'ailleurs ilj|sl visible que l'aire ACB, qui devient nulle quand le som-
EXERCICES d'analyse. i4i
met C est en D ou en E , doit passer par un maximum dans Tintervalle.
L'équation (i) fait voir que l'arc est l'hypoténuse
d'un triangle rectangle dont les c6tés de Tangle droit sont
et (tt — x)\ si donc on prend le milieu I de l'arc AB,
et que l'on construise sur le côté AI un triangle rectangle en A, dont l'hypoténuse IG égale DI, le côté AG sera égal à TT — X. On portera cet arc en EC à partir du point E , et ACB sera le triangle demandé.
Si fl -h è = TT , on a cos .r = o et x = - ; les deux points
A et B sont alors équi distants des extrémités D et E5 le triangle devient isocèle, et son sommet est au milieu à^i l'arc ED.
Nous avons négligé la valeur de x qu'on tirerait de l'é-
quation — = 00 , parce que cette valeur réduisant à zéro
le dénominateur de tang jS, on verrait, comme dans le problème précédent, qu'elle ne fournit pas un maximum pour l'aire du triangle considéré.
6. Parmi tous les quadrilatères ayant trois côtés adonnés, dont deux opposés sont égaux j déterminer celui dont l'aire est un maximum. (Annales de Gergonne, tome XX.)
Cette question a trait au problème de statique dans lequel on demande quelle doit être la disposition des pieds de Thomme debout , pour que les chances de rupture de Téquilibre soient diminuées le plus possible. On suppose un écartement donné BC = b des talons , et les deux pieds d'égale longueur, AB = DC= a [Jîg. 3o). En faisant varier les grandeurs des deux angles B et C que les axes des pieds font avec la droite qui joint les talons , l'aire S du quadrilatère ABCD variera, et la question consistera à dé-
l42 DEUXIÈME PARTIE.
terminer les valeurs de ces angles pour que l'aire soit maximum.
On trouve successivement
S = — |û (âf 4- BE H- CE) sin (B -f- C) =: j fl^ ( sin B H- sin C ) — I a» sin ( B + C) ;
en égalant à zéro les dérivées partielles -— ? -rr» on a les ^ . ^ dB dC
deux équations propres à déterminer B et C. On en tire
B = C = arc ces
Le quadrilatère sera 'donc un trapèze isocèle, ou, pour revenir au problème d'équilibre , l'Jiomme devra diriger ses pieds également en dehors. Si l'on suppose û = è , on aura B = 1 20°, et si i == o , on aura fi = i35° ; le trapèze se réduit alors à un triangle rectangle. Si b croît à partir de zéro , Tariglè E formé par les axes des pieds décroît à partir de 90 degrés, et s'approche indéfiniment de zéro, sans jamais atteindre cette limite.
7. n points A , A', A", . . . étant lionnes sur un plan, déterminer un point m, tel que la somme des distances (mA-f- mh! ~^mh!' -\- . . .J soit un ininimiim.
Si Ton rapporte tous ces points à deux axes rectangulaires tracés à volonté dans le plan, et qu'on égale à zéro les deux dérivées partielles de la somme proposée , par rapport aux coordonnée» du point cherché, on reconnaît que la somme des cosinus des angles formés par lés droites zraA, mA', mA'', . . . a^^ec un même axe quelconque, doit être nulle.
Cette proposition fournira autant d'équadons qu'il y a d'angles autour du point cherché, en prenant successivement pour axe chacune des'droites mA , mA', mA'^,. . . . L'angle que forme chaque droite avec elle-même étant zéro ,
EXERCICES d'analyse. I 43
il faudra que la somme des cosinus des angles que les autres forment avec elle soit égale à — i.
Dans le cas de trois points A , A', A'^, on trouve ainsi que les trois angles A m A', A m A", A' m A" sont égaux; et, par suite, leur valeur commune est de 120°, ce qui conduit à la construction connue.
Dans le cas de quatre points A , A', A", A''', on trouve que les an^es opposés au sommet sont égaux ; ce qui conduit au point d'intersection des diagonales du quadrilatère AA'A'^A^ etc.
l44 DEUXIÈME PABTIÈ.
