CHAPITRE IX

APPLICATIONS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES DEUX PREMIERS ORDRES A LA DÉTERMINATION DE DIVERSES COURBES PLANES d' APRES DES CONDITIONS DONNÉES.

1. Déterminer, i°. une courbe plane telle, que les tangentes menées aux deux extrémités d'une corde quelconque, et la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette corde, se rencontrent en un mém^ point;

liP. Une surface telle, que les plans tangents menés aux deux extrémités d'une corde quelconque , et le plan perpendiculaire au milieu de cette corde, se coupent sui\^ant la même droite.

I ^. De ce que le point de concours des tangentes AT, mT [fis* ^') ^^^^ ^^^^ situé sur la perpendiculaire élevée au milieu I de la corde Aw, on conclut que les deux angles m AT, AmT doivent être égaux , et réciproquement.

Or, si Ton pose

rdB mAT = B, A/w = r, on a tang A/wT = — ;— •

dr

L'équation du problème est donc

rdB

— = tango,

d'où Ton tire, en intégrant,

r = A sin , A étant une constante arbitraire.

C'est l'équation d'un cercle dont le rayon est - » et le centre

sur la normale A y.

II a suffi d'écrire que l'angle d'une tangente quelconque

EXERCICES d'analyse. l4i>

avec la corde issue d'un point fixe A, était égal à Tangle que la tangente fixe AT fait avec cette même corde ; et puisque la courbe obtenue est un cercle , on voit , à posteriori, que la même égalité d'angles aura lieu pour toute corde non issue de l'origine A.

2**. Soient ABC, mBC {fig» Sa) deux plans tangents de la surface cherchée, A m la corde de contact. Suivant cette corde, conduisons un plan quelconque AmDj il déterminera , dans la surface , une section dont les tangentes en A et m seront les traces AD, niï) du plan sécant sur les deux plans tangents ; et , puisque le plan passant par le milieu I delà corde A m et par la droite BC, doit être perpendiculaire sur A m, la droite DI, comprise dans ce plan, sera perpendiculaire sur cette même corde. La condition de la première partie de Ténoncé est donc remplie par la section A/riD^ conséquemment, cette section sera un cercle. La surface cherchée étant coupée suivant un cercle par tout plan passant par le point A , n'est autre qu'une sphère dont le centre est sur la normale A^ et le rayon arbitraire.

Soient Aw = r, mAD = 0, et supposons que le plan sécant passe par la normale A2 5 on aura (1°)

/- = A sm Ô , or r = \ or' 4- j' -f- 2-, sin =r - ;

et • conséquemment,

sera Téquation de la surface en coordonnées rectangulaires.

2. Déterminer une courbe plane telle j que le rayon vecteur issu rVun point fixe soit proportionnel au cuba de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la tan génie à VextrénUté du rajon ^vecteur.

En désignant par r le rayon vecteur, par B l'angle qu'il

fait avec un axe fixe, par - le rapport constant, on a

ï46 DErXlÈME PARTIE.

réquatiou

s/dr^-h r'dO^

qu'on intègre facilement en posant r * = z.

L'intégrale est

\c ! ces V 6

Cette courbe est telle , que V angle Q formé par le rayon vecteur om (fig. 33) av^ec Vaxe polaire, est triple de l'angle formé par la perpendiculaire oP ai^ec le même axe y propriété qui aurait pu servir à sa définition.

En effet , soit mo P = m -, on aura o P = r cos m B et

oP = c^ r^ d'où

cos' wO Or r intégrale donne