I COS

donc

w=:|, et, par suite, Poormi-Ô.

Une autre propriété de la même courbe, c'est qu!elle est Ven\^eloppe des positions que prend la perpendiculaire au rayon vecteur issu du centre d'une hyperbole équilatère dont le demi-axe est égal à c, lorsque ce rayon décrit l'hyperbole.

En effet , soit /w Q ( fig, 34 ) la perpendiculaire au rayon om^ désignons om par /7, l'angle m(^x par a; par r et d les coordonnées d'un point quelconque de la perpendiculaire mQ-, son équation est

ZJZ p sin (6 — a)

EXERCICES d'analyse. 14^

et le point m étant sur Thyperbole , on a

ces 2 a

éliminant p entre ces deux équations , il vient

cos 2 a sin' (0 — a )

Pour avoir Tenveloppe , il faut égaler à zéro la dérivée de cette équation relative a a , ce qui donne simplement

TT

C0s(3a — ô) = o, d'où a = - -\ ^

puis substituer cette valeur de a dans l'équation de la ligne mobile : on retrouve ainsi l'intégrale déjà obtenue.

3. Déterminer une courbe plane telle, que l'on ait, pour tout point {oc, y) de cette courbe^ la relation

, N désignant la longueur de la normale terminée à l'axe

des j:, S„ la sous-normale , p le rayon de courbure.

En remplaçant ces longueurs par leurs expressions analytiques , la condition de l'énoncé devient

Le signe -K convient aux courbes convexes vers Taxe des x , le signe — aux courbes concaves.

Le moyen le plus simple d'intégrer cette équation linéaire consiste à lui appliquer la méthode qui convient aux équaticms de la forme

i JO.

ï48 DEUXIÈME PARTIE.

Prenons d'abord le signe -H, et posonsj^ = a.'*, h étant une indéterminée-, le facteurs'', commun à tous les termes de l'équation (2) , disparaît, et il reste

h^ — 3 A 4- 2 = o , d'où A = I , A = 2.

L'intégrale cherchée est donc

y = ax -{- bx^ ,

aelb étant des con3 tantes arbitraires.

Cette équation représente des paraboles passant par r origine, et dont Faxe principal est parallèle à l'axe des y.

Pour que ces paraboles soient convexes vers l'axe des x , il faut et il suffit que la constante b reçoive des valeurs positives. Si on lui attribuait des valeurs négatives, on aurait des paraboles concaves vers l'axe des a:, qui satisferaient bien à Téquation différentielle (2) dans laquelle on- prend le signe H- , mais non pas à la condition de l'énoncé telle qu'elle a été posée dans l'équation (1). Ces paraboles répondraient à la condition

Si Ton prend le signe — dans l'équation (i),la même transformation conduit à l'équation

A' -h A — 2 = 0, d'où A = I , A =rr — 2.

L'intégrale est

Y z= ax

Elle représente, pour des valeurs positives du paramètre ft, des courbes concaves vers, l'axe des x, et pour des valeurs négatives de i, des courbes convexes qui ne satisferont pas à la condition (i), mais à la condition (i'). Ces courbes présentent une branche infinie qui a pour asymptotes l'axe des y et la droite )'■ = ax.

exeucices d'analyse. ï49

L'équation (2) aurait encore pu être intégrée à la manière des équations liomogènes en posant y = e -^^ ; on la ramènerait ainsi à V équation d'Euler

du 1/2 Si

dy yx^ X

Une intégrale particulière de cette équation est w = - ,

et l'on en conclut l'intégrale générale en posant m = - -+- ^.

ce

Enfin ^ on intégrerait encore l'équation (2) en posant y = xz , ce qui la réduirait , dans le cas du signe -f- , à

— — z= o d'où zz=zax-\-b.

dx-

et , dans le cas du signe — , à

d^z ÙL dz c

-f- - — - = o , d ou 3 = T 4- ^' •

dx^ X dx X

4. Déterminer une courbe plane telle^ que Von ait, entre tes angles a. et /3 que forment le rayon "uecteur om (fig. 35) et la tangente mT as^ec une droite fixe o'^Yx, la relation

On en tire rang p = — cet 2 a ,

d'où lang a = tang p ±^1 -h tang' p •

Or, tang a ="^, tangp=r:-£.

On a donc à intégrer l'équation différentielle

ydx — xdy = dr x \dx^ H- dy^ ,

dr ou , en posant — = p ^

y — px = dt: X s/ 1 -i- p'

l'ÔO DKLXIÈME PARTIE.

LMntégrale est

r^ + a:" — 2Cûc=z o,

c étant une constante arbitraire. Ainsi la courbe cher-chée est un cercle de rayon quelconque passant par le point o et ayant son centre sur Taxe ox. La géométrie rend aisément compte de cette propriété du cercle.

5. Si une courbe AB (fig. 36) est telle ^ quen menant d'un point quelconque /w, une normale mS jusqu'à la droite Ax^ et du pied de cette normale une ordonnée Sp, on ait

Sp — S/w = const.,

les sous^normales successii^es PS, ST, TU, . . . , seront égales entre elles ^ et réciproquement.

Soient [x^ y) ^ (^'î J'') ? l^s coordonnées des deux points m^ p^ rapportées à deux axes rectangulaires dont Tun est la ligne A x ; on a , d'après l'énoncé ,

j'2 =r j^' ( I 4- -j- ) -+- const.,

dx et

y est une fonction de x'^ déterminée par l'équation de la courbe , et , par conséquent , une fonction implicite de x : on aura donc, en différentiaiit par rapport à x les deux équations précédentes ,

^ dx' dv "" -^ ^jc L [d^J ^ dx^ J '

dx' l df\' ^^y

r=-(iy

dx \dx I dx*

dx' Substituant dans la première, à la place de — ? sa valeur

EXERCICES nAINALYSE. l5l

tirée de la deuxième , il vient

,^ da/ ^ dx] \ ^ dx'^-^ ^; - *^-

Si l'on n'a pas

/ dr\' d' r

on conclut de celte équation

c'est-à-dire PS =- ST, c. q, f. d.

Voyons maintenant ce que signiGe l'équation

\dx)

oon premier membre représente — ou — I x -{-y -y- j *,

on aurait donc

dv

jc -j- r — - = c, c étant une constante, dx

ou ydy -f- ( -x: — c^ dx z=. o ,

«t finalement j^-j- (jt — c)'=X';

équation d'un cercle dont le centre n'est autre que le point S de Taxe o.r, puisque c représente aussi la valeur constante de x'= oS. Bien que ce cercle remplisse la condition de l'énoncé, en ce sens que la différence entre la normale mS et l'ordonnée (ou rayon) S^ est constamment nulle, cependant le théorème dont il s'agit ne lui est point applicable, puisque les sous-normales, à la suite de PS, sont toutes nulles. L'analyse précédente est d'ailleurs en défaut dans ce cas , puisque x^ étant constante , Ton ne peut plus regarder j^' comme fonction implicite de x>

Réciproquement ^ si Ton suppose qu'à partir d'une ordonnée wP, les sous-normales successives PS, ST,... soient

l'^2 DEUXIÈME PARTIE.

égales entre elles , on aura

dx' dx

et , multipliant de part et d'autre par dx^ = rf ( .r -f- j ^ ) ,

dx

y''iy = r^4-+y'£)=jrdr+rp.x^

Les deux membres sont des différentielles exactes relatives à X'^ donc

dr

OU S/? = S/w H- const.

Il faut remarquer que ce théorème ne' suppose pas que

la sous^normale y — ait partout une valeur constante.

Si l'on part d'un autre point que /?*, on aura une nouvelle série de sous-normales égales entre elles ^ mais qui pourront être différentes des premières.

Si Ton ajoutait cette condition nouvelle, que la sousnormale fût constante , ou

dv Y -r =^ p ^ on en conclurait r'^ = 2 »x -\- a. dx

La courbe AmB serait alors une parabole ayant pour axe la droite Ax. Dans ce cas, on aurait non»-seulement

Sp — Sm = const. , mais encore S m — mP = const. ; et , de plus , les deux constantes seraient égales au carré de la sous-normale /7^, en sorte que les carrés des ordonnées et des normales successives

formeraient une progression arithmétique ayant pour rair son le carré de la sous-normale.

KYtRCICES d'AiNALYSK. 1 53