CHAPITRE X
APPLICATION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES A LA DÉTERMINATION DE DIVERSES SURFACES SATISFAISANT A DES CONDITIONS DONNÉES.
1. Déterminer la surface telle, que si, d'un point donné o , on mène une perpendiculaire o A sur un de ses plans tangents ^ le rectangle construit sur cette perpendiculaire et sur la normale mN terminée à un plan fixe xoy mené par le point donné, soit équivalent au carré de la distance om du point donné au point de contact (fig. 37) .
La condition du problème est
(0 oAX wN = om .
Désignons par x ^ j^ z les coordonnées du point de contact m , par p, ^ les dérivées partielles 3-' ;t- 5 on a
i^p^j^q-i^i cosP/wN
om =: X* -f-j' -f- z'.
En substituant ces valeurs dans l'équation (1)5 il vient
ztlz[z — px — qjr ) =z x^ -{- jr^ -}- z* ;
comme le second membre est essentiellement positif, on devra prendre , dans le premier, le signe + ou le signe — , selon que les d«ux facteurs ( z et ^ — px — qy ) seront de même signe ou de signes contraires; or le facteur (z — px — qjr) représente l'ordonnée o 6 du point où le plan tangent rencontre Taxe des -z. De là , deux cas à distinguer :
1°. Les points m et 1^ étant d'un même côté du plan fixe, on a F équation z [z — px — qy) = x* -4- y - -f- ^" ?
l54 DEUXIÈME PARTIE.
OU
Cette équation aux différences partielles du prefnier ordre , a pour intégrale
X'-^X'-h Z'= ff\ - y ,
elle. représente une surface symétrique par rapport au plan fixe, dont la propriété caractéristique est que, toute section plane passant par Taxe perpendiculaire à ce plan , est un cercle. Ce cercle a son centre au point o , et son rayon est une fonction arbitraire de Tazimut.
On retrouve les mêmes résultats , sans calcul intégral , par le raisonnement suivant :
La similitude des triangles oAB, /wPN, donne
jo'A \ m N = o B . 772 P ; par conséquent 5 la condition de Fénoncé équivaut à
oB . 772 P = om ,
ou bien, si l'on mène la perpendiculairç ml sur oZ, ou doit avoir
oB . ol =: om ,
Donc le triangle omB est rectangle en m ^ mais la droite m B, qui est à la fois dans le plan ZoP et dans le plan tangent , est tangente à la section produite par le plan ZoP dans la surface cherchée ; donc cette section est un cercle de rayon om. En désignant par R ce rayon et par 6 Tangle VoXy l'équation de la' surface sera de la forme
*2^. Les points metB étant de côtés différents du plan fixe y on a Téquation z ( px -\- qy — z) =^jt:^ -|- y*-l- -2*),
ou
xzp -[- yzq = 2 z- -f- .r^ + /%
EXEKCIGES d'analyse. i55
dont rintégrale est
elle représente une surface symétrique par rapport au plan fixe. Les rayons vecteurs d'une section plane passant par Taxe perpendiculaire à ce plan , sont proportionnels aux carrés de leurs projections sur un axe fixe quelconque tracé dans ce même plan.
Si Ton demandait que le rectangle (o A . mN) fût équivalent à un carré donné , on trouverait pour intégrale
En prenant pour ? ( - ) une fonction entière du premier '
ou du deuxième degré, cette équation, qu'on discutera facilement, repésentera des surfaces du deuxième ordre. •
2, Étant donnée V équation d'une surface ,
on propose de déterminer l'équation d'une autre surface^ rapportée au même système de coordonnées rectangulaires j telle qu'un prisme di^oit dont les arêtes sont parallèles à l'axe des z , intercepte sur ces surfaces deux portions équivalentes.
Soient
dzz=. pdx -\' qdy ,
l'équation différentielle de la première surface ^
dz = rdx -{- sdjr,
l'équation différentielle de la seconde.
Les éléments des deux surfaces, projetés sur le rectangle dxdy^ ont pour expression
dx dy ^1 4-/>''+7S (^^(h \/ 1 + /^ -H a'.
l56 DEUXIÈME PARTIE.
Par conséquent , les fonctious inconnues r et ^ devront satisfaire à la condition
à laquelle il faut joindre
, , dr ds
^ ' dy dx
Ces deux équations détermineront , dans chaque cas particulier, les fonctions /' et ^ , et , par suite , z en fonction de X et de y.
I " . Cas ou la surface donnée es t plane .
Soit z = a-{- uix -f- ny Téquation de ce plan \ on aura p ==: m^ g = n^ et en posant m^ -f- /^^ = a*, <x désignera la tangente trigonométrique de l'inclinaison du plan donné sur le plan des xy^ Téquation (i) deviendra
,, dr ds
r^ + .y^ = a % d ou r — \- s -— = o ,
dx dx
et, en ayant égard r\ l'équation (2) ,
dr I dr
équation aux différences partielles , linéaire et du premier ordre, dont l'intégrale est
La fonction (pétant arbitraire, on peut encore écrire cette intégrale sous la forme
SX — ry ^=. ^ (/*).
En y joignant r* -+- 5^ =«*, on a deux équations finies propres à déterminer r et ^ en fonction de x et j-, après que Ton aura disposé de là fonction arbitraire. Le problème admet donc une infinité de solutions.
Comme cas particulier, soit cp (/') = o 5 on tire des équa-
EXEUCECES DAINAI.VSE. iS^
lions précédentes
et
/xdx->[-ydjr
-^^-=- = a v^x' -+-r^ + const.
C'est r équation d'un cône de révolution autour de Taxe des z , dont V arête fait as^ec le plan des xy le même angle que le plan donné. Si l'on remarque que chaque élément superficiel du cône se confond avec le plan tangent , lequel est partout également incliné sur le plan des a:y , On se rendra compte aisément du résultat précédent.
Autre solution. Si l'on pose avec Euler
r -=: OL ces w , s := a. sin w ,
l'équation (i) sera satisfaite identiquement, et la question
sera ramenée à déterminer pour o) une fonction de x et j ,
telle que l'on ait
d, ces w d. sin w
dj' dx
ou
sm w — h cos w — r- = o .
I dy dx
L'intégration donne
X sin w — jcos w = cp(w).
Cette équation fournira pour w une infinité de fonctions de X et y. Les valeurs correspondantes de z se tireront de
l'équation
flfe zz: a ( COS (tidx -{- sin w r/j) ,
qui , intégrée par parties , donne
z =z a. (a:cos&)-t-/sin w)-f-aj <î>(f«>) dtù H- const.
Examinons quelques cas particuliers.
x"^. Soit w = const. z=. p ;
la fonction 9 disparaît de l'expression de xJ , et l on a imnié-
l58 DKIXIÈME PARTIE.
diatemept
3 = a ( j cos p -h r sin 0} H- const.,
équation ifun plan incliné sur le plan fies xj, de la même quantité que le plan rlonné.
2". Soit o(rû 1= O,
d'où JT sio &> — r cos w = o ,
on eu tire sin ri) et cos ot) qae Ton substitue dans l'expression de c : il vient
3 = a \ X* -4- > - -♦- const.
C'est le cÔBC droit dt^à trouvé.
3**. Soit « tt»^ = a sin m — b cos w ,
d'où ( -r — a) sin » — r — ^ ; cos w = o,
et 3rzrzr'x — <ï)cos»-{- >' — h sin &> ] + const. ,
OD enfin 3=2 v' -r — a--f-'>- — ^'-f- const.
Cette équation représente encore un cône de révolution dont les arêtes font le même ans^le que dans le cas précédent , avec le plan des x y; seulement Taxe est parallèle à Taxe des z^ au lieu de coïncider avec lui.
Les différentes hypothèses que nous venons de faire sur la fonction z sont les seules qui puissent conduire à des surfaces coniques (le plan étant compris parmi ces surfaces).
En eflet, puisqu^on a posé
r HZ 3t cos '*>, s = JL sin &», l'expression générale de z peut s'écrire sous la forme
s = rx -h J[r -h a ^ ç ' w ' </» -h const.
Or Féquation aux différences partielles des surfaces coniques est
Ainsi, pour que Téquation prét^édente se réduise à cette
EXERCICES d'analyse. 1 59
forme, il faut que f(f(f^) d^ soit nulle ou égale à
iar-^bs) , j . .
— ^ L =: — ( fl[ ces w H- ^ sm w ) ;
a d'où Ton conclut que Tune des trois hypothèses suivantes doit avoir lieu :
w = const. , ou (p(w)i=o, ou (f (w) = a sïn (ù — ^cosea.
2°. Cas ou la surface donnée est de rév^olution autour de Taxe des z .
Prenons , comme exemple , le paraboloïde de rév^olution
On a p=z-', q -=::-•
Soit
adzz=i rdx H- sdy
Téquation -différentielle de la surface cherchée, on doit
avoir
En difierentiant par rapport à ^/et ayant égard à l'équation (2), il vient • '
dr j— ; dr
dx dy
L'intégrale de cette équation aux différences partielles est
Quand on aura fait choix d'ujie fonction (p, on en tirera la valeur de la fonction r, et, ^ar suite, on connaîtra s\ mais le calcul est plus simple en introduisant, comme précédemment, une fonction angulaire w.
Posons r = xcosw 4- / sinw, 5;=j:sin6>' — ^cosw.. 11 en résulte identiquement r * -f- 5* = j:* -f- ;^' ; en sctfte que la question est ramenée à déterminer pour w une fonc-
l6o DEUXIÈME PARTIE.
lion telle que rdx -h sdy^ c'est-à-dire
[x cos « -h ^ sin w) t/x H- (jc sin w — / cos w ) dy
soit une différentielle exacte. En développant cette condition , on est conduit à une équation aux différences partielles, qui s'intègre sans difficulté. Cette intégrale est
2 X)' COS w — [x^ — j* ) siu W = © (w ).
Elle fournira une infinité de valeurs de w.
L'équation des surfaces demandées sera de la forme
2fl2 = (j:' — jr') cosw -t- 2.xy sin w — yç{w)rfa),
où l'on remplacera w par la valeur tirée de l'intégrale pré-cédente. Si Ton suppose
w = const. =.p,
on n'a point à recourir à l'équation intégrale^ car la condition d'intégrabilité de rdx -h sdy est alors remplie d'ellemême. 11 vient
2 «z = ( j;^ — jr^) ces p -h 2 xy sin p.
Quelle que soit la constante (3, cette équation représente des paraholoïdes hyperboliques . En particulier, si
P = o , on a iazi^=^ X? — y-,
et SI S = -5 ou a az =z xy.
Cette dernière équation se ramène à la précédente par une transformation de coordonnées
X = X COS Ô — Y sin 9 tt J
j=:XsinÔ + Ycosô' ""'4)
par conséquent 5 elles appartiennent à un même paraboloïde, dans lequel les deux paraboles principales ont même paramètre 2r/, et leur axe principal dirigé suivant l'axe des z.
