I. Sur la transformation des intégrales doubles

\ . Étant donnée la formule

V=ffdxdx^i-^p^-hg\

gui exprime l'aire d'une surface quelconque, on propose d'en déduire la formule

U= ^ItfVidS y

qui cornaient au cas oà la surface est de résolution.

Soient oZ Faxe de révolution (fig» 38), AmB une section méridienne, R= oP la projection du rayon vecteur cm sur le plan des xy^ R sera aussi le rayon du parallèle qui passe par le point m , et Ton aura

Par suite, la formule donnée de vient d'abord

V=iffdxdx\/i -f-(p'(R)'.

Remplaçons les coordonnées rectangulaires x, y par les coordonnées polaires R et = Poj^; on sait , parla théorie du changement des variables indépendantes sous le signe yy, que l'élément dxdy devra être remplacé par RrfRJfl, et l'on aura

L'intégration relative à 6 s'effectue immédiatement , et

pour obtenir la surface entière, il faut intégrer depuis = oà9=27r, ce qui donne

C'est le résultat qu'il s'agissait d'obtenir. 2. Étant donnée la formule

y = Sf(z-z')dxdy,

qui exprime le volume d'un solide cylindrique compris entre le plan des xy et une surface quelconque , on propose d'en déduire la formule

y = nfK^ciz,

qui confient au cas ou le volume est de rév^olution autour de Vaxe des z.

En introduisant comme ci-dessus les coordonnées polaires R et , la formule donnée prend la forme

z elz' sont les deux ordonnées mP, m'P qui répondent à une même valeur du rayon R , et comme elles sont indépendantes de Tazimut d, on peut intégrer immédiatement par rapport à cette variable ^ il vient, eu égard aux limites

(A) V=27r/(z— z')RrfR.

Cette expression de V, bien que réduite à une intégrale simple , diffère cependant de la formule

(B) V = 7r/R^£fe.

Cette différence tient à ce qu'elles répondent à deux modes distincts de décomposition d'un même volume en éléments infiniment petits. Tandis que la formule (B) suppose le volume décomposé en tranches cylindriques par des plans perpendiculaires à l'axe de révolution , il est aisé de s'assurer que la formule (A) suppose le même volume dé-

EXERCICES d'analyse. i63

composé en anneaux cylindriques , parallèles à Taxe. En effet, deux cylindres ayant pour axe oz ^ pour bases les cercles de rayon R, R -f- ^R , et même hauteur {z — z^)^ comprendront entre eux une portion infiniment petite du volume, dont la mesure sera 2 tt (z — z^) R</R (en négligeant les infiniment petits du second ordre).

La formule (A) peut se ramener à (B) par le procédé de l'intégration par parties , qui a précisément pour effet de changer le mode de décomposition d'une intégrale en remplaçant une somme d'éléments par une somme équivalente; il vient, en effet,

V = 27r/ (2 — s') R^J^ = 1^ R'( z — s') — 7r/R=rfz H-tt/RVz'.

Les intégrales doivent être prises depuis la limite R = o pour laquelle on a z = oB, z' = oA, jusqu'à la limite R = IH , qui répond au point où l'ordonnée z est tangente à la méridienne A /nB, et alors la différence {-3 — >z') se réduit à zéro. Donc le terme ttR* (z — z') s'évanouit aux deux limites, et si l'on pose, pour abréger (oA=a, oB = j3, KH = 7) , l'intégrale y R* Jz, qui se rapporte à la partie du volume située au-dessus du parallèle IH, devra être prise entre les limites jS et y , tandis que l'autre /R*é/z', qui correspond à la partie du volume sittié au-dessous de ce parallèle, devra être prise dez' = a à z' = y. L'équation précédente se réduira donc à

Enfin les deux dernières intégrales peuvent être réunies

R*rfz, et l'on a définitivement

l66 DEUXIÈME PARTIE.

coefficient de z^ dans l'exponentielle. Soit donc X = — > il vient

m* cot* e y = : — - — 1 e~' dz.

Dans le cas où la constante a serait éeale à — , la

limite inférieure de l'intégrale devenant zéro, on aurait

« ^ si '^

QO

et, par suite, l'intégrale cherchée serait immédiatement connue sous forme finie ,

m' col' e

/77sin9

cet' ô H = a : on ne connaît

Soit , en général , m i / a

I e ^ ^2 ; mais on peut

la développer en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de a. On a d'abord

r e-''dz= f" c-'-dz- f\-''Hz-i''. «/« «/O vO 2 t-

/ "^^'^'dz-

iji e — 1 — -j-..- ■" -j-..,.

Intégrant, on aura

Cette série est convergente, quelque soit a, et comme ses

EXERCICES d'analyse. 167

termes sont alternativement positifs et négatifs, Terreur commise en s'arrêtant à un terme de rang quelconque est de signe contraire à ce terme et une fraction du terme suivant.

L'intégration par parties fournit un autre développement en série convergente de la même intégrale,

Jq L 1-3 1.3.5 1.3.5.7 J

Lorsque «^ est égal ou supérieur à 2 , les séries précédentes ne sont pas d'une convergence assez rapide pour être commodément employées. Laplace, dans sa tbéorie des réfractions astronomiques (*), a donné, pour le cas dont il s'agit, un développement de l'intégrale sous forme de fraction continue. A cet effet, il part d'une troisième série ,

I e dz= 1 I -H- - — — - -h . , . ) ,

qu'on obtient aisément par les transformations suivantes : 1 e " eh = I e zdz • - = / e • z dz.

•/a «/oc

loin de converger vers une limite plus petite que i pour des valeurs croissantes de n , croit jusqu'à l'infini , cette série est divergente^ il vaudrait mieux, pour la rigueur-

(*) Mécanique céleste , tome IV, page 283.

l68 DEUXIÈME PARTIE.

du raisonnement, n'en pas faire usage. Voici comment M. Jacobi a rectifie le procédé de Laplace :

(Les développements qui suivent sont empruntés à une leçon de M. Liouville, au Collège de France.)

Posons

d*où

-— =: 2oi e I e dz — i=:2aV — i,

■=2 la. — \- in

e dzy

Soit

dV ^, , , , I d"\

--— == V, ; et, en gênerai , — - = V„ *

doi ' ^ ' 1 .2. . .72 £/a« ^

on aura

(A) V, = 2aV— I,

(B) {«-l-i)V„H. = 2aV„+2V„«..

Posons, en général, V„ = ( — i)" — î^*, Féquation (B) deviendra

ou, si Ton pose q = — ^y et qu'on divise par y^^^ ,

(B') ' ^ = , + („ + ,)^Iï±?.

Transformons de même l'équation (A). A cet effet, on déduit Vi et V de l'expression de V„ , en y faisant /* = i , /i = o , savoir :

EXERCICES d'analyse. i(>9

et y substituant dans (A), on a

Actuellement, on tire des équations (A') et (IV),

{?) '■ ij)

Il importe de démontrer que -^— restera positif quel que

soit n ; pour cela, il suffit de faire voir quej^,,^, est positif quel que soit /i-, et, comme on a

j„H.. = (— i)«2a«-^-'V„— -^ ^aa'»-^'— -,

^ I . 2 . . . /l rt a"

la question revient à prouver que { — i)" -— est positif.

Pour simplifier la recherche de -r— ? transformons la

fonction V de manière que les limites de l'intégrale soient indépendantes de a. En posant 2 = a -h -Zi , les limites deviendront o et 00 , et l'on aura

\ =: e j e ' ' r/z, = i e ' c ' dzy,

— = / C '(— 23.) <? 'flr3,=( — 1)''2« / C ':i'dz,y

et

(— i)"-- — = 2" / e ' z'dzt,

résultat essentiellement positif.

Le développement de l'intégrale proposée en fraction continue se déduit immédiatement de ce qui précède.

irO DElj5tlÈME PARTIE.

On a