OO

fï

Pour appliquer cette fraction continue au calcul approché de Tintégrale, on formera les réduites successives, qui seront alternativement plus grandes et plus petites quç la fraction continue. Il suffira de calculer directement les

deux premières réduites I -et ) ? les suivantes s'en déduiront d'après la loi connue : le numérateur d'une réduite quelconque est égal au numérateur de la réduite précédente, plus, au numérateur de la réduite qui précède de deux rangs multiplié par le numérateur de la fraction intégrante à laquelle on s'arrête. Les dénominateurs se forment d'après la môme loi. Ainsi, Jes cinq premières réduites sont :

à partir de la cinquième , le numérateur et le dénominateur d'une réduite de rang quelconque sont des trinômes du second degré en q^ dans lesquels le terme indépendant de q est égal à i .

3. Parmi les courbes définies par V équation différent tielle

dx' X dx y \dx j

EXERCICES D ANALYSE. iri

déteiminer celles qui coupent à angle droit le cercle dont r équation est y'^ -f- j:^ = r-.

L'équation (i) rentre dans la classe des équations de la forme

qu'on intègre immédiatement en les divisant par-^; car

dx

le premier membre devient une somme de différentielles

exactes.

On trouve pour intégrale

f'zzza — -',

puis la seconde condition de l'énoncé fournit, entre les

constantes a et ft, la relation b == :^a \/ r^ — -•

Par conséquent, les courbes cherchées sont renfermées dans l'équation

^ax

4. Étant donnée l'équation F [x^ y, a^ i) = o, on propose de déterminer la relation qui doit exister entre les paramètres a et b^ pour que les courbes représentées par cette équation aient pour enveloppe une courbe donnée dont l'équation est (p (x, j^) = o.

La relation cherchée résultera de l'élimination de x etj entre les trois équations

. . dF do dF d'jf

Soit, par exemple, l'équation j^^ -h ax -h ^ = o, qui représente une suite de paraboles de môme axe, et cherchons la condition pour que ces paraboles aient pour en-

veloppe le cercle j^ -h x^ — r^ = o^ nous trouverons ^= — T~ ''*' ^''' P^^ suite, l'équation des paraboles , réduite à ne plus contenir qu'un seul paramètre arbitraire a,

sera

5. Déterminer la relation qui existe entre deux fonctions M et^ de X et y, telles que la quantité

M X -h N j soit une différentielle exacte.

L'expression proposée ne renferme que le rapport —, et

l'on doit seulement se proposer de déterminer ce rapport

N Soit — = ^ ^ la condition pour que l'expression

dx -+- zdf

X '\- zy

soit une différentielle exacte , se réduit à

dz dz

équation aux différences partielles dont l'intégrale est

Ainsi , les fonctions M et N doivent être telles , que leur rapport soit une simple fonction de --^ ou, ce qui revient au

même, une fonction du degré o de y et .r.

Cette condition est évidemment remplie , si l'on prend

pour M et N deux fonctions homogènes du même degré 5

M dx — {— N dy et, en eflet, on sait qu'alors la quantité -ir. i^r^ est

EXERCICES d'analyse. IJ^3

une différentielle exacte. Mais on voit , de plus, qu'elle le sera encore, si , après avoir pris à volonté la fonction M,

on choisit une fonction N qui soit égale au produit My ( - ) ?

(f étant une fonction arbitraire. Par exemple, soient

l'expression

(or' — 3 x) dœ -^ [xy — 3 j) dy x^ — 3 a:' -h xy'*' — 3 Jasera une différentielle exacte.