MT-MT

On peut choisir l'origine de t de manière que, pour .r = A , on aitt=^o^ cette convention fixe la valeur de la constante C , ou

\ « -h I n — I / et , par suite ,

Oeit étant connus en fonction dex , le problème de calcul intégral est résolu *, car on aura , sans nouvelle intégration^ y en fonction de ;r à l'aide de l'équation (3) , dans laquelle t et tango seront remplacées par leurs valeurs tirées des intégrales ( 4 ) et ( 5 ) ,

<'""^=:-^![fâ"'-]-"^'[(r'-]-

Les formules (5) et (6) deviennent illusoires dans le cas particulier où ;i = 1 , c'est-à-dire où c = a-\- h. L'expression de dt se réduit alors à

indt ^= l T H ]dx ,

et son intégi-ale n'est plus algébrique ^ elle prend la forme

et, par suite , l'équation (6) sera remplacée par la suivante,

,^ , , lay , , l h\ a — bV (x

Si 1 on regarde j" et x comme les coordonnées rectangulaires d'un point, on pourra s'exercer à construire les courbes représentées par les équations (6) et [6 bis). Ei transportant l'origine sur Taxe des y négatives à une dis-

h {na ->f h) ^ , . , ,

tance — ; {<) on lera évanouir le terme constant du

second membre, et si Ton pose en outre

on aura r -— « -h c ;

de sorte qu'après avoir construn les courbes (paraboliques ou hyperboliques) représentées par les équations (7), on n'aura plus qu'à faire la somme algébrique de leurs ordonnées correspondantes à la même valeur de x.

On construira de même F équation (6 his) à l'aide d'une parabole ordinaire et d'une logarithmique.

H. Étant donnée une série dont les termes sont Jonctions de X, si on les multiplie par dx , et quon intègre , il arrix^e, dans certain s cas, que Von sait déterminer, sous

Jorme Jinie, une Jonction égale à la somme de ces inté^ grales; et, par suite y en différenliant cette fonction y on connaîtra la somme de la série proposée.

Appliquons cette méthode à la sommation de la série

ltang'^ + ^,rangJ + ^tang^4-...4-^,tang|,-h...

Le rapport d'un terme au précédent, • -? tend-,

tanc —

pour des valeurs croissantes de n , vers la limite -J- ^ par conséquent, cette série est convergente pour toute valeur de j: (à l'exception de celles qui rendraient Tune des tangentes infinies, et qui sont comprises dans la formule

Multipliant par dx et intégrant, il vient, en désignant par j' la somme inconnue de la série ,

X 30 JC Y dx=: C — ( 1. ces h 1. - -f I. ces h . .

(XXX cos - cos — cos — ....

Or, on trouve aisément

. . XXX sin X

( I ) cos - cos — cos —.,.=:

Il suffit, pour cela, de multiplier les équations suivantes membre à membre ,

sinr

2 sin - cos — .

sin -

X JC

tr= 2 sin — cos - 7} -y?

sm — -Ttr 2 sin — cos —

sin — ^— == 2 sin — cos —

l8o DEUXIÈME PARTIE.

Multipliant et réduisant, on a

^V M& W& I^L WV

sin or = 2" sm — cos - cos cos — . . . cos — j

sin — sin X 2" a: .r j: j:

ou = • cos ^ cos — cos — • . . cos — 9

et pour « = 00 , on a la relation (i).

/' sin X y dy ^=z c — ]. =: c — 1. sinx-f- 1. x.

Différentions maintenant les deux membres de cette équation, et nous aurons

r = cot X.

Telle est la somme de la série proposée.

Puisque Ton a , identiquement ,

^-cotx = ^tangj4-^tang^H-^tangJ-+^...,

on en tire

I I j: I XI X

cot - = — tang — H — - tanc h • • • .

On peut, dans cette dernière égalité, faire a: = tt, et Ton a cette formule remarquable :

l=»tang| + itan6^ + ^tanB^+....

EXERCICES DB MÉCANIQUE. l8l