CHAPITRE PREMIER

SUR l'attraction mutuelle des corps.

1. Un point matériel A est situé dans le plan d'un anneau circulaire , homogène ^ d'une épaisseur infiniment petite y dont chaque point V attire en raison im^erse du carré de la distance. On propose de déterminer V attraction totale exercée par Vanneau,

Soient r le rayon o/w de l'anneau (y/g*. 39), a la distance o A du point attiré au centre, \k la masse de ce point, u sa distance au point m , 6 l'angle mo A , w l'épaisseur constante de l'anneau, p sa densité. Les actions exercées par tous les points de l'anneau sur le point A auront évidemment une résultante unique dirigée suivant Ao*, et, si l'on désigné par f Tintensité du pouvoir attractif rapporté aux unités de masse et de distance, l'attraction totale exercée sur le point A sera exprimée par

l8'.i TROISIEME PART

en posant V =: I — ;

et , <;omme on a

dm = u;,r/i6^ a = \/r'-\l'espression de V prend la forme

Selon que la valeur trouvé»; pour A sera positive ou négative j le point sera repoussé ou attiré par l'anneau.

L'intégrale précédeiile n'est pas calculable sous forme finie; mais on peut en obtenir une valeur approchée par un développement en série , et l'on va voir que ce développement met en évidence le changement de sens de l'attraction , lorsque le point A passe de l'extérieur à rintérieur de l'anneau.

Supposons d'abord le /)oint attiré extérieur à Vanneau, ou a'^r.

RenipIaçons,dansleradical,cos9par .

et mettons en évidence le facteur a; il vient

■ r. .-■ -/-.^..-■/r:Nr--

r.3.5 r îs/rr + — !~î! • - "• + ■

série coiivcrgcnlc , puisque - <^ i ', et il est à remarquer

que la convergence aurait encore lieu , si Ton réduisait les différents termes à leurs modules respectifs ,

car le rapport d'un terme au précédent ( - \ tond ,

pour des valeurs croissantes de n , vers la limite - <r * •

On a pareillement,

(i e ' =iH e

Va ' 2 a