r» —'x0yj~i 1.3.5 r» - 'ioy'~i
série qui ne diffère de la précédente que par Icî changement de d en — 0.
Puisque les séries (i) et (2) sont convergentes, par le fait seul du décroissement des modules , si on les multiplie membre à membre, en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de - 9 on aura une nouvelle série conver-
gente dont la somme sera le produit des sommes des deux autres.
Or cette multiplication produit des termes de deux espèces, les uns indépendants de 0,
'-^U-") "^ta<' ^(,2:4:6 <) ^•••' '
les autres dépendants de 6 , et que Ton peut grouper deux à deux de la manière suivante :
1 ou 2 K\ (OS (/? — ''jO ;
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mais lorsque ces derniers termes, multipliés par dd , seroul soumis à Tintégration qui est indiquée dans l'expression de V, les intégrales s'évanouiront aux deux limites, o et 2 t: : on peut donc les omettre , et , en intégrant entre les mêmes limites les termes de la première espèce multipliés par d9^ on aura simplement
Supposons maintenant le point attiré intérieur à F anneau^ ou a <^ r. Le développement précédent de V n'est plus admissible \ car, /'étant plus grand que a , la série est divergente. Il faut alors développer suivant les puissances de -t en préparant le radical sons la forme
^r^-^a.--- 2 a r cos
et l'on trouvera
-isT
r [i olY /'1.3 a}y /1.3.5 an*
Actuellement 5 pour avoir l'action exercée sur le point A, il reste à différentier par rapport à a la première ou la seconde de ces expressions de V, selon que le point attiré est extérieur ou intérieur à l'anneau; et l'on a
Pour un point extérieur,
(3) A=-..,a/.p[(iy?^+(i^)'4^-»-(,^y6j+...]
L'expression de la force étant négative, le point sera attiré et marchera vers la surface externe de l'anneau. Pour un point intérieur^
mm
La valeur de A est positive \ doue le point sera repoussé du centre vers la circonférence de l'anneau.
Ainsi 5 il n'en est pas des actions exercées par les éléments d'un anneau sur un point placé à l'intérieur, comme des actions exercées par les éléments d'une couche sphérique qui envelopperait ce point; on sait que la résultante de ces dernières est nulle, en sorte que le point qui leur est soumis reste en équilibre, quelle que soit sa position dans l'intérieur de la couche.
Cette différence de résultats s'explique aisément : En effet, soit mm un élément infiniment petit de Tanneau (/ïg. 4^) j joignons A y//, km' . ces droites prolongées interceptent un second élément pp' ; comparons les actions contraires de ces deux éléments sur le point A :
L'attraction àstmm! sur A est rgale à l^J P^
L'attraction de pp' sur A est égale à uj p (^ — --
kp
Or, les triangles infinitésimaux Kmm'^ ^^PP' sont semblables, et donnent la proportion
mm' pp' A m A/y *
donc le rapport de Taltraction exercée par mm' à l'attraction exercée ^2iY pp' est égal à — —'^ et, par suite, le point A
est plus attiré par celui des deux éléments dont il est plus voisin. Sidonc on divise l'anneau en deuxparties C/wB, Cp B par une perpendiculaire élevée en A sur oK^ Tare CwB exercera sur A une attraction prépondérante, et ce point marchera vers 1 en s'éloignant du centre.
Si, au lieu d'un anneau plan , il s'agissait d'une couche sphérique, les éléments linéaires mm! ^ pp' seraient remplacés par des éléments superficiels , bases des deux cônes
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îiifinitési maux dont A serait le soiiimiîl^ ces bases étant semblables seraient entre elles dans le rapport
mm' A m ou —
