PP' A
et, par conséquent, les actions contraires de ces deux éléments de couche sphérique seraient égales entre elles. Le plan Bx\.C partagerait donc la couche en deux segments dont les attractions se détruiraient mutuellement.
2. L'attraction exercée par une barre homogène XX' (fi g. 4')' ^ longueur indéfinie et d'une épaisseur trèspetite, dont chaque point attire un point extérieur K en raison inx^erse du carré de la distance , est égale à V attraction qu exercerait suiv^ant cette loi, sur le même point A, un demi-anneau circulaire DoE de même matière et de même épaisseur, tangent à la barre, ayant son centre en A , et pour axe la perpendiculaire abaissée de ce point sur la barre ; l'attraction est inversement proportionnelle à la simple distance du point attiré à la barre.
Soient mm' = Jorun élément de la barre, xladîstance om^ 9 Tangle o A m, a la distance Ao; et conservons aux lettres LL^ f\ (i>^ p , la même signification que dans le problème précédent. Si l'on pose, pour abréger, f/^^w p = K, l'attraction exercée par l'élément mm' suivant A m sera
eij:
adQ a
or
X r=: a iaiïi' . d'où rix =z -, A m
^ cos^ô cosO
Lexpression de Tattraction de nun' devient
dd KadO
EXERCICES DE MÉCAIVIQUE. 187
Or, telle est aussi rattractioii qui serait exercée sur A par Félément pp' de l'anneau circulaire DoE.
L'attraction totale de la barre sera évidemment dirigée suivant la perpendiculaire Ao; pour l'obtenir, il suffira de faire la somme des composantes suivant cette direction de
toutes les actions élémentaires exprimées par K — : celte
somme est
Elle est donc en raison inverse de la simple distance.
Si l'on considérait seulement l'attraction exercée par une portion finie BC de la barre sur le point A, il est clair qu'elle serait égale à l'attraction de la portion PQ de l'anneau comprise entre les rayons vecteurs extrêmes-, par suite elle seraîldirigée suivant la bissectrice de l'angle BAC , et il serait facile de calculer son intensité en faisant la somme des actions élémentaires estimées suivant celte bissectrice. En désignant par 0^ , By les angles oAB, oAC, l'attraction de la portion BC serait mesurée par
sin (
3. U attraction exercée, par une couche M]N plane, //omogèncj (Tune étendue indéfinie et d'une épaisseur infini-^ nient petite, dont chaque point attire un point extérieur A , en raison impers e du cube de la distance^ est égale à Vat" tractiori qu exercerait, suii^ant la même loi, une couche hémisphérique Do RE, de même épaisseur et de même matièrcy tangente au plan MN , ayant son centre au point A , et pour axe la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan. Cette attraction est im'crsement proportionnelle, à la simple distance \o du point attiré au plan (fig. 4^)'
l88 TROISIÈME PARTIE.
Soient A o = nt, 9 l'angle o A /?/ , i|/ Tangle que le rayon vecteur om ou rfait avec une droite fixe ox tracée dans le plan. Considérons un élément mm^ dont la surface, exprimée dans le système de coordonnées /• et ;p , est rdrd^ \ Fattraction qu'il exerce sur le point A, suivant Am, est
JLrdrd^f Ksin Ôr/Q r/^p
Am puisque Km = 9 r =/j tang 0.
Or, l'élément de la couche hémisphérique, correspondant à mni\ étant a^ siiiQ dO d'^ ^ son attraction sur A sera
K. a' sin B dB d^ K . sin dO dl ? ou -^
c'est-à-dire égale à la valeur ci-dessus.
L'attraction totale du plan indéfini MM est évidemment dirigée suivant A o, et sa valeur est la somme des composantes suivant cette direction des actions élémentaires exprimées parla formule précédente, ou
— I d-h I sm ôcosGr/ô = •
« Jo Jo ^
La proposition que nous venons de démontrer directement pouvait être déduite de la précédente, en décomposant la couche plane en une infinité de tranches matérielles parallèles entre elles , et prenant la résultante des actions de toutes ces tranches :
En effet, soit DCE (Jîg' 4^) l'une de ces tranches^ la perpendiculaire oj la c6upe en un point C , et la direction CA sera celle de la résultante des actions de tous les éléments de la tranche sur le point A.
Soient Cm = jt, AC = b, CAM = w,
mm = ftj: =. a [b lang ta) = — — ; A m =r
COS^fr) COSfr)
rattraction de rëlément mm^ sur A est égale à
K (ix K cos &) dtù
et, par suite, Tattraction totale de la tranche indéfinie DCE est
K rS , , Kl.
r— f cos' Cl) « « = — 7^
Elle est inversement proportionnelle au carré de la distance AC \ le point A est donc dans le même cas que s'il était sollicité par une infinité de forces , émanant de tous les points C de la droite indéfinie jj^ et inversement proportionnelles aux carrés des distances. C'est précisément le cas du théorème 2 ; donc la résultante de toutes ces forces sera égale à
Ktt Rtt
la a
résultat conforme à celui que nous avions trouvé.
IQO TlOISIEME PARTIE.
