CHAPITRE n
APPLICATIONS Dt PRIJ?ICIPB DES VITESSES VIRTLEIXES A LA DÉTERMIHATIOR DES COL'BBES d'ÉQUILIBRE d'i M POIDS SOU- MIS A DIVERSES COmUTIOHS.
1. Déterminer la courbe fixe A/wB (fig. 44) sur laquelle un poids P est assujetti à glisser pour que, dans foutes ses positions, ce poids fasse équilibre à un poids P suspendu verticalement à un cordon inextensible , qui passe sur une poulie C et s'attache au poids P. ( On néglige le poids du cordon. )
Prenons pour axes la verlicale CP'x et l'horizonlale Cj] soient x et j It^s coordonnées du poids P, r le rayon vecteur CP, x^ l'abscisse du point P% / la longueur constante du cordon P' CP ; on a
Le système étant à liaisons complètes , le principe des vitesses virtuelles ne fournit qu'une seule équation
à laquelle il faut associer celle qu'on obtient en dirterentiant l'équation de condition précédente ,
dx' -h rf'" = o ;
éliminant dx\ il vient
Pr/.r — P'f/r = o,
et, intégrant,
A =r — .r -h CDnst P'
EXERCICES DE MÉCÂINIQUE. I9I
Le rayon vecteur étant fonction rationnelle de Tabscisse,
la courbe cherchéesera une section conique ayant le point C
pour foyer, et pour axe principal la verticale Cx, Comme le
poids P est en partie détruit par la résistance de la courbe
sur laquelle il repose , et que le poids P' conserve toute son
action , il est évident que P doit être plus grand que P' ; ce
qu'indique d'ailleurs l'équation P rlx = P' dr. On a donc
— ^ I , et, par suite , la section conique ne peut être qu'une
hyperbole.
La constante arbitraire introduite par l'intégration sera déterminée par la condition que la courbe passe par un point donné. Si l'on suppose que ce point soit Torigine C , la constante sera nulle -, le rayon r sera proportionnel à l'abscisse Jc, ce qui caractérise une ligne droite, ou plutôt un plan incliné passant par le point C, et sur lequel le poids P pourra glisser.
2. Une barre pesante AB (fig. 45) est mohile dans un plan vertical ABC, autour d'un axe perpendiculaire à ce plan y et passant par r extrémité A. ^u sommet C de la verticale AC est placée une poulie ^ sur laquelle s'enroule une corde BCM, ineoitenslhlc, dont un bout soutient V extrémité B de la barre , et Vautre un poids M. On propose de déterminer une courbe fixe DME, telle que le poids M assujetti à reposer sur cette courbe , fasse constamment équilibre à la base.
La figure peut représenter la section verticale faite par le centre de gravité G du tablier d'un pont -levais . et les tensions des deux chaînes qui soutiennent le pont seraient remplacées par leur résultante dirigée suivant le cordon BC.
Les forces qu'il s'agit d'équilibrer sont le poids P de la barre appliqué à son centre de gravité G et le poids M.
Soient X et x' les abscisses des points G et M, comptées
ig2 TROISIEME PARTIE.
sur i'axc vertical C jrr à partir de l'origine C. Le principe des vitesses virtuelles donne l'équation
(i) Mdx-hPdx = G.
Soient AC = A, AB = /, AG = s^ Cm = r; a la longueur totale du cordon HCM; nous introduirons comme variable auxiliaire l'abscisse CK du point B -, soit CK = X.
Les liaisons du système s'expriment ^ar les deux équations
rï
l'= A'-f- (a— ry— 2/iX, d'où l'on tire
[ [a — r) dr -{- h d\ =1 o \
éliminant dx' et ^X entre les équations (i) et (2), il reste une équation entre les coordonnées r et x du point M,
^ ' Vs
Soit, pour abréger, — - — = ô; l'inlégration donne
ar zz: ox -^ c,
C étant la constante arbitraire ; ou , si Ton désigne par 6 l'angle MCa:,
ar — = or cos ô -H c
Soient r^ , Oq les coordonnées d'un point donné par lequel la courbe doit passer 5 on aura
c = la — b cos Ôo ) ^« ^ •
jNous nous bornerons à discuter le cas où les coordon-
liées f'oy de satisfont à la condition e = o. Alors, en supprimant le facteur r, on a simplement
r r= 2fl — 2.b cos ô.
La courbe représentée par cette équation est bien connue^ c'est l'épicycloïde qu'engendre un cercle de rayon a , roulant sur un autre cercle égal au premier, tandis qu'un point m pris sur un rayon du cercle mobile et distant de son centre de la quantité i, tourne avec celui-ci.
En effet, soient A {fig- 47) 1^ point où se touchaient les deux cercles à Torigine, m la position du point décrivant lorsque le cercle roulant , dont le centre est C, est venu toucher en B le cercle fixe dont C est le centre ; en sorte que arc AB = arc A'B 5 soient CA = a , c' m= b. Prenons sur le rayon fixe CA , prolongé s'il est nécessaire , une longueur CO = i-, le point O sera l'origine des rayons vecteurs, et COt Taxe polaire. Soient Om = r, mOa:=0; m O étant parallèle à ce, se projette en vraie grandeur sur cette droite, et Ton a
CC'=:0'm'H- 2CO', ou 2r/ = r-h2/->cosô,
d'où
r = 2a — 2^ cos 6.
Dans la construction de cette courbe, on distingue trois
cas :
a = by a<^by a'^b.
Dans le cas où a = b, on a
r = 2« (1 — cos 6).
Si l'on décrit un cercle du point C comme centre avec a pour rayon (fig- 46), et que Ton tire un rayon vecteur quelconque CMN incliné à la verticale de l'angle 0, on aura
RS = «(i — cos G), et, par suite, r=7. RS;
ig4 TROISIÈME PARTIE.
on aura donc uu point M de la i-onrbe en prenant CM double deRS.
En désignant par \ Fangle de la tangente avec le rayon vecteur^ on trouve
ce qui permet de construire aisément la tangente en chaque point. La courbe touche en C la verticale Cjt; elle coupe le cercle en un point T, lel que RT est ^ale au rayon , et la tangente en ce point est horizontale.
Le poids M ne saurait s écarter du centre C au delà de T, et, quand il atteint cette position, le pont-levis est devenu vertical; son poids est détruit par la résistance de Taxe A, et le poids M est également détruit par la résistance de la courbe sur laquelle il repose. L'autre position limite du pont'levis est l'horizontale AH; la valeur correspondante du rayon vecteur Cm est
r = a — ^h^ -h Pj d'où cos ô =
ces valeurs de r et de 6 déterminent un certain point V de la courbe, et la seule portion utile de répicycloïde , c'est-àdire celle que le poids pourra décrire, sera l'arc \ T. Le
point V sera en C , quand on aura a = \/A* -4- /*. Nous ne nous arrêterons pas à la discussion des deux autres cas.
BXERCICBS DE STATIQUE. 193
