CHAPITRE m
sijR l'équilibre d'un fil flexible et inextensible.
1 . De la figure d'équilibre d'un fil flexible, homogène y d'une épaisseur constante et d'une longueur donnée, at^ taché par ses extrémités à deux points fixes A, B, et dont chaque point est sollicité par une force dirigée vers un centre fixe o , et fonction de la distance du point à ce centre^
Prenons le centre fixe o (fig* 4^) pour origine des coordonnées. Soient R la force appliquée au point in (x ^ y^ z) et rapportée à Funité de longueur du fil ; T la tension en ce points r le rayon vecteur o/n.
Les équations d'équilibre sont
d,T -T K -ds = o,
as r
^ ^ as r
dz z
d.T-; K-ds = o,
ds r
Démontrons d'abord que la courbe AmB est plane. En combinant deux à deux les équations précédentes, pour éliminer les seconds termes, on en tire
ar</.T-7- — rrf.T -7- = o ds ds
) ou dz dx
xd,T afl?.T-;- = o
ds ds
et, intégrant,
T (xdy — jdx) = cds, T ( xdz — zdx ) =: dds.
Mut
196 TBOISIÊVE PAKTIE.
DÏTisoDS membre à membre, ponr éliminer T. et meltons X* en diviseur, il vient
k désignant la constanle - - EnBn , par ane seconde intégration , OD 3
équation d'un plan passant par l'origioe. Les constantes X: et k' serOQt déterminées par la condition que ce plan renferme les points exlrcnies A et B.
Le fil en équilibre cal donc contenu tout entier dans le plan conduit par ses deux extrémités fixes et par le centre d'attraction, ce qu'il était aisé de pi-évoir.
Prenons ce plan pour celui des xv : nous ne conserverons ainsi que les deux premières équations (1),
Nous en avons déjà tiré
Le premier membre de cette intégrale repiésente le moment de la tension T par rapport au centre fixe. Ainsi le moment de la tension en chaque point, par rapport au centre fixe, est constant. Soit p la distance oD (Jig- 4q)
centre à la direction de la tension, l'équation précé-
te peut s'écrire
* tension varie donc en raison inverse de la distance du
EXERCICES DE STATIQUE. IQJf
centre fixe à sa direction, ou encore, en raison inverse de la projection du rayon vecteur sur la normale mN.
Si l'on multiplie les équations d'équilibre respective-
oie rfv
ment par —7 -^9 et qu'on ajoute les produits, on a,
comme on sait ,
^/TrzrRrfr, d'où (3) T=c'-f-/Rrfr.
Ce qui montre que V accroissement de tension, en passant d'un point à un autre du fil , dépend uniquement des dis^ tances de ces points au centre d^ attraction.
En éliminant T entre (2) et (3), on a l'équation différentielle de la figure d'équilibre,
[c'-^jYidr) [xdf — ycla:)= cds.
Soit mox = 6 5 on a
xdf — j</a? z= r'dB, ds = \/dr^-i- r'dQ^ ;
on tirera de l'équation précédente
La recherche de la figure d'équilibre est ramenée à une quadrature qu'on saura déterminer exactement pour certaines valeurs données de la fonction R.
Nous avons trouvé (page 67), pour l'expression générale du rayon de courbure d'une courbe plane,
rdr ^ "^ d(rsmyf
où V désigne l'angle de la tangente avec le rayon vecteur. Or
donc
//{rsinVl = 7-T TTr-TT'
1^8 TROISIÈME PAKTIE.
et, par suite,
Telle est Texpression du rayon de courbure en fonction du rayon vecteur.
Examinons , en particulier , le cas où la force centrale suit la raison inverse du carré de la distance 5
L'équation (4) devient
±cdr dB =
et si l'on pose -^ = z ,
zn.cdz
dB
/- W ■ ■■■■ ■■ P^' — ■■Mi t ■ ■ Il I
L'intégrale s'obtient sous forme finie et prend des formes différentes selon que
p^C ou fA<^C, ou |X = f .
Soit, par exemple , |jl* — c* = — /i* 5 on trouve
— C ^. -y^/î» -I- ijt'cos ( . — w J.
« « \ \/ «^ -+- fjt* /
Cette équation pourra se construire à l'aide d'une section conique.
Pour déterminer les trois constantes /i, c', co, on a les conditions que le fil passe par les points donnés A et B , et qu'il ait une longueur donnée 5 si ces conditions ne fournissent pas des valeurs réelles et finies polir les constantes, on en conclura que la forme adoptée à priori pour l'intégrale n'est pas admissible, et Ton recommencera le calcul en partant d'une autre forme.
EXERCICES nK STATIQUE. I99
Eu général , la courbe est recdfiable , car on a ds =1 ar\/ I H -7--- = , — I - •)
2. Remarque sur V élimination de la tangente T rfaw5 /a recherche de la figure d'équilibre du Jil flexible.
Dans la question qui vient de nous occuper, il a suffi, pour obtenir l'équation de la courbe formée par le fil , de substituer dans une combinaison des équations (i), la valeur deT tirée de l'équation (3). En général, Pélimination de T pourra se faire ainsi , toutes les fois que les composantes X, Y, Z de la force (centrale ou non centrale) qui sollicite chaque point du fil , satisferont à la condition d'intégrabilité
ILdx -\- X djr -{- Zdz =1 d (^ [x y y , z) j
parce qu'alors on aura
T = /— (Xrflr H- Yrfj -f Zdz) r= const. — <p(a?,r, ^).
Cependant , si(Xeir-hYrf^-hZrf2) n'était pas une différentielle exacte, on peut demander comment s'effectuerait 1 élimination de T. Pour répondre à cette question , nous prendrons les équations de l'équilibre du fil sous la
forme générale
dx\ Tsj
^/^T^ ] -HXc/.f = o,
-h Yfl?.v —G,
proposons-nous d'en éliminer T el z afin d'avoir une équation diflérenlielle entre 7 et x seulement. Si l'on effectue
et, par suite,
