TROISIEME

lit par exemple

> qui dépende'^

u oomb**

Telle est Texpression du rayon vecteur.

Examinons, en pa* suit la raison invers'

L'équation

et si Ton \

roi

L*iii dir

(Il

du cinquième o.

oonnaitrc r en fonctiou liitraires; par snite. :r et T connues de x et des mêmes con- - déterminer ces cinq constantes . les urbe passe par deux points donnés et 'i\r donnée.

'C autre méthode d élimination plus simple. Le • nr des équations 1 1 ) peut être remplacé par le suivant :

dy fir dx dr .

Ydr — Xdr = 1 {^d- -d — ].

\ds ds ds d> '

, dx dz dz dx \

r/T = — ( Xdx -^Ydr-h Zdz :

puiî^, .si Ion rli>iseles deux premières, membre à membre , OT» a , PII pFfmant x pour variable indépendante ,

d'y Yrix — Xdr di

Xr/z — Zdx d'^z

dx

i'quâlfon indépendante de T <'t du deuxième ordre par rapport à y ri à z. Enfin, en substituant dans la troisième é(|iialfnri la valeur de T lirée de l'une des deux premières,

Blîci;

')E STATIQUE. 2o3

ice par le fil \ on la calculera

^^ Y / •lations(i).

i^^^ lindre à base circulaire,

= dz2/-;

■luldplîées respec-

'' '«^'^Xx^tion

xfi^^ eS^^ ^^rigé en sens

ve

^ la ï'ésîslance de la surface rapportée à 1 li. ^ so^*^^ Au fil , 17 le poids de cette unité ^ les équaliv

.Vé4**^ t I (lx\ dL ,

en ^^''

(IT = pdz , o^ * " T = /?3 + A .

*^^ ' fil ay^^* ""^ longueur donnée, et étant fixé par ses

^^ \irétn\tés à deux points donnés de la surface, il y

deu^ ^lans la figure d'équilibre , un certain point plus bas

a^^^' ^ Ips autres. Soient c l'ordonnée verticale, et /;//. la

que to^'

les ditl'érentialions indiquées , en prenant par exemple X pour variable indépendante, les quantités qui dépendent de T et de z dans nos trois équations sont au nombre de

cinq,

T, dT, 2, dz^ d'z.

En différentiant de nouveau trois fois de suite chacune de ces équations , on aura on tout douze équations, d'où Ton pourra éliminer les onze inconnues

z, dzy d^Zy d^Zf d^Zy d^z.

Il restera une équation différentielle du cinquième ordre entre 7 et x-^ cette équation fera connaître j^ en fonction de X et de cinq constantes arbitraires ^ par suite , z et T seront aussi des fonctions connues de x et des mêmes constantes. On aura , pour déterminer ces cinq constantes, les conditions que la courbe passe par deux points donnés et ait une longueur donnée.

Voici une autre méthode d'élimination plus simple. Le système des équations (i) peut être remplacé par le suivant :

r^ l dv ,dx dx dy

Ydx — Xdy =:T l-^d- -rd -4-

\ds ds as d.s

... r^ l ^ , dz dz , dx \

y^dz---7.dx = T \—d- 7-r/— ,

\ ds ds ds ds j

dT = — (Xe^ -f- Xdy + Zr/z);

puis, si Ton divise les deux premières, membre à membre, on a , eu prenant x pour variable indépendante ,

d}y Ydx — Xdy dx' Hdz — Zdx d^z

~dx^

équation indépendante de T et du deuxième ordre par rapport à Y et à z. Enfin, en substituant dans la troisième équation la valeur de T lirée de l'une des deux premières,

oiiâ

dx ! dY^\

Xclx 4- Y^j -h Zrfz = — r/ I -+- -T-, 1 »

dx''

équation différentielle du troisième ordre entrej^, -2 et a:. Ainsi , on est amené à intégrer deux équations simultanées, l'une du deuxième ordre , l'autre du troisième. Les intégrales renfermeront , conformément à ce que Ton a vu dans la première méthode, cinq constantes arbitraires.