De la chaînette sur une surface courbe
Soit L = o Téquation de la surface rapportée à un système d'axes rectangulaires dont Tun, celui des ^, est supposé vertical et dirigé en sens inverse de la pesanteur; posons
et soient N la résistance de la surface rapportée à l'unité de longueur du fil , /? le poids de cette unité ; les équations d'équilibre sont :
^ T — ) 4-NV--- ds — o, \ ds I dx
V ds j dy
on en tire dX =i pdz ,
d'où T = /?3 -h A .
Le fil ayant une longueur donnée, et étant fixé par ses deux extrémités à deux points donnés de la surface, il y aura, dans la figure d' c»qui libre , un certain point plus bas que tous les autres. Soient c Tordonnée verticale, et /;//. la
202 TROISIÈME PAllTIE. .
tension du iil en ce point ^ on aura
ph = pc -^ A^ d'où A = /? ( // — c);
d^où l'on voit que si le plan des xy est demeuré arbitraire, il suffira qu'il soit placé à une distance h du point le plus bas, pour que la constante A soit nulle; alors on aura simplement
c'est-à-dire que si l'on venait à rompre le fil en un point quelconque, on pourrait maintenir une des portions en équilibre , en lui ajoutant un prolongement vertical de même densité passant sur une poulie fixe, et terminé au plan fixe des x , j*.
Plus généralement, la différence des tensions en deux points quelconques égale le poids d'une longueur de fil égale à la différence des hauteurs de ces deux points au-dessus d'un même plan horizontal.
Discutons quelques cas particuliers.
I**. La surface L est cylindrique et son axe est ^vertical. On a
L = /(x, jr)=zo, d'où — = o.
La troisième équation (i) se réduit, en y remplaçant ï
par p^ ,
d[—.]:=ds, d'où 3' = j- H- h\
en comptant l'arc s à partir du point le plus bas. Cette relation est précisément celle qui a lieu, dans la chainetie ordinaire , entre l'arc et l'ordonnée verticale : donc la courbe tracée par le fil sur le cylindre est telle, qu'elle a pour transformée une chaînette dans le développement de la surface.
La résistance IS est égale et contraire à la pression exercée
EXERCICES DE StATIQUE. 2o3
de dehors en dedans sur la surface par le fil ; on là calculera au moyen des deux premières équations (i) .
Supposons qu'il s^agisse d'un cylindre à base circulaire,
dh dh I ^
dx dy ^' V '
on lire des deux premières équations (i), multipliées respec-
livement par -r-^ ^r"*
*■ dx dy
mais puisque
ds ds dx'^ -f- dy"*^ / dz
^ ds -^ ds ds' '^ \ds) ''
donc rN=dz;..[(^^y-i]=±/.3(J-.) , ou , enfin ,
ha pression 'varie donc en raison inv^erse de la hauteur du point considéré au-dessus du plan horizontal des x , j.
Comme on a T = pz ^ on peut dire encore que la près-, sion en chaque point varie en raison inuerse de la tension coiTespon dante.
2^. La surface L est une surface conique de résolution dont Vaxe est vertical.
Ici , il convient de prendre pour origine le sommet du cône, et, par conséquent, la constante A de l'expression deT ne sera plus nulle en général 5 on aura
T = pz -h A — p [z -h h — c).
2o4 TROISIÈME PARTIE.
En prenant pour axe des z Taxe du cône , et désignant par a le demi-angle du sommet, il vient
L, = [x^ -^ jr^) ces' a — z' sin' a ,
dL dL dh
— — =r 207 cos'a, =2rcos'a, — r" = — 2zsin'a.
dx ^ dy '^ ^ dz
Substituant ces valeurs dans les équations (i), on tirera des deux premières,
et, intégrant,
Cette intégrale, transformée en coordonnées polaires, va
nous fournir la projection horizontale de la courbe cherchée.
Soit 6 l'angle que fait avec l'axe des j:, la projection
horizontale de l'arête du cône aboutissant au point {x^y^ z )
du fil 5 on a
I j , Fr> ces a , ces a ,
xdy — Y dx :=zr^db. z-=. r — 9 dz = — dr ,
sm a sm a
is = y/.
dr^ sm^ a
et , ces valeurs substituées dans l'équation précédente , on
tire
Bdr
r y^( pr cos a + A sin a ) V — B* sin^ a
Cette expression n'est pas intégrable, en général, sous forme finie. Elle le devient si l'on suppose c = h, ou A = o ; alors
dr B —
B' sin' a
p^ cos^ a
EXEKCICES DE STATIQUE. 2o5
, . B sin a
ou bien , en posant = u .
* p cosa.r'
, - — du
2 sma. a 9 = — -— ~ .
\/ 1 — m' L'intégrale est
/A \ • /' Bsina \
2 (Ô — w) sm a = arc cos ) •
\pcosct. r^ J
Au point le plus bas, on peut supposer d = - en faisant
passer le plan desjz par ce point; et, de plus, on a alors
A sin a
r^ 9 etc.
cos a
Pour avoir la transformée de la courbe décrite par le fil dans le développement du cône , désignons par R la longueur deTaréle dont la projection est r, et par© l'angle du développement du cône qui répond à 9 ,
rrrrRsina et 0r=0R, d'où = -.
sma
Ces valeurs étant substituées dans l'intégrale précédente, on trouvera l'équation d'une hyperbole équilatère.
Le calcul de la pression N ne présente rien de remarquable.
4. Déteiiruner V épaisseur variable et supposée très-pe^ tite d^unfiljlexible, homogène et pesant y suspendu à deux points fixes y de sorte que sa figure soit une courbe donnée.
En prenant le plan de la courbe pour celui des ocy , et pour axe des y la verticale dirigée en sens contraire de la pesanteur, on a les équations
dy d .J — -{- g (a ds ■= o ,
(à désignant le produit de la densité du fil et de la section normale qui a lieu au point m {Jig. 49)*
ds De la première équation , on tire T = gh — » gh étant la
tension au point le plus bas C; et cette valeur de T, substituée dans la deuxième équation , donne
hd -^-^^dx\ i-i- -jL=:o.
dx y dx^
Soit -- =1^; on tire dx
dx
Vu-/?'
La courb^ ACB étant donnée , on tirera de son équation
les valeurs de/? et ^en fonction de j:, et, par suite, on
aura la fonction de x que o) représente. L'équation précédente peut s'écrire
désignant le rayon de courbure de la courbe donnée ; supposons que cette courbe soit un cercle ayant son centre en D sur oy , et soit B l'angle CD/w \ on aura p = tang 9 , et, par suite ,
P cos' ô
p étant constant , on voit que o) , c'est-à-dire l'épaisseur du fil , variera en raison inverse du carré du cosinus de l'angle 0: elle sera la plus petite possible au point le plus bas C
ou 1 on aura w = —
