DE ROTATION
1. Uti fil Jlexïble y homogène , non pesant et de Iongtteur invariable y est animé d'un mouvement de rotation autour de la droite qui joint ses extrémités fixes. Ce fil peut-il prendre une figure permanente , et quelle sera cette figure? (Question proposée par M. Sturm, au concours d'agrégation de 1842. )
Pour que le fil puisse prendre une figure permanente , il faut que le mouvement de rotation soit uniforme. En effet, supposons que le fil tourne en conservant constamment sa figure; on ne changera rien à son mouvement en supposant qu'il devienne rigide , puisque les forces effectives prises en sens contraires, qui, d'après le principe de d'Alembert, se font actuellement équilibre sur le fil flexible , se feront encore équilibre après sa solidification : mais alors ce fil sera dans les mêmes conditions qu'un corps solide tournant autour d'un axe fixe, sans être sollicité par aucune J'orce , et l'on sait qu'alors la vitesse angulaire de rotation est constante.
Supposons donc qu'un fil AmB (fig- 5o) tourne avec une vitesse constante autour de l'axe AB; prenons cette droite pour axe des x et le point A pour origine. La force effective , rapportée à l'unité de longueur du fil , qui sollicite chaque élément ds , peut en général se décomposer en deux,
l'une tangentielle, — ds (qui est nulle ici, puisque la vi-
tesse \ ne varie pas avec t) 5 l'autre centripète , — ds , qui
2oS TROISIÈME PARTIE.
est dirigée suivant le rayon r du cercle décrit par le point m. En désignant par ot) la vitesse angulaire de rotation , on a V = rc«), et p = r ; la valeur de la force centripète est donc rw' rf^ , et ses composantes parallèles aux axes des x , y^ z sont o, — ^'jTî — w* 5.
Or, le fil doit être en équilibre sous l'action de semblables, fondes prises en sens contraires^ on aura donc les équations
ds -^
dz d.T V -+• w^2 «^f = o.
ils
De ces équations, on conclut d'abord que la courbe est planta :
En eilet, si Ton multiplie la seconde équation par z et la tmisîème par y, et qu'on retranche membre à membre, il
vient
dy , ^ dz
zd.T^ — r ^/.T — =o,
ds " ds
équation qui équivaut à
/ dr dz\
dont Tintégrale est
/ dr dz \
Mais la constante c est nulle; car, au point A , on a j = o, ^ = 0, et les cosinus -j-^ J- ^^ peuvent prendre que des
valeurs finies, ainsi que la tension T. Ces valeurs devant vérifier Téquation précédente, on en tire c= o, et, par suite , on a pour tout point de la courbe ,
z dy — y dz = o , ou d l-\ =^ o;
d'où
équation d'un plan parallèle à Taxe des x. Ce plan , devant renfermer les points A et B, passera par l'axe lui-même, d'où /ï = 05 quant à la constante tw, elle doit rester indéterminée, puisque le fil peut être placé dans un azimut quelconque.
Prenons pour plan de la courbe le plan xKj\ nous n'aurons plus à traiter que les deux équations
dx
dy
ds -^
La première s'intègre immédiatement , et donne
en désignant par j c o)' la constante arbitraire.
c est une quantité positive , car la tension T est positive ,
djc et l'on peut toujours faire que — soit positif au point A,
en y plaçant l'origine des arcs. Substituant cette expression de T dans la seconde équation , il vient
dy c d. -■ — h 2,yds = G.
dx
Cette équation déterminera la figure d'équilibre du fil. Il est à remarquer que le facteur tù a disparu ; d'ailleurs ^ la valeur de la constante c ne dépend que des limites et de la longueur du fil , mais nullement de <i)^ donc la forme de la courbe ne dépend pas de la ^vitesse angulaire. Ce résultat , en apparence paradoxal , s'explique en observant que , d'après l'équation (i), si le mouvement s'accélère, la ten-
sion du (il en chaque point augmente proportionnellement au carré de la vitesse angulaire.
Pour intégrer Téquation précédente, on pose -^ =p^
dy
d'où ds = -^ Ji -+- p* , et il vient on en tire l'intégrale première
