IS
a étant une constante arbitraire.
Comme on a au point A, « { -j" ) = c, on voit que
la constante a est de même signe que c , c'est-à-dire positive; et de plus, qu'elle est plus grandç que c,
— ne peut devenir négatif en aucun point de la courbe j car le changement de signe de — i s'il avait lieu,* exige-
us ^
rait que cette fonction finie et cotitinue 'de x passât par zéro , d'où Ton conclurait que Ja Constante c est nulle : oe qui est inadmissible. Ainsi, Tare croît constamment ayec Tabscisse depuis A jusqu'à B.
De l'équation précédente on tire
cette expression n'est p^s intégrable, en général ; majs on peut reconnaître d'après elle certains caractères de la
courbe, y ne saurait dépasser ^a — c , quantité réelle d'après ce qui a été dit plus haut \ quand l'ordonnée atteint
dy
cette valeur maximum, on a — = o, et, par conséquent, la tangente est parallèle à l'axe A6.
A partir de rorigine A , jusqu^au point C pour lequel
y z= ya — c, on devra prendre le signe -h dans le second membre de l'équation (2), puisque j" croît avec x 5 au delà de ce point, y commence à décroître, on prendra le signe — ; et l'on voit qu'à des valeurs de ~- égales et de
signes contraires , répondent des valeurs égales de y : la courbe est donc symétrique par rapport à la perpendiculaire à Taxe de révolution menée par le point le plus haut.
L'équation (2) coïncide avec celle qui résout le problème d'analyse traité dans la seconde partie de cet ouvrage [chapitre VII ^ § *)• Le lecteur y trouvera les équations de condition qui existent entre les constantes a et c , ainsi que la discussion du cas où la longueur donnée (2/) du fil diQere peu de la distance (2 J) dçs points extrêmes A et B. La Qgure d'équilibre se confond alors sensiblement avec une sinusoïde.
Mais il faut remarquer qu'outre la courbe ACB, qui satisfait au problème d'analyse dont nous parlons, il existe une infinité d^ autres figures d* équilibre également possibles. En effet, la figure ACB suppose que le fil soit situé tout entier d'un même côté de l'axe AB. Or, si l'on conçoit qu'avant de lui imprimer son mouvement de rotation on l'ait partagé par moitiés , telles que ACO , OC'B jjig. 5 1) placées de part et d'autre de l'axe 5 puis, qu'on l'ait mis en mouvement en fixant d'abord son point milieu O , il est visible que ce point, abandonné à lui-même, demeurera immobile en vertu des tractions parfaitement égales et contraires qu'il éprouvera de la part des portions égales et symétriques qu'il sépare, et le fil se mouvra avec la figure permanente ACOC'B. Cette figureprésente deuxpoints C, C où l'ordonnée (abstraction faite du signe) atteint la valeur
maximum y/ a — c\ mais les constantes a et c ne seront plus
les mêmes que dans le premier cas, où il n'existait qn^une ordonnée maximum. Eji effet , en conservant les notations nbj ni pour désigner la distance ÂB et la longueur du fil ,
nous avons AP= -etarc AC = -; les équations (3) et (4)
du problème d'analyse déjà cité seront donc remplacées par les suivantes :
On conçoit de même que le fil pourrait être partagé en trois, en quatre, en n parties égales situées alternativement de part et d'autre de l'axe {Jig- 5 1 ) .
L'équation de la sinusoïde obtenue par approximation dans le cas où la figure du fil s'écarte peu de la droite AB , rend bien compte de ces diverses solutions. E^ effet , on a trouvé ( page 117)
sm — î— ma
où les constantes a et e ont été remplacées , pour l'homogénéité, par fl* et ma*.
Pour déterminer a et m, on a les conditions que la courbe passe au point B , et que l'arc AB ait une longueur donnée : les coordonnées du point B étant j^ = o ? x= nbj on aura d'abord
nir*
ma
n désignant un nombre entier quelconque ^ et, par suite,
2Ù ^ l m' . FITC
y = sin — r X .
mnn 2 à
EXERCICES DE MÉCANIQUE. !ll3
En donnant successivement à n les valeurs i , 2 , 3 , 4? • • • <) cette équation représentera une infinité de sinusoïdes qui seront les différentes figures d'équilibre dont nous avons reconnu la possibilité.
2. Un vase à deux branches verticales AB , GD( fig. Sa), réunies par un tube horizontal, et symétriquement disposées par rapport à un axe vertical oz , contient du mercure dans ses deux branches. On suppose quel' on imprime à ce vase un moui^emeht uniforme de rotation autour de oz, La colonne mercurielle se dii^ise et laisse un vide efgh dans la branche horizontale qui n'est plus qu en partie remplie, tandis que le liquide s'élève dans les deux branches verticales.
On propose de déterminer la figure permanente du liquide et les dimensions de l'espace vide.
D'après le principe de d^Alembert, il doit y avoir équilibre , eu égard aux liaisons du système , entre les forces appliquées à tous les points de la masse liquide en mouvc ment et \qs forces effectis^es prises en sens contraire.
Si Ton désigne par X, Y, Z , les composantes de la force, rapportée à l'unité de masse (la pesanteur), qui agit au point dont les coordonnées sont x^y^ z, par p la pression en ce point, par p la densité du liquide, parX', Y', Z' les composantes de la force accélératrice qui produirait sur chaque point libre le mouvement qu'il a réellement) on a, d'après les principes de l'hydrostatique ,
Or, on suppose que le liquide tourne en conservant une figure permanente ^ la pression p est donc indépendante du
2l4 TROISIÈME PAUTIC
temps, et n'est fonction que des coordonnées JC, y, z. Par suite, on déduit des trois équations précédentes ,
^/? = p[(X — X')^-h(Y — Y') rfr + (Z — Z')€/z],
équation propre à déterminer la pression.
Il en résulte que la figuie permanente ne sera possible qu'autant que l'expression
sera la différentielle totale d'une fonction de x^y^z. Cherchons la valeur de cette expression :
La densité p est une constante donnée.
En prenant pour axe des z l'axe de révolution , on a
La force accélératrice effective se réduit à la force centripète ( — ) 9 puisque la composante tangentielle [-r-] est
nulle dans un mouvement uniforme 5 soient ct) la vitesse angulaire de rotation, ria distance du point (x^y^z) àTaxeo-z,
on a if = r(ùy p = rz=: ^ x* ■+~y * • ï* force effective a donc pour intensité rw*, et comme elle est dirigée suivant le rayon r, ses composantes sont
X' = — w^:c, T=^ — <ù^X, Z'rrro;
par suite , **
^ = p [— gdz -h «» (xdx -h X^X)]'
Cette expression est bien une différentielle exacte, et en l'intégrant on a
(i) p=z —gpz-{-^(a:'-hX^)-hc,
c étant une constante arbitraire, qu'on déterminera plus loin.
Les surfaces supérieures aft, cd des deux colonnes liquides
sont des surfaces de niveau, c'est-à-dire que la pression est constante d^ns tous leurs points : on a donc pour ces surfaces ' •
dp:=0, ou — gdz-^ -</(a:'H- j') = o;
d'où Ton tire
k étant une nouvelle constante.
Ainsi les surfaces Hbres ab , cd sont des portions d'un même paraboloïde de révolution dont Faxe est celui de la rotation. * . "
Les surfaces libres in^rieures ef^ ^A «appartiennent aussi à un parabdloïde de révolutioa autour du même axe, dont r équation ne différera de laptécédente que par la constante, et sera
mais les constantes & et // ne sont ]^£|s. indépendantes entre elles. Si Ton exprime tju'à la première surface, la pression/^ est égale à la pression atmosphérique xs , et qu'à la seconde surface la pression est nulle, on aura, d'après Téquation (i),
d'où
Pour que les deux parabolôïdes qui limitent la colonne abef soient complètement déterminés, il ne reste plus qu'à calculer la valeur de k, A ceueffet, oa a la condition que In volume de cette colonne soit équivalent à la moitié du volume total qu^occupait le mercure j à l'origine du mouvement, avant que la massene fût divisée. Or, le volume air?/ s'évalue par Ids règles ordinaires de la çubature des solides
2l6 TROISIEME PARTIE.
terminés par des surfaces de révolution. Comme on doit admettre qu'il reste toujours du mercure dans la branche horizontale CB , on pourra coricevoir deux sections normales pq^ rs ^ entre lesquelles sera comprise une partie du liquide regardée comme fixe et connue, et il ne restera qu'à évaluer les cylindres pqef^ rsab , tronqués par les paraboloïdes définis par les équations (2) et (3) , où A^' sera rem-
u , , , cr
placé par h H •
La somme de ces deux volumes dépendra de la constante ^, et en l'égalant à la moitié du volume total du mercure di-^ minuée de la partie connue pqrs^ on aura une équation propre à déterminer h.
Cela fait, on calculera sans difiiculté le volume de la partie vide efgh.
Enfin, comme on a c zrzw^- gpk^ Téquation (i) devient
et fait connaître la pression, en un point quelconque de la masse liquide.
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