DE LA TRACTOIRE ET DE LA LIGNE DE POURSUITE
4 . Déterminer le moui^ement d'un point matériel attaché à un fil inextensible et sans masse , situé dans un plan horizontal y dont Vautre extrémité est entraînée le long dune courbe donnée ai^ec une "vitesse donnée, constante ou variable, — On a égard au frottement sur le plan (*).
Soient x ejt y {fig* 53) les coordonnées du point m dont la masse «era prise pour unité ^ a et j3 celles de Textrémité A dû fil qui est assujettie à décrire la ligne donnée CD^ l'angle de la direction du fil avec l'axe ox : a et |3 sont des fonctions, censées connues, du temps. En représentant par T la tension du fil , par / sa longueur m> A , par R. la résistance due au frottement, on'aura pour équations du mouvement ,
— = loosô-R-,
^ = -Tsin6-R?,
dt' fis
avec
ix — a= — /cosÔ, (j— p = /sinÔ.
Ces quatre équations permettent de déterminer j^,>, et T en fonction du temps.
L'élimination de T entre les deux premières donne d'a-
( *) Académie de Saint-Félersbourg , 1784 : Mcincire d'Eiiler à consuUor.
2l8 TROISIÈME PARTIE.
bord
« . d^x d^Y I dx dy\
(3) sin 0-- hcosô -7^ -+-R sinô-;- -+-cosj9 — l = o>
^ ' dt^ dt^ \ ^ ds)
Nous nous bornerons à considérer deux cas limites , pour lesquels cette équation se simplifie, savoir : *
I °. R = o : le frottement est supposé nul. L'équation (3) se réduit à
(4) sinS— + cos 6-^ = 0. .
Si l'on y remplaçait -r-^ et -j^ par leurs valeurs tirées des
équations ( 2) , on aurait une relation entre 6 et f , qui ferait connaître le mouvement de rotation du point m autour du point A. Mais, comme on ne peut pas intégrer en général icettc équation différentielle, nous ne Técriroifs pas et nous* nous bornerons à la former directement dans quelques cas particuliers où elle est intégrable.
En premier lieu, supposons que le point A soit assujetti à décrire une ligne droite dun mouvement uniforme^ Prenons cette droite pour axe des a:, et soit h la vitesse du mouvement ; on aura
^ ePaj^ lié —
^■~^' dt" ' dt' ^^' t/r»""^'
et Téquation précédente se réduit, après la substitution indi(^ée ci-dessus , à
-—- = 0, d Qu — —= const. ;=— c.
dt^ ' ^ dt
(Nous représentons la constante par — c, pvcc que 6 diminue qi^nd t augmente.)
Ainsi , le mouvemeiit relatif du point w j par rapport au point A , est uniforme •
EXERCICES DE MÉCÂMQLE. 2I9
Ce résultat est une conséqueuce du principe général des mouvemeiits relatifs . En effet , la force qui sollicite le point A dans son mouvement recti ligne étant nulle, la force égale et contraire qu4l faut appliquer en m pour avoir le mouvement relatif de ce point autour de A est nulle : d'ailleurs , la tension du fil dirigée suivant le rayon mA ne donne pas de composante tangentielle ; donc le point m tournera uniformément autour de A.
On conclut immédiatement de là que la trajectoire du point m sera du genre des cycloïdes. En effet, si Ton considère un cercle d'un rayon indéterminé AB = r (Jig. 54) , qui roule d*un mouvement uniforme sur une droite CD parallèle à oo: et distante- de cet axe d'une quantité égale à r^ le centre A décrira. lui-même, d'un mouvement uniforme. Taxe ox^ et le rayon AB tournera aussi uniformément. Prenons sur ce rayon prolongé, s'il est nécessaire, un point M distant du centre de la quantité Am=:/. Pour que ce point ait exactement le mouvement de la masse m, il suffira que le centre A marche sur ox avec la même vitesse b que l'extrémité homologue A de la tige mobile , et que le rayon r satisfasse k la condition
--rdB=:bdt, d'où r=-.
Selon que l'on aura / > -? ou / <^ -? ou / = -9 le point m
décrira une cycloïde allongée; ou une cycloide raccourcie, ou une cycloïde ordinaire.
L'analyse va nous conduine aux mêmes conséquences.
Les équations (2) donnent :
dx
— = ^ — c /sin Q = b — c/,
d'où Ton conclut l'équation différentielle de la trajectoire
du poi tit m en coordonnées rectangulaires
•^ — ^ *^9 ou dx=:
dy
rflr cf — ^ /» j «
dont Tintégrale est
jr = -arc cos ^^ — y''' — /'-+- const.
On reconnaît ici une courbe du genre des cycloïdes. En effet 5 cette courbe serait engendrée par un point du plan
d'un cercle de rayon -, dont le centre parcourrait l'axe ox ,
tandis que le cercle roulerait sans glisser sur une parallèle à cet axe , / représentant la distance du point décrivant au centre du cercle.
La valeur de la constante c dépend des données initiales.
Supposons qu'à Porigine du mouvement, le fil ait été placé dans la position o C [fig- 55), perpendiculaire à la directrice ox, et prenons cette ligne pour axe desj^. Le point mobile , qui est alors en C , a pour coordonnées a: = o, jr = o C = / 5 nous supposons de plus que ce point n'ait pas de vitesse initiale.
On aura pour f = o,
TT dx h
0==-9 — - = o, ou b — c/ = o, d'où cm-»
1 dt ' /
Par suite , Téquation de la trajectoire sera
j: = / arc cos - — ^/ * — ^%
équation d'une cycloïde dont le cercle générateur de rayon / roule sur une parallèle CD à ox , et dont l'origine est au point C.
En général , on a pour le carré de la vitesse absolue du
point W,
les maxima et minima de cette vitesse correspondront aux minima et maxima de l'ordonnée y.
Dans le cas que nous venons de discuter, on a plus simplement
Aux points de rebroussement C et D, la vitesse est nulle ^ et, au sommets, elle atteint son maximum égal à 2 &, c'est-à-dire au double de la vitesse de translation du point A.
Si le mobile avait une vitesse initiale Ar, inclinée à l'axe des X du même angle a que le fil moteur (angle que nous ne supposons plus droit), on aurait, pour f = o,
dx dy
-—■=ik ces a. -;- = — X* sin a ,
dt dt
d'où
k ces a = A — c/ sin a , ^ sin a == cl cos a ;
et rélimination de la constante c conduirait à une équation de condition entre les données du problème, Â", ft, a, savoir :
k =. b cos a .
Ainsi, pour que le problème fût possible, la vitesse initiale du point m devrait être la projection , sur la direction du lil , de la vitesse constante qui anime le point A.
En général , puisqu'on a
dx dy
—- = b — c/ sin 6 , -4- = — cl cos Ô ,
dt dt '
on voit que la vitesse du point m peut toujours être décomposée en deux autres, l'une constante égale à 6 et parallèle à Taxe des x , l'autre dont la grandeur cl peut être quel-
conque, et dont la direction est perpendiculaire au fil moteur /n T.
Nous avons supposé jusqu'ici que le point A se mouvait uniformément. Examinons le cas où il décrit une ligne droite d'un moui^ement uniformément accéléré.
En prenant toujours cette droite pour axe des j:, on a
fi = o , — -— = const. = /-.
Par suite, l'équation (4) se réduit à
— + -sme = o.
Il en résulte que le fil A m oscille de part et d'autre de l'axe ox^ comme un pendule simple de longueur /", dans lequel la force de grandeur et de direction constante qui remplace la gravité , serait égale à A*.
Le principe des mouvements relatifs permettait encore de prévoir ce résultat , puisqu'ici la force qu'il faut appliquer à m, pour avoir son mouvement relatif autour de A , est une force k constante en grandeur et en direction :.le point m oscillera donc autour de A , comme un pendule simple.
Le mouvement du point m se ramène encore à celui du pendule simple, dans le cas oii le point A est assujetti à décrire un cercle d'un moui^ement uniforme.
Soient R le rayon o A {fig» 56) et fo la vitesse constante avec laquelle oe rayon tourne autour^du centre o, pris pour origine des coordonnées ^ on a ^ '
,a=:Rcosw/, p=:^Rsin&)f.
' d'^ jr
Par suite , on tire des équations (2) les valeurs de -yV?
-7^9 en fonction de et de t. : et en les substituant dans l'é-
dt* ^
quation (4) on a
/— R.w^sin (Q-hoit) z=zo.
de' \ ^ 1
exeucices de mécanique. 2^3
Si l'on pose 0-+-c«)f= y (tp désigne Tangle du fil w A avec le rayon o A ), Féquation précédente devient
l -7-7 — R b)' sin = o.
Elle exprime que le fil A m oscille autour du rayon o A , comme un pendule simple de longueur /, soumis à une force R w', de direction constante.
2®. R = 00 : le frottement est supposé infini.
Cela revient à supposer que le mouvement du point m ait lieu par une suite de cbocs instantanés imprimés dans la direction du fil 777. A , et que la vitesse acquise soit incessamment détruite par la résistance du plan.
Le point m décrit alors une courbe dont la tangente coïn^ cide, à chaque instant, avec la direction même du fil moteur.
Cette première conséquence est mise en évidence par l'équation ( 3 ) , qui se réduit à
(5 smâ -— -+-cosO-r- = o,
ds ds '
dy d'où ^ = — tanc: 0.
dx
' La courbe ainsi décrite se nomme tractoire, La détermination de la tractoire est un problème de pure géométrie.
Le point A étant assujetti à décrire une courbe donnée f{x^y) = o, on aura, entre a et /3, la relation
dv puis , si Ton pose -~- = p , on a
ces == —-===. et sin ô =
ces valeurs substituées dans les équations (2) donnent
