VI 4-/?' V
L'élimination de a etj3 entre le» équations (6) et (7) fournira, entre x ^ y et p^ l'équation différentielle de la courbe cherchée.
On pourra , dans certains cas , diriger avec avantage le calcul de la manière suivante :
Les équations ( 7 ) donnent
rfa =
Ipdp
d^—pdx
Idp
d'où
+pr
dp ^pdoL =
Idp
Comme (3
est une
fonction connue <p(a),
on a
dÇ> = ^'
(«) fi« ;
et substituant dans Téquation (8) , on a une équation du premier ordre entre pet ce ^
\/i 4-/?'[f' (a) — p]doL — ldpz=à, dont on peut faire disparaître l'irrationnelle en posant
/ 1, . dp dz z* — I
y I -+-;?«= z — y?, dou - — = — y /? =
r équation diflerentielle devient
/- o' Iol)zA = 0.
da. ^ ^ ' 2 2
CestV équation d'Euler, On sait l'intégrer, généralement, toutes les fois qu'on en connaît une intégrale particulière \ car alors on la ramène à l'équation linéaire.
Lorsque z et par suite p sont connus en fonction de a , le reste du calcul s'achève sans difficulté.
Examinons d'abord le cas où le point A décrit une ligue droite ox (fig. 5^).
On a j3 == o , et la seconde des équations ( 7) fournit immédiatement l 'équation différentielle de la tractoire
Avant de chercher l'intégrale entre^ et a:, on peut obtenir une relation très-simple entre l'arc 5 et l'ordonnée j^, en
remplaçant par son égal — -, l'équation devient
d'où l'on tire
en prenant pour origine des arcs le point B dont FordonjiéQy = /.
Cette équation montre que la tractoire est asymptote à la directrice ox\ car 5 = oo donne j)^ = o. Elle touche d'ailleurs en B l'axe oy.
L'analogie de l'équation (10) avec celle qui a lieu entre l'ordonnée d'une chaînette de paramètre /, et Tare compté à partir du point le plus bas, nous conduit à rechercher dans cette courbe une propriété de la tractoire : si l'on considère une chaînette LCL' [fig* 58), ayant pour équation
on sait qu'on en déduit
ds dY YdY
Y = / — , s=zl
î s= l — — ) et , par suite , .v =
dX dX ' "^ ' ds '
or, si du pied R de l'ordonnée mR , on abaisse une perpendiculaire sur la tangente mT, on a
/«ï = Y-^9 donc mT = s et TR = Jy» — .t^ = /.
ds
Ainsi la courbe CTV , lieu des points T, est une développante de la chaînette , et de plus la tangente à cette développante , dont la direction n'est autre que celle de la perpendiculaire TR, est telle, que la portion comprise entre le point de contact et l'axe ox est constamment égale à /. Si l'on transportait la chaînette sur la figure précédente, de manière que sou axe prît la direction oy, et que son sommet C coïncidât avec B, les deux courbes CTV, BmU coïncideraient.
La tractoire est donc une développante de la c/iatnette, dont le paramètre est la longueur constante dujïl moteur.
On déduit de là une construction fort simple du rayon de courbure delà tractoire. En effet, il suffit d'élever au point A une perpendiculaire à l'axe oo?, et le point D où cette droite rencontre une perpendiculaire élevée eu m sur m A, est le centre de courbure correspondant au point m. Les triangles semblables Dm S, AmS donnent ensuite
/wD:/7iA :: wS : AS, d'où //iD=/i/— — i.
Telle est la longueur du rayon de courbure.
La longueur de la normale wzN s'en déduit; car le triangle DNA donne
wD.wNrr wA' = /',
On peut remarquer aussi qu'entre les ordonnées correspondantes TTiP, DA delà tractoire et de la chaînette, on a la relation Yj = /'.
Revenons à l'équation (9) ^ on en tire
r et si l'on pose y/* — y^ =z z ^ on a dx. = — dz -^ — :; :
d'où jr = — ^ -f- log f -f \ , ou
(La caractéristique log désigne ici des logarithmes népériens.)
Telle est l'équation de la tractoire Bm\].
L'équation différentielle ydx = — sj P — J^^J manifeste une propriété remarquable de l'aire de la tractoire , c'est qu elle est réductible à Faire du cercle. En effet , on a
jrda:=-J^ sjn-f^dyz=J ^l^ — y^dy.
Donc, si l'on décrit de o comme centre, avec oB ou / pour rayon, un quart de cercle BLHE, l'aire BttïPo de la tractoire sera équivalente au segment circulaire BLHI , et l'aire asymptotique limxo aura pour mesure le quart de cercle
ou -y-
Comparons entre eux les chemins parcourus simultanément par les points m et A. On a déjà ds^=i — ^ — 5 puis ,
comme
0Lz±:x -\- sjP — j^* , on en tire
dcL-zz. dx = • =r — -
Donc
ds i/ /2 — r2
-T- = ; — — = ces ô , OU V =z à CCS B ,
da. l
b désignantla vitesse constante ou variable du point A , et i^ celle du point m : ainsi la vitesse du point m sur la tractoire est, àchaque instant, la projection sur sa propre direction de la vitesse du point A.
Dans le cas où le mouvement du point A est uniforme , b est constante, et si l'on compte le temps à partir du
point B 5 pour lequel a:=o,6=-,ona
a: = bt—icosQj Y=ismB, ou
— -= ô H-/sin0— -, -f =r /C08Ô-r-«
dt dt dt dt
Ces valeurs, substituées dans Téqualion (5) , donnent
(il) / — -h6sinÔ=:o,
d'où
tang - ô = c ' ;
étant connu en fonction du temps , on connaîtra aussi j^ par la formule y = /sin 6 , d'où
y- "TT Tî'
et par suite , on pourra assigner à chaque instant la position du mobile sur sa trajectoire. Enfin, si Ton demande quelle serait la force accélératrice R capable de faire décrire la tractoire au point m supposé libre, on tirera des équations ci-dessus ,
— r-- = — 7- sm* cos ô , —TT = T sm ô (ces' ô — sin' ô ; ; dt^ l ^ dt^ l ^ ^
Cette force décroît proportionnellement à la distance du point m à la directrice, et sa direction fait avec l'axe des y positives un angle égal à 2 d. Comme la tangente à la trac-
toire fait avec le même axe un angle - -f- 0, on voit que
ces deux directions ne coïncident qu'au point de départ B
pour lequel d = -, et l'angle qu'elles font entre elles est
ëfi;al.à 0-
Pour terminer , nous analyserons brièvement le cas traité par Euler , oiila courbe décrite par le point A est un cercle: alors, dit Euler, singularifortunâ ex^enit ut tractoria defir niri possit.
Nous emploierons les coordonnées polaires om = r, mo A = 9 (/îg. Sg). Soient
/wT = /, oT = fl, T/?io = ç;
puisque wT est tangente à la tractoire, on a
tang<p = —\ d'ailleurs, fl'=/»-|-A-* — 2/rcosf.
En éliminant r entre ces deux équations , on exprimera aisément en fonction de (p par une quadrature. A cet effet, on différentie la seconde équation , ce qui donne
dr — / sin ep ^ cp
r r — / ces (p
donc
dr — / sin qp c/ ^
'' ^ a^ — /' sin'^ et, par suite,
^Q, ^sin<ptaDg(p^y
yj à^ — P sin' (p
, or r — /cos<p = \/«^ — /^sin^ç?
Si l'on pose sj a^ — /* sin*q> = z siny , il vient
/ sinep^/«p Idz Idz
z cos<j) P -h z^ n^a^^z^^
d'où
= aie tang 7 — Il ■-■ : 4- const .
La dernière intégrale offre trois cas à distinguer :
aSo TftOISÙMS PARTIE.
i". Si l^a , on a
dz 1
arctaog
et par conséquent, si Ion rétablit la Tariable O) , on a
/ sin 9 V /^ — €1* /sin o
9 = - arc tang * — arc tang -
La constante arbitraire a été déterminée par la condition que pour = o,onaity = o, c'est-à-dire qu'à l'origine le fil AB soit dans la direction prolongée du rayon oA.
Langle o ne saurait dépasser la valeur pour laquelle
sin Q> = - ; alors r = V /* — a* , et Tangle au centre inoT
est droit.
B et r étant exprimés en fonction de (p, on peut regarder le problème comme résolu .
2®. Si / <^ a , on a
dz l tog "-vgZI ,etc.
3^. Si / ^ « , on a directement
dO = tang- «p ^ f , d'où d = UDg(p — ®, et r=!i/cosç.
Alorigine, = o, ç = o, et rasa plus grande valeur a/j dallant en croissant, <p augmente continuellement puisque
-t| est positif 5 mais ç ne peut dépasser ni même atteindre
- î auquel cas r = o , et 5 = oo . Ainsi , tandis que le fil fait une
infinité de circonvolutions autour du cercle , le point mobile m s'approcbe indéfiniment du centre , qui est un point asymptote de la Iractoire.
2. Nous rapprocherons de Tétude de la iractoire , celle d'une courbe analogue qui a été l'objet des recherches de plusieurs géomètres. (Consulter les annales de Gergonne,
EXERCICES DE MÉCANIQUE. 23l
tome XIII, solutions de MiVI. Sturm, Querret et Thomas de Saint-Laurent.)
La ligne de poursuite est décrite dans les circonstances suivantes ;
On suppose quun chien se dirige a\^ec un effort constant vers V endroit oà est son maître , gui, de son côte, parcourt uni/ orme m en tune ligne droite ,• mais une résistance d'inten* site constante et parallèle à la route que suit le maître détourne sans cesse le chien de la direction qu'il tend à prendre, (C^est ce qui a lieu , par exemple, si le chien nage dans un canal dont le bord rectiligne est parcouru par le maître ; le courant fait dévier le chien de la direction qu'il veut prendre, en l'entraînant parallèlement au bord du canal , soit dans le sens de la marche du maître, soit en sens contraire.) On demande la courbe que décrit le chien ^ la distance qui le sépare à chaque instant de son maître , sa vitesse , etc.
Soient oB [^fig* 60) la droite que parcourt le maître*, B sa position au bout du temps t\ m celle du chien; g la vitesse du maître 5 h la vitesse également constante avec laquelle le courant entraînerait le chien s'il s'y abandonnait : h sera positive dans le sens wR, et négative dans le ^ens opposé; h la vitesse constante qui résulterait de l'effort fait par le chien dans le sens m B , et avec laquelle il marcherait de m vers B , si le courant n'existait pas.
D'après le principe de l'indépendance des mouvements simultanés , il est facile de ramener la question au cas où le mouvement du chien aurait lieu dans un fluide stagnant qui ne lui opposerait aucune déviation. A cet effet, il suffit de concevoir que le canal et le terrain sur lequel il est situé soient entraînés d'un mouvement commun , dans le sens du courant et avec la vitesse h , sur un plan fixe , et que le maître marche sur ce terrain mobile avec une vitesse égale }i g — A, tandis que le chien se dirigera vers lui avec la vitesse fc. On déterminera la trajectoire ainsi décrite en
la rapportant à deux axes rectangulaires tracés dans le plan mobile^ ensuite on passera aisément des coordonnées relatives à ces axes , aux coordonnées relatives à deux axes tracés dans le plan fixe sur lequel tout le système est censé glisser. Eclaircissons ce dernier point.
Prenons pour axe des y la droite parcourue par le maître, et pour axe des x la perpendiculaire abaissée sur cette droite du point de départ A du chien. Soit oA = a; comptons le temps t et l'arc s décrit par le chien , à partir de l'instant où il était en A , en sorte que Ton ait à la fois
Au bout du temps f , soient X, Y les coordonnées du point m où se trouve le chien, relatives à deux axes fixes j x, y ses coordonnées relatives aux deux axes mobiles avec le plan de la trajectoire, et qui , à l'origine du temps , coïncidaient avec les axes fixes. L'axe des y ne cesse pas de coïncider avec celui des Y^ mais Taxe des x s'est transporté parallèlement à lui-même de la quantité (Y — y) avec la vitesse A, tandis que le point m décrit sur le plan mobile l'arc s avec la vitesse A; on aura donc
La question est ramenée à déterminer, s'il est possible, j^ et s en fonction de x ^ et l'on s'est aiTranchi de la déviation causée par le courant.
Actuellement, la droite mobile mB doit être, comme dans le problème de la tractoire , considérée comme tangente à la courbe A m -, seulement, la longueur mB n'est pas constante.
En désignant oB par j^,, on a
-p z=z • rL ; soit ^^--— = n ;
n srra 1(^ rapport do la vilosse du maître à celle du chien,
EXERCICES DE MÉCAJVIQUE. 2^3
sur le plan mobile, et comme ce rapport est celui des éléments dyx et ds^ on aura
/ ^■ (ift = nds = — ndx i / i ■+-
dx''
L'élimination de y^ entre les deux équations ci-dessus fournira l'équation diflerentielle de la courbe décrite sur le
dy plan mobile 5 en posant— = p^ on trouve
; ^ «ÎP dx
sJi-\- p' X '
et intégrant, on a
P+ s/i -4-/?'= [cxy.
Déterminons la constante arbitraire c. Comme la largeur du canal n'entre pour rien dans les calculs précédents, on peut la supposer indéfinie du côté où se meut le chien, et regarder celui-ci comme nageant depuis un temps illimité. D'après cela, le point A, pris arbitrairement comme point de départ, peut être supposé tel, que la droite qui joint le chien à son maître soit alors perpendiculaire à ay : ainsi , quand le chien est en A , lo maître sera o, et Ton aura en même temps
