X :=: o, p =z Oy <i OU r

par suite . ,.== 1 [^f J*- (^yj.

Une deuxième intégration donne

puis , comme il vient

234 TROISlkiME PARTIE.

Ces formules sont en défaut pour n= i. Dans ce cas, on a

d'où

Connaissant j" et s en fonction de x, on aura, par les foimules (i) 5

et SI n

il)

2XY ^—h

[fâ'-]-(-'...(^),.

Discutons d'abord le cas ou /i = o, c'est-à-dire où le chien se dirige sans déviation, comme il le ferait sur un terrain solide , vers le lieu où il voit son maître \ alors Y se confond avec j", et la trajectoire est définie par les formules (2) ou (4)5 se\onque n est différent de i , ou égal à i .

Si n diiière de i, la trajectoire sera toujours une courbe algébrique î on la construira au moyen de deux courbes auxiliaires, en posant

2(/i+i)IA«/ J 2(/i-i)LVx; j

car r = a -t- p.

On 'pourra même faire disparaître les termes constants que u et v^ renferment, en transportant l'origine au point de

l'axe des y^ pour lequely = — — *, car alors l'expression

générale de y se réduit à

Soit r la distance mB du chien à son maître -, on aura, par le triangle mBQ, r =: x \l i -\- p'^ ^ ou

Cette distance ne pourra devenir nulle avec x, qu'autant que n sera plus petit que i .

II existe une relation remarquable entre r, x et le rayon de courbure jo ^ on a

(H-/?^f dp ns/i-^p' , {i-^p')x

pzn^ — -^ — ; or -j- = -^ —: donc 0=- ^— ^,

* dp dx X ' ^ n

dx

ou bien p =

' nx

Ainsi le rayon de courbure de la trajectoire est une troisième proportionnelle à la distance du chien à son maître , et au produit de la distance du chien à la droite que parcourt le maître multipliée par le rapport des vitesses. Ce théorème fournit une construction simple du rayon de courbure en un point donné de la courbe.

On doit remarquer que ces résultats n'exigent pas que les vitesses du maître et du chien soient constantes, mais seulement qu'il existe entre elles un rapport constant.

Quand la vitesse du chien est une constante donnée A', on a

s riz kt y

et comme s est connu en fonction de a: , on en conclut l'expression du temps en fonction de la même variable,

Soit, comme cas particulier, /i = ^, ou fa vitesse du maître moitié de celle du chien ( lîg. 6i).

Sf FoM U-*mff>t%t r«tidMe as p:<at ii At Fass «n . pour Iwjoel r = 7<t. il •ieat

Ces é>jiuti->a» v>ai (ïcilr-s a dÏMa'.er sait^ m»arîr ms foatAiotii il et f.

La iraji^loirc e»l svmêiriqDc par ri:>porl ^a DOOTel a\e <r jc'. el Mtoêe loui entière a droile 'i-; •>i : lori^De o eu hd Moainet. Poor x^a. on a i =^ ^o. ce qui donne denx poÎDU A. A', pour lesquels lorjoooee est maximum.

Pour x=îii.oiia»:=o.o= ^iles dens brandies qui parlent dn sommet o' se croisent sar cet ase à une dislance 3a. en faisant arec lui des angles de 3o degrés : aaddà de ce point, elles s'étCTideni à l'inlinî au -dessus et an-dessouB de l'axe. Pour x^ v , les forraule^ ■ S < et 1 3 1 dtmnent

L are A o , parcoom par le chien josqu à la reiMXMitrede non maître, est la senle partie de cette eonrlie qui cnnTÏcvne an problème de dynamique. Cet arc est è^l à la distance initiale o A at^menlée d'un tiers, et pendant le tempe emploré par le chien â décrire cet arc. le maître a parcouru les deux tiers de cette même dislance.

Soit, en second lien, n :^ i, c'est-à-dire, la x<ilesse <iu nuiUi-e égaJ^ h celle du chien ( 6g. 6a).

Si l'un transporte l'origine dans lo sens des j* négatives.

2 \„l 4« I. \il

EXERCICES DE MÉCANIQUE. 'xZ^

Ce cas est le seul où la trajectoire soit une courbe transcendante.

On la construira à Faide d'une parabole ( m = y— j et

d'une logarithmique p= -1 ( - | \\ elle est entièrement

située dans l'angle des coordonnées positives j^o'j:', attendu que Ton a toujours

7— >-!-? ou e ^a 1 a

et elle se compose de deux branches infinies , convexes vers Taxe desx, dont l'une AD a pour asymptote l'axe desj^;

l'autre AD' n'a pas d'asymptote rectiligne , puisque -j- croît indéfiniment avec x\ l'ordonnée AP est minimum^ la distance mBour=:-i-f-f-j ;r décroit avec x , et

tend vers la limite — Ainsi le chien se rapprochera de plus

en plus de son maître, sans que la distance qui les sépare soit jamais nulle , ni même égale à la moitié de sa valeur primitive.

Le rayon de courbure p = — Pour le construire , on

prendra sur la normale une longueur i7/S = mQ = x, on joindra SB, et la perpendiculaire BC à cette dernière droite ira couper la normale au centre de courbure.

Revenons au cas général où le chien est dévié par un courant. La trajectoire est définie, comme on l'a vu, par Féquatioii

et le temps s'exprime en fonction de l'abscisse X = x par

Féquation

Il n'y a rien à changer non plus à l'expression de la dis-

tance 7*y

Enfin , pour avoir la^ vitesse u du chien , qui répond à une valeur quelconque de j: , on remarquera que cette vitesse est la résultante des deux vitesses h et k^ dont la première est dirigée suivant une parallèle à Taxe desj^, et dont la seconde fait avec Taxe des x un angle dont la tangente trigonométrique est la valeur de p déjà connue,

mr-m-

Soit (f l'angle de ces deux composantes 5 on aura

or,

— P ces 9 =

ou

donc

JHIT

CCS cp = -^^ — ^ ^i — ^ ;

Lorsque w = i , ces formules doivent être modifiées comme on Fa déjà dit. La trajectoire est alors une courbe transcendante définie par l'équation (7).

JVota. On aurait pu établir toutes les formules ci-dessus sans ramener le problème au cas où la déviation est nulle ,

EXERCICES DE MÉCANIQUE. ^Sq

en décomposant , selon les règles ordinaires , les vitesses k et h parallèlement aux axes coordonnés -, on aurait eu ainsi pour équations différentielles du mouvement du chien,

dt ^a:^ -^{X — gty ^^ ■ \/i' -+- (r — §^Y

Elles s'intègrent commodément, en introduisant une variable auxiliaire Q telle que

et Ton est ramené à un système d'équations simultanées tout semblable à celui que nousavons traité dans la seconde partie. Une des applications les plus intéressantes des formules ci-dessus a trait au sillage d'une barque qui, partant de l'un des bords A d*une iwière dont la largeur est a , tend sans cesse vers le point directement opposé o de Vautre bord (fig. 63).

Alors g^ = o, et 71 = — t? les équations (6) et (9) de-

viennent

. . 7. t 7.k I lx\ ^ I '':c\ ^

Pour que le point fixe vers lequel tend la barque , et qui n'est autre que l'origine o des coordonnées, puisse être atteint, il faut et il suffit que l'équation précédente soit vérifiée par x = o , y = o ; et pour cela on doit avoir ft ]> A , c'est-à-dire queTimpulsion imprimée par les rames doit être supérieure à celle du courant.

En supposant celte condition remplie , la valeur de -~y

ti rée de l'équation ( 1 1 ) , s'annule pour .r = a ( \

a4o TROISIÈME PARTIE.

Au point C, délerminé par cette abscisse, la barque est dirigée perpendiculairement au courant , et sa distance à la droite qui joint le point de départ A au point d'arrivée , est maximum.

Soit par exemple k = 2 A ^ on aura au point C, a: = ^,

d'où r =

as/3

Au point d'arrivée, x = o, — = te -au point de départ ,

dy h

dx k

Le temps T, nécessaire pour traverser la rivière, est,

d'après la formule (12 ), T = - — -— .

Si l'eau était stagnante (/i = o), l'équation (i i) se réduirait à Y = o; la barque suivrait en elï'et la droite o A. Le

temps nécessaire à la traversée serait - <^ T5 ainsi que

cela devait être, le relard croît avec la vitesse du courant. Lorsque k = h^ l'équation (11) se réduit à

Elle représente une parabole dont le foyer esta l'origine^ et le sommet au point où elle coupe le bord oy^ l'ordonnée

de ce point est-' Ainsi,quand la force d'impulsion des rames

est égale à celle du courant, la barque n'atteint pas le bord au point désigné \ mais elle aborde à un point en aval , distant du premier de la moitié de la largeur de la rivière.