3JU

Actuellement , on aura aisément u^ en fonction de s par la formule

EXERCICES DE MÉCANIQUE. 'l/\Z

on voit que la vitesse va continuellement en décroissant à mesure que Tare augmente.

Le mouvement peut-il être oscillatoire? Il faudrait pour cela que v^ pût devenir nulle , ce qui ne saurait avoir lieu que pour une valeur de s égale à / : mais cela est inadmissible , puisqu'on a

rhypothèse s = l donnerait -^ = — oo .

#Ainsi le mouvement du pendule ne sera pas oscillatoire. On reconnaît encore d'une autre manière que la vitesse ne saurait devenir nulle à aucune époque du mouvement : en effet , la vitesse devenant nulle , la tension du fil se réduirait à la composante normale de la pesanteur g cos 6 , B désignant l'angle de la partie rectilîgne du fil avec la verticale; mais cette tension serait visiblement moindre que celle qui

a lieu au point le plus bas et qui est égale à (g+'j ) > ^t ,

par suite , la condition du problème qui exige Tinvariabilité de la tension ne serait plus remplie,

La valeur précédente de — peut s'écrire

dy

Au point o, s = o, et l'on trouve — = i-, effectivement, en

ce point la tangente est verticale, a* augmentant, -j- diminue et devient nul quand on a

*' -H gl,

d'où l'on tire une valeur de s plus petite que /, et , par con-

sequcut, admissible. Au point correspondant , la partie

libre du fil est horizontale, et la vitesse du mobile est égale à

k'+sl

S continuant à croître , -f- devient négatif et atteint son mi-

nimum ( — i ) pour

la vitesse correspondante est

' /•' -h 2 gl

c'est la plus petite valeur qu'elle puisse recevoir. Le pendule est alors vertical , le point matériel en haut. Au delà de celte position , il n'est plus possible de déterminer la courbe

d'y propre à remplir les conditions de l'énoncé , puisque -j-

prendrait des valeurs absolues plus grandes que i .

Pour achever de déterminer la courbe fixe , il resterait à déduire de l'équation (2) l'équation finie de cette courbe en X et y. Mais il est préférable de chercher la trajectoire A m', qui est une développante de la courbe fixe. On passe ensuite aisément , par voie de diflérentiation et d'élimination , de la développante à la développée. Suivons cette nouvelle marche.

La tangente au point m! étant perpendiculaire à la tangente en m , on a

(fy dx'

ds ds ' et l'équation (i) prend la forme

'• = ^ rfT^-

dx' . /■>-(-2g'(^'— /)

EXERCICES DE MÉCÀMQLE. 24^

t^. . dju' — (i -H/?M

^^^â^ = P\ onap= -^

(Nous prenons le signe — au numérateur, parce que la irajecloire est concave vers l'axe des y^ et qu* ainsi

dy'

est négatif,) L'équation précédente devient, en y substituant ces valeurs ,

y/i-^P' [\'\'p-')sli + p' ^y l€s variables se séparent :

df' dp

On vérifie que la valeur de —7 qui satisfait à celte équation

est négative^ en effet, A' -f- ^g(j' — l) est une quantité essentiellement positive, égale au carré de la vitesse ^', et le

facteur gp — X \/i -+-/?* est au contraire négatif, puisque X, dont la valeur est g^ H- y > surpasse g.

Pour intégrer, il convient de poser

p z=. tane w, d'oii — - — • = rfw et \ i -\- />' = ;

'^ ° I -f- /?' cos w '

il vient

dy ' ces to (t/ w

l'intégration donne

[^ sin « ■+- \Y = c^ [/-^ 4- 2^ ( j' ~ /)], <; étant une <:onstante arbitraire.

On tire de cette équation la valeur de g sin o) , et , par suite, celle de p ■

g sm &>

^g^ — g^ sin' w

Or p == --; ; donc

rfj7'=-|

[cv/^'-4-2g(r^=T)~-x]^j-

VV» - [c v/X' 4- ag' (/'-/)-).]

ou , en posant y/ft' 4- 2g'(j' — /) = -2 ,

[cz — \)zdz

gdx'=Z

\lg'—{cz — '^?

Ainsi la détermination de la trajectoire est ramenée à une quadrature qu'on achèvera par la méthode des fractions rationnelles.

2. Déterminer le mouv^ement d'un point matériel pesant y suspendu à un fil flexible ^ inextensible et sans masse y dont Vautre extrémité est attachée à la gorge d^une poulie fixe : ce pendule est mis en moui^ement dans le plan du cercle de gorge qu'on appose vertical, et dont la circonférence est en partie embrassée par le fil,

Lependule étant en équilibre dans la position verticale DH (fig' 65), supposons qu'on l'en ait écarté en l'amenant dans la direction AB, et qu'on ait en même temps imprimé une vitesse k au point matériel ^ soit C m la position du pendule au bout du temps t, La trajectoire décrite par le point m est connue , car c'est une développante du cercle o A ; et l'arc H m , compté à partir du point le plus bas H , s'exprime aisément en fonction de l'angle CoD que fait avec 1 horizon le rayon mobile aboutissant au point où le fil se sépare tangentiellement du cercle;

lorsque Tare .v prend un accroissement infiniment petit fis ,

raccroissemem correspondant dO est égal à Tangle de contingence de la trajectoire, relatif au point m, puisque le rayon oC est constamment perpendiculaire au rayon de courbure Cm ^ on a donc

ds = pdQ.

Mais p = Dm- arc DC = 6 4- «ô ,

donc et

s = h bB.

Si Ton prend pour axe des x rhorizonlale.oDx, et pour axe des y la verticale oP dirigée dans le sens de la pesanteur, on tirera de l'équation précédente celle de la trajectoire rapportée à ces axes. Ce calcul a été fait (page 77)^ nous ne le rapporterons pas.

Cherchons à déterminer le lieu du point m sur sa trajectoire, au bout du temps t. Le principe des forces vivesdonne l'équation

ds

j et h désignant les ordonnées des points m et B.

Pour en déduire en fonction de t^ il faut y remplacer s et y en fonction de 9 ^ nous avons déjà

ds= («G-H b)dB.

En projetant les points C et A sur la verticale oy^ et désignant par a Tangle d'écart initial AoD, on trouve

/== (^aù -h b) ces ô — a sïn B ,

h ==. [a y. 4- b) cosa — a sin a;

et substituant ces valeurs dans Tëquation (i), il vient

V^/*4-2gr[a (Ôcosô — a cosa 4-sina — sinô) + 6 (cosd — cosa)]

Cette expression n'est pas intégrable en général.

Considérons le cas où le pendule ne fait que de petites oscillations de part et d*autre de la verticale DH; l'angle a. et la vitesse A doivent être peu considérables -, on peut même, sans diminuer la généralité des résultats , supposer A = o , en augmentant convenablement Tangle a.

Si Ton néglige les puissances de et a supérieures à la seconde, Téquation (2) se réduit à

fb dQ a BdO

En intégrant et 'observant que = a quand i = o, il vient

(3) .= ^^arccos(^)4-^v/^^^.

L'équation (i) donne d'ailleurs pour le carré de la vitesse v'

(4) u- = gb{c,^-^^^).

On tirera de ces formules les mêmes conséquences que pour le pendule simple ordinaire. Le pendule atteindra la

verticale avec une vitesse maximum a sfgb^ au bout du temps

jTT 1/-; puis il passera de l'autre côté, et sa vitesse ira en décroissant jusqu'à zéro pour = — a 5 la valeur correspondante de t est 71 i /-9 c'est-à-dire double de la durée de

la demi-oscillation descendante : alors le pendule redescendra , et il fera ainsi une série d'oscillations isochrones et d'égale amplitude. Le temps d'une oscillation entière est

ff 1/ ' Gt son ampliuidc est 2a,

On doit remarquer que si* le rayon a de la poulie n'a pas une valeur irès-grande, le terme -p=. \/ a* — 0* n*aura

qu'une influence très-faible et comme négligeable vis-à-vis du premier terme du second membre de Téquation (3). En le négligeant, on aurait la formule ordinaire des petites oscillations d'un pendule simple de longueur h.

Nous rapprocherons des questions qui viennent d'être résolues sur le pendule, un exercice bien simple, et dont l'application est fréquente dans celte théorie ; il s'agit de délermir^er la longueur du pendule simple correspondant à un pendule composé donné.

3. Un pendule se compose d'une tige pesante AB (fig. 66) , d'une épaisse uj^ constante et très-petite, à l'extrémité de laquelle est suspendue une sphère homogène dont le point O est le centre. On propose de calculer la longueur l du pendule simple correspondant.

Soient M la masse totale du système , MK* son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle à l'axe de suspension XY et passant par le centre de gravité G du système, a la distance AG, r la distance d'un point quelconque de masse m à l'axe \ on a

a Ma Ma

or, 2m/-^ peut se décomposer en deux parties : le moment d'inertie de la tige AB par rapport à l'axe de suspension, plusj le moment d'inertie de la sphère par rapport au même axe. Soient// lalongueur de la tige, Pson poids, p sa densité, 6 l'aire de la section droite^ on aura pour le moment d'inertie dv la tige ,

: ns I r' (Ir — '—^ =.

mr-

300 TROISLÈME PARTIE.

Le moment de la sphère se calcule d'abord pour un axe parallèle à XY, passaht par le centre o ^ on trouve ainsi

p 9 P' désignant le poids de la sphère et R son rayon;

et si l'on y ajoute, conformément à la règle, M (A-f-R)*, on aura , pour valeur complète du moment d'inertie de la

P' fa 1

sphère par rapport à l'axe XY, — ^ R*-H (A 4- R)* •

Il reste à diviser la somme des moments calculés ci-dessus

.- (P-f-P')fl . . , j, . ,

par Ma ou ~9 ce qui exige qu on détermine Ja

distance a : soit I le milieu de AB ou le centre de gravité de la tige ; le centre G est tel , qu'on a la proportion

iG:IO::P':p-hP',. (l'où iG = Ar^ — ^,

et, par suite ,

.1 . m ^' A + 2R P' P4-2P'A + 2P'R fl = Al -h IG = - -h -rr ^5 M^ = ^ ■ i ;

donc enfin

Si Ton désigne par L la longueur AO ou A -f- R , et qu'on suppose le poids de la sphère très-grand par rapport à ce-

lui de la tige , on pourra négliger le rapport —, j et Ton aura

sensiblement pour longueur du pendule simple

A. Déterminer la courbe qu'un point matériel pesant y animé d'une vitesse initiale donnée, doit suivre pour que sa distance au point de dépatt croisse proportionnelle-' met ht au temps.

EXERCICES DE MÉCANIQUE. aSi

Soit A lé point de départ ( fig. 67) , Am =z r. On doit avoir

dr =: cdt.

La constante c n'est autre que la vitesse initiale du mobile 5 car on a

au point A, ar-=i.as. d ou -—;=—- = c.

* dt dt

Nous désignerons cette vitesse initiale par \ligh^ en sorte que la condition de l'énoncé s'exprimera ainsi :

(i ) dr •= ^ig/i . dt.

Soit l'angle du rayon Km avec la verticale hy^ le principe des forcç;3 vives donne l'équation

dr^-^r'd^^

(2) -^^ =:2^(/i-f.rcosO);

éliminant dt entre les équations (i) et (2), il vient

nr —— z= cos Ô, dr' '

d'où l'on tire, en remarquant que 6 décroit quand i ou r augmentent ,

dr — dB

\r y^cos 9

telle est l'équation différentielle de la trajectoire. Les variables y sont séparées; mais le second membre n'est pas intégrable sous forme finie, et son intégrale dépendra des fonctions elliptiques.

A défaut d'une relation entre r et 0, on peut en obtenir une entre /• et l'arc d'une courbe auxiliaire. Supposons construite la courbe représentée par l'équation

(4) p =: h ^2 COS 2 &),

dans laquelle (ù désigne l'angle que le rayon vecteur p fait avec une droite fixe-, et soit a l'arc de cette courbe compté à partir d*un point tel qu'il décroisse quand co augmente ; nous aurons

ycos 2 6»

par conséquent, si l'on pose = 201), il vient

d'où , en intégrant ,

dr 11 ,

Th

Nous ne mettons pas de constante arbitraire dans cette intégrale, parce que nous plaçons l'origine de l'arc a au point qui correspond à /* = o, c'est-à-dire au point dont les

coordonnées sont co = -, p = A sJt. cos a h a désignant la

valeur initiale de l'angle Q.

Ainsi le rayon vecteur de la trajectoire se construira par une troisième proportionnelle à la longueur constante 2 h et à l'arc o de la courbe auxiliaire définie par l'équation (4). Cette courbe n'est autre que la lemniscale correspondante à une hyperbole équilatère dont le demi-axe transverse est

égal hli sji,

0. Un problème analogue à celui que nous venons de résoudre a été traité par Fuss [Mémoires de Saint-PéterS" bourg, 1824), et par M. Serret [Journal de Mathématiques pures et appliquées, tome IX ) :

Déterminer la courbe quun point matériel pesant, partant du repos, doit suii^re pour que ses arcs, comptés à partir de fon'gincj soient décrits dans le temps quun même mobile emploierait à décrire les cordes de ces

arcs.

Eli conservant les mêmes notations que dans le problème précédent , l'équatîon ( 2 ) , où l'on fera A = o, fournira l'expression du temps employé à décrire l'arc A ni ,

d'ailleurs , le temps nécessaire au même mobile assujetti à parcourir la corde A m est évidemment

ir

g- ces 9

L'équation du problème est donc

et, si l'on diflerentie, il vient simplement

dr cosnQ.dB r sin 2 **

l'intégrale est

rz=z a y^sin 2 0,

a désignant une constante arbitraire. Celte équation représente une lemniscate dont le centre est au point de départ du mobile, et dont l'axe est incliné de 45 degrés sur la verticale.

Si les deux temps, au lieu d'être égaux, devaient être dans un rapport constant, on parviendrait de même à une équation intégrable.