CHAPITRE III
SUR LE MOUVEMENT d'uN ?0I»T MATÉRIEL SOUMIS A l'acTION
d'une ou plusieurs forces centrales.
1 . Déterminer le mouy>ement d'un point matériel m , attiré ou repoussé par deux centres fixes F, F' suivant la loi de l inverse du carré des distances. On suppose que le ^, mobile a reçu une vitesse initiale dirigée dans un plan passant par les deux centres d* attraction (*).
Prenons pour axe des x la droite FF', et pour axe des r une perpendiculaire à cette droite menée par le centre F dans le plan où s'accomplit le mouvement. Soient FF'=: a, FV=x, mV=y^ ¥m=r, F'm=/, m¥x=Q, mV'x=:Q''^ g, g' les actions exercées par les points F, F' à l'unité de distance , et qui seront considérées comme positives ou négatives, selon qu'il y aura attraction ou répulsion.
(*) Mémoires à consulter: Mémoires de V Académie de Berlin, année 1760, Euler. — Traité des fonctions elliptiques , tome I , page 411 , Legendre. — Mécanique analytique, tome II, page 108, Lagrangc. — Journal de Mathématiques pures^ et appliquées, 1846, page 345, M. Liouvillc.
EXERCICES DE MÉCAMIQ13E. Sj55
Les équations du mouvement sont
id^x gx g' {-^ — ^)
^'J ^ SJr s'y
df r^ r'^'
En les multipliant respectivement par 2 rfx et 2 dy^ on en déduit d'abord Yéguation desjorces viues^
V étant une constante arbitraire , ou bien
Pour obtenir une autre intégrale première, on élimine tour à tour des équations (i) les termes en r' et les termes en r'*, ce qui donne , eu égard aux formules
d^r d'x ' dt . .d'^Y d^x dt
les deux équations
dt g' ay
dt r'^
r'^dB'
dt gay
dt ~" r' '
puis, multipliant la première par —^ — 7 et la seconde par
— — 9 et ajoutant les produits, on a, d'après la formule ud\^ -h ^du = d,u^j
r/. -— y-^ ^aig^-d^'-g' ^,dB'\z= a{g%\nBdB^ g' %iïiB' dB')\
d'où, en iiilégrant,
( 3) — =: a [g' cosG' — g'cosô -I- c').
L'élimination de dt entre les équations (2) et (3) fournit l'équation différentielle de la trajectoire
Les constantes c et c' dépendent des circonstances initiales. Si l'on supposait , par exemple , que le mouvement commençât au point A de Taxe FF' situé entre les deux points fixes, et que la vitesse initiale h fit avec cet axe un angle H A a: = a ^ en posant
= m , d'où F'A = y FA =
FA I -h /w I -h iw
on aurait , pour' « = o ,
rd^ r' d^'
= /sina;
dt dt
Jes équations (2) et (3) donneraient alors
=*'-hÊ)^
(i-f-/wy
^=- .. . ^N. +gH-g^
Examinons d'abord un cas particulier où Téquation (4) est immédiatement intégrable ; c'est celui où les attractions des deux centres sont supposées égales (g = g')^ et où, déplus, les données initiales sont telles, que les constantes c et c' soient nulles.
Il résulte des expressions précédentes de c et c' que l'on
aura dans ce cas
a=:-, X=:(i-f-/w)\/— • 2 ^ ' M ma
Ainsi, pour réaliser Thypothèse que nous allons discuter, il faut et il suffit que le mobile parte du point A avec une vitesse perpendiculaire à la ligne des centres el
égale à (i -f- ^w) i/— ; quant à la position du point A entre
les centres , elle reste arbitraire.
Cela posé, l'équation (4) se réduit à
(5) a (ces e' — cos 0) [dr" -f- r»rfG^) — 2rr' (r -h r') dBd^* = o ;
on a d'ailleurs les relations
,x.v asinO' , asind
^^ ''"~8in(Ô'— 0)' '' ~sin(Ô' — 0)'
qui permettent d'éliminer de l'équation (5) r^ r^ et dr\ cette équation , toutes réductions faites , prend cette forme
très -simple,
{sin0£/0'-4-sin0'£/0)^=o.
. Les variables se séparent ;
— — ^^' ^"^^ sin0""'"sin0''
et l'intégrale est
(8) tang j . tang 1 0' = D.
Pour reconnaître la nature de la courbe , on peut transformer cette intégrale en coordonnées rectangulaires^ mais il est plus simple de revenir à l'équation diiTérentielle ( 7 ) qui, vu la relation r sin Q-=r' sin 6', donne
et comme on a d'ailleurs
dr' -h r'dB^ z= dr"" 4- r" r/0'%
258 TROISIÈME PAHTIE.
on en conclut
dr'' r=: dr'^\ d*oii r± /' = coDSt.
Cette double équation caractérise une ellipse ou une hyperbole ayant pour foyers les deux centres fixes*, mais , comme dO et dQ' sont de signes contraires d'après l'équation (7) , les angles 9 et 6' varient en sens contraires, ce qui exclut l'ellipse : donc la trajectoire est une hyperbole ayant pour foj ers les deux centres d^ attraction.
D'après les hypothèses faites sur l'état initial, le point de départ A peut être placé où l'on voudra entre les deux centres \ mais une fois qu'il est fixé , la vitesse du mobile à l'origine est déterminée en grandeur et en direction. Si l'on suppose A plus près de F' que de F, ce sera la branche de droite de l'hyperbole qui sera décrite par le point m ; dans le cas contraire , ce sera la branche de gauche : si l'on supposait AF' = AF, la trajectoire se réduirait à la perpendiculaire élevée sur le milieu de FF'.
La vitesse (^ du mobile en un point quelconque de la trajectoire est fournie par l'équation (2) , où l'on doit faire g' =z g^ c = o, ce qui donne
Soient
en transportant l'origine des coordonnées au milieu O de FF', l'équation de la trajectoire prend la forme
et l'on a
, ex , r.r . ,
par suite ,
EXERCICES DE MÉCANIQUE. 93g
D' ailleurs
dO\ dx'J b'(x'^b') dr'
donc
dx^ ^gb^cx[x^ — b^)
dF " {c^x^— b*y ' d'où
a b dsbcdt = — •
ijx{x'--b')
La dctermination du lieu qu'occupe le mobile à chaque instant sur sa trajectoire , est ainsi ramenée à une quadrature.
/»' j«' dx En intégrant par parties le terme ■ ou
yx[x'^ — b^)
Tc dx ^^
c* ■ ' six , on ramène aisément la quadrature du se-
coud membre de l'équation précédente, à ne dépendre que
de la seule intégrale / =r- ; on trouve
^ J Slx[x^—b^)
^ Jb S^x(x^—b'
execu-
, , elle n'esl pas exéc
table ; si Ton y pose
t elle devient I/t i ■ , -.-^ "^
.r =:z 1 elle devient \ / — I . 1- ■^-^ ?
cos^ (p
fonction elliptique de première espèce , dont le module est \ v/2.
Il est à remarquer que , si l'on supposait c'^ = 3/'% r'esl-
aÔO TROISIEME PARTIE.
