AF

à-dire si le rapport -— - ou m était égal à 2 — y3, la fonction elliptique disparaîtrait de l'équation (9), et le temps t s'exprimerait exactement en fonction de Xy par une formule algébrique.

Revenons au cas général :

Euler est le premier qui soit parvenu à séparer les variables dans Téquation (4); nous allons exposer, sommairement, les transformations auxquelles Euler a eu recours.

Il introduit deux variables nouvelles p et q liées aux angles J 9 et ^6' par les relations

tans -7

d'où sin = < , , î CCS B = j

sin G' = — ^-^ 9 cosô = i- ;

et, en vertu des formules (6),

1—^3 I -h 9' i — p^ i -hg^

On en tire

et, par suite,

r'r"rferfô' =

Si Ton substitue ces valeurs dans l'ëquation (4) ) on re^ connaît , après diverses réductions, que le coefficient de dp*

ne contient que la variable q^ et celui de dq* la seule variable p, en sorte que 1 équation prend la forme

f ^ ' dp dq

où les variables sont séparées.

On a

Q = ^— -^ (i - ?') + ac^' + ^ (1 + 7')'.

Quant à l'expression du temps en fonction des mêmes variables p et q^ on la tirera de l'une des équations (2) ou ( 3 ) , par exemple de l'équation ( 3 ) , qui donne

r^r''dOdB'

dt^ = ,

a (g^ ces ô' — g ces -h c')

et où l'on remplacera r, r', 0, 6' par leurs valeurs.

Toutes ces substitutions un peu longues et qui demandent à être habilement dirigées, sont détaillées dans le Traité • des Fonctions elliptiques de Legendre (t. I, p. 4^1 et suivantes). On trouve, pour l'expression réduite de rff,

(11) dt=a ^^al' ,,., /„-^: ; — 7="

ou les variables sont également séparées.

Le problème est donc ramené aux quadratures.

L'intégrale de l'équation (10), qui donne la relation entre q et /?, dépend des fonctions elliptiques de première espèce.

L'expression du temps fournie par l'intégrale de l'équation (li), dépend des fonctions elliptiques de troisième espèce, et peut, dans beaucoup de cas, être réduite aux fonctions de première et de seconde espèce.

Signification géométrique des variables p et q. — Des valeurs trouvées plus haut pour /• et pour r', on tîre

♦ r -f- r — — ^ r — r zzz •

Ainsi la somme des rayons vecteurs Fwi, F' m ne dépend que de la v£friable p, et leur différence ne dépend que de la variable q. Cela posé, soit

un couple de valeurs déterminées de;?* et y' qui définissent un certain point m de la trajectoire-, l'équation

même

où r et r' sont considérées comme seules variables, appartient à une ellipse dont F et F' sont les foyers, et qui

passe au point m ; son grand axe est — ^^ : de

l'équation

caractérise une hyperbole homofocale qui passe également

au point m, et dont l'axe trans verse est — ^ J-^- Ainsi

chaque couple de valeurs des variables petq représente les paramètres d'une ellipse et d'une hyperbole ayant pour foyers les centres fixes , et dont l'intersection marque la position du mobile.

Cette propriété a fait donner aux variables ;? et ^ le nom de coordonnées elliptiques, La variable p relative à l'el-

!• 1 . / 1 tang^ô

lipse, ou la racine carrée du rapport ^ , ^ ; est toujours

comprise entre -f- 1 et — i . Si /?* = i , on a r-f- r' = oo , et, par conséquent, la position correspondante du mobile est infiniment éloignée. La variable q relative à Thyperbole, ou

la racine carrée du produit tang^ô .tang^ô', peut passer par tous les états de grandeur de — oo à -f- oo .

Il est bon de remarquer que pour que la description de la trajectoire soit complète, on pourra être conduit à attribuer à ;?' et à 9* des valeurs négatives, et, par suite, àp ei k g des valeurs imaginaires.

L'ellipse et l'hyperbole homofocales se coupent orthogonalement en quatre points ; mais on lèvera toute ambiguïté sur la position du mobile correspondante à un système de valeurs de p et de ^, par la considération des coordonnées rectangulaires de ce point , qui sont :

a(i — p^q^) napq

Si l'on suppose, comme ci-dessus, que le mouvement commence au point A situé entre les deux centres fixes, on aura en ce point

, , ail — m)

et, par conséquent , p z= o, q- =z m.

L'équation (/*' = m appartient à une hyperbole ayant A pour sommet , et pour foyers les deux centres. Or le mobile commence à décrire, suivant la direction AH de sa vitesse initiale, un élément de sa trajectoire incliné de l'angle a sur l'axe FF^; selon que Fangle a sera aigu ou obtus, cet élément sera dirigé à l'intérieur ou à l'extérieur de l'hyperbole. Dans le premier cas, la différence (r — r') va en augmentant avec le temps ^ et par suite, g diminue , puisque

, a(i — 7') j dq , .^

r — r= — ! — : donc -j- est nesatii au commencement

H-<7^ ' dt ^

du mouvement. Dans le second cas, -j- commence par être positif. Or ^ commence évidemment par être positif, puis-

que p est nul à l'origine. Donc la considération de Fétat initial suffit pour lever F ambiguïté du signe du second membre de l'équation (lo) ; on devra prendre le signe -f- si l'angle a est obtus, et le signe — s'il est aigu.

Quelle condition doit remplir l'état initial pour que la trajectoire admette des branches infinies?

Si l'on fait r = oo et r' = oo dans Téquation ( a), il vient, en désignant par (^ la vitesse du mobile ,

Ainsi, pour qu'il y ait une branche infinie, il faut que l'on ait c^o. Or, quelle que soit la position initiale du mobile (sur l'axe ou hors de l'axe FF'), on a, en appelant To, r[ les valeurs initiales deret r', et h la vitesse initiale,

donc l'orbite sera finie toutes les fois que l'on aura

et elle ne pourra admettre des branches infinies qu'autant que l'on aura

Si g"' = o, le mobile n'est plus soumis qu'à un seul centre d'attraction , et les formules précédentes fournissent les résultats connus pour le mouvement d'un mobile attiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.

Le lecteur, désireux d'approfondir tous les détails de cette solution, pourra consulter le chapitre déjà cité des Fonctions elliptiques de Legendre.

Une seconde solution beaucoup plus simple du même problème a été donnée par M, Liouville, dans son Mémoire

sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer.

En partant des équations différentielles du mouvement sous la forme que leur a donnée Lagrange , M. Liouville parvient, par un heureux choix de variables, à des équations où les variables sont séparées. Cette méthode s'applique avec le même succès à toutes les questions de dynamique où la fonction des forces satisfait à une certaine condition d'intégrabilité. Nous allons en présenter l'exposé succinct , puis nous l'appliquerons au problème d'attraction qui vient d'être résolu , et au cas imaginé par Lagrange d'un troisième centre d'attraction placé au milieu de la droite qui joint les deux autres et doué d'une action proportionnelle à la distance. Quant aux autres applications dont la méthode est susceptible, nous renvoyons au Mémoire de M. Liouville.

Les coordonnées rectangidaires (x^ y) d'un mobile situé dans un plan peuvent être remplacées d'une infinité de manières par deux nouvelles variables (a, |3) dont .r^y sont des fonctions prises à volonté. Soient

on eu tirera

et, par suite, on aura, pour le carré de l'élément ds parcouru dans le temps dt , une expression de la forme

Supposons les variables a et |3 tellement choisies que l'on ait

^ =2 o et V = À.

L'expression de ds* se réduira à OÙ A désigne une fonction de a, /3. jNous verrous plus bas

qu'en prenant pour a et j3 les paramètres d'ellipses et d'hyperboles homofocales , les conditions précédentes sont remplies. Cela posé, Téquation des forces vives prend la forme

V étant la fonction des forces accélératrices , et c une constante. A cette équation, il sufiit d'associer l'une des équations générales du mouvement sous la forme donnée , page 7 ,

\d^') d'£ d\ dt doL doL

OÙ T désigne la demi-somme des forces vives du système. , Comme il s'agit ici d'un simple point matériel, dont la masse est prise pour unité, l'on a

i ds^ i . / , doi ^, d^

d'où

dcL 2 ^ ' ' dOL dOL

et, substituant ces valeurs dans l'équation précédente, il vient

doL dt 1 da\\dt

Tt) y da'

ou bien, en vertu de l'équation (12) ,

do.

^-^It idl,^^ . d\

(i3) — ï — = .-3- (VH-c)-h— .

^ ^ dt k doL^ ' dcL

Si l'on multiplie cette équation par 2X Ja, on peut l'écrire

^-y^-d-tj^"^. — ^"'

et, par conséquent, elle sera inlégrable immédiatement, si

e/.(V-hc)> . 1 . 1,1

—j ne contient que la variable a-, soit

d'où

[y (a) et F (j3) sont deux fonctions quelconques]. L'équation différentielle précédente devient

d'où, en intégrant ,

A est une constante arbitraire. Par suite, l'équation (12) donne

Des équations (1 5) et (16) on conclut immédiatement

équation différentielle de la trajectoire, où les variables sont séparées, et, pour l'expression du temps,

Cette dernière quadrature s'exécutera, après avoir remplacé A par sa valeur en fonction de a, ;3, et aussi j3 par sa valeur en a tirée de l'équation (17) qu'on suppose intégrée.

11 est un cas étendu où l'expression de t s'obtiendra sans même supposer qu'une des variables jS ait été préalablement exprimée en fonction de l'autre , c'est lorsque la condition exprimée par l'équation (i4) ^ lieu, non pas seule-

ment pour une valeur particulière de la constante c (ce qui exigerait une certaine relation entre les circonstances initiales du mouvement) , mais quelle que soit cette constante. Alors il faut que Vi et cl soient séparément de la forme du second membre de l'équation (i4) , c'est-à-dire

d'où

/(a) = ^(«)4-cy(a), F{p) = T(p)+c4>(p),

et, par suite, les formules (17), (18) sont remplacées par les suivantes :

v/^(a) + C(p(a) — A Va— y(p)— <:$(p) ff{a)doi *(p)rfp

(21) 2dt= -— : -, ,

^^(oL)-+-cr,,u)^A v^A — H^(P) — c4>(pj

cette expression de dt est immédiatement intégrable. Les équations

(22) a = const., p = const.,

sont celles de deux systèmes de lignes orthogonales^ en sorte que chaque position du mobile dans son plan peut être regardée comme déterminée par T intersection a angle droit d'une ligne du premier système par une ligne du second. En effet, soient (a, [3) , (a + Ja, j3 -|- t/j3) les coordonnées de deux points infiniment voisins /71, m' de la tra-

If/

ÛC

jecloirc^ ah^ (v/, les deux lignes qui se croisenl au point m

et qui sont représentés par les équations (22) où les constantes reçoivent les valeurs de a et /3 pour le point m 5 a'b'^ c'd' les deux lignes correspondantes pour le point mf\ ces quatre lignes interceptent un quadrilatère infiniment petit mpm'p\ dont l'élément mm' ou ds est une diagonale , et l'on a

mm^ = mp -f- rn' p — nmp.m* pcos[mpm').

mm' ou ds^=z\[dcx}-{-d^^').

Si Ton' fait dans cette formule rf(3 = o , ds ou mm' se change dans mp, puisque le point p répond aux coordonnées (a -♦- éia , l3) -, donc

mp =.\da.^^ et de même mp' z=z\d^^

Mais mp' peut être confondu avec pm,' , dont il ne dilïere que d'un infiniment petit du troisième ordre ; donc on a

mm' = mp -\- m' p , d'où

co.'t [mpm' ) = o , mpm' = —

Réciproquement^ si les équations a = const., |3=const. représentent deux systèmes de lignes orthogonales quelconques , on pourra dire que le carré de l'élément de trajectoire aura la forme

ds^z^Xda^-^Vd^^',

mais y! ne sera pas nécessairement égal à A.

En effet, l'arc s étant une foncyon de «> j3, on a en général

mm' ou ds •=: Ada H- Brfp,

d'où

mp=z Kdcny m'p znBdp.

T. on

'otw

ynr

*T- z=: r- :jc- — ¥-rf

•^^Ull^nes- 1

i TtrïIldîIHSIL . 1

«-iittion. 'j^

Tta-ir

'i«^ Jsats irrtiosaiiaijes.

V^. =rv. X »r

•v^mptMfiKs par x -^ .. ^ .i^ iiifêr»?îititiîl«- fx. r,: par

^"poiM:/ina¥t^ — Prcaïaiis- pour x et v Tes- itrini-^ïstfs FJ^

:iov5» et 1 li^Df^vbfiiei homiiàiezles n?îïresi!ïic«î^ aar les êifoa-

EXERCICES DE MÉCAJVIQUE. 27 1

d'exprimer en remarquant que les équations précédentes ne diffèrent Tune de l'autre que par le changement de (i* en v', et, par suite, que les valeurs de /n* et v* satisfont à une même équation du deuxième degré

d'où Ton conclut immédiatement

b^x^=ilJL^v\ OU x = ±i^;

et si l'on change fz* en f;.* — i*, v* en è' — v* et x en y, on a , sans nouveau calcul ,

^'j'=(p' — ô'){^»— V»), ou r = ± ^^'^'^^'^^^'""'''^ »

On peut supprimer les doubles signes dans ces formules , en convenant que v recevra , comme x^ des valeurs positives

ou négatives, et que ^b^ — v* pourra également changer de signe avec j^ conventions qui reviennent à faire

V = b ces Ô ; d'où x = fi ces , j = Vf*' — ^' sin 0.

Cela posé, on a

dx = i- =- — ^ , dy = , ' — , î

b èv/fx'— é^ byfb'—v^

d'où

Les termes coillenaiit le produit rf|!xrfv ont disparu, comme cela devait être, puisque l'ellipse et l'hyperbole homofocales se coupent orthogonalement 5 et, en comparant cette expression de fls^ avec la formule ( 23), on a

De plus, la valeur de X a la forme exigée par l'équa-

Uja TROISIEME PARTIE.

tion (a4) 1 c'est-à-dire qu'elle se compose d'une fonction de (jL jointe à une fonction de v ; M. Liouville a démontré que le système de coordonnées elliptiques est le seul qui jouisse de cette propriété.

D'après cela, pour que les équations du mouvement soient réduites aux quadratures par les formules (î>.o) (21 ) , il faut et il suf&tquela fonction des forces V satisfasse à la condition ( a4 ) ? ou que l'on ait

Revenons au problème de dynamique qui fait l'objet de ce chapitre.

Si l'on prend les deux centres fixes F, F' pour foyers communs des ellipses et des hyperboles, on aura

FF' ou «1 = 2^, r = u -i x=ru-|-», / z=uL — v;

et comme V = ^ -h ^, il vient

c'est la forme voulue.

Donc « si Ton pose

N = (6» — >'}[A-i^— ^}v — cv*],

Téquation diAerentielle de la trajectoire et la différentielle du temps seront^ diaprés les formules (20) (ai).

Ces équations ne doivent pas différer, an fond* des éq[aa-

lions (lo) et (i i) que nous a fournies la première méthode-, en eflfet, il est aisé de voir que les variables d'Euler, peiq^ sont liées à /x et v par les formules

et , vu les expressions de P et Q , on trouve

dp __ j~h d^t. dq 11) d^

en posant, comme on peut le faire, ci* -f- 6c' = A.

Soient r© , r^ les distances initiales du mobile aux deux centres fixes, h la vitesse initiale et a l'angle que sa direction fait avec la ligne des centres ; on en conclura les valeurs initiales de /ui, v, •—? — que nous désignerons par ^^^^ Vo, |u'^, v'q, à Taidedes équations

X COSa=-^ftj ■^^^•' ^""^ ^ , . V^^'-vJ.^o , V'ptJ— ^^Vo ,

Les valeurs des constantes arbitraires A, c seront ensuite fournies par les équations, déduites des formules (i 2) et (i 5),

L'équation delà trajectoire peut s'écrire

JÇ^ du. C rfv

mais il peut arriver, comme on l'a déjà vu pour un cer-

tain état initial, que la trajectoire soit une ellipse ou une hyperbole ayant pour foyers les deux centres fixes, auquel cas elle aura pour équation

Cependant cette solution échappe à l'intégrale générale (29) oùiielv sont essentiellement variables.

Pour éclaircir ce point, remarquons que Téquation différentielle (25) admet, outre l'intégrale générale, la solution singulière

MN = o, d*où M = ou N = o.

L'équation M = o fournira pour [i des valeurs constantes, et l'autre N=o en fournira pour v^ à ces valeurs répondront des ellipses ou des hyperboles qui pourront satisfaire à la question, si toutefois les circonstances initiales le comportent.

Examinons , par exemple , quelles conditions doit remplir l'état initial du mobile pour qu'il décrive une ellipse ayant les centres fixes pour foyers.

On aura constamment dans ce cas

et cette constante fXo ^st distincte de b , puisque autrement le mouvement aurait évidemment lieu suivant la droite FF' ; donc l'équation M = o donne

et , par suite, on tire de l'équation (28)

Cette première condition détermine la direction de la vitesse initiale tangente à l'ellipse décrite; car les équations (a) , dans lesquelles on posera fx^ =0, donnent

tant; a = —

Si l'oti supposait quç le point de départ du mobile fût situé sur le prolongement de la ligne des centres ^ on aurait Vo = ft , et tang a = oo : la vitesse initiale serait donc perpendiculaire à Taxe, ce qui est , en effet, le caractère de la tangente au sommet d'une ellipse.

La condition fi^ = o n'est paala seule ; il faut , en outre,

que l'on ait ( -7- j = o , c est-à-dire que l'équation M = o

ait au moins deux racines égales à po- Cette seconde condition a été établie par Lagrange [Mécanique analytique, tome II , page 1 1 5 ) .

M. Serret. Fa démontrée fort simplement [Journal de Mathématiques pures et appliquées, tome XIII , page 3o ) en remarquant que la trajectoire elliptique, indiquée par la solution singulière M = o , ne saurait convenir qu'autant que l'intégrale générale (29) est en défaiut; d'où il

lit que Fintégrale définie I -p: doit devenir infinie pour

(jt = fXo • or cela exige que le polynôme M , qui déjà s'annule pour |[x = fjto , contienne le facteur yi — fz© à une puissance supérieure à la première. Ainsi l'équation M = o , ou

aura ses deux racines égales à |uto ^ d'où Ton conclut

2pLo 2

et, par suite , la vitesse initiale k sera complètement déterminée par la fomîulc (27)

i*o(f*0-H Vo) f*o(fAo — Vo)

suit

2j6 TROISIÈME PARTIE.

Si Ton suppose tour à tour que le mobile ne soit soumis qu'à l'attraction d'un seul centre fixe F ou F', on devra faire successivement dans cette valeur de A', g'=o ,^^=05 et, par conséquent, en désignant par A'*, k"^^ les deux valeurs que prend alors le carré de la vitesse initiale , on voit qu'on aura

De là ce théorème , dû à Legendre :

Soit A' la vitesse nécessaire pour qutin point matériel, placé en un point donné d'une ellipse dont F et F' sont les foyers, décriv^e cette ellipse sous l'action d'une force attractive émanant du foyer F ; soit k" la vitesse nécessaire pour que le même point décrive l'ellipse sous l'action d'une force attractive émanant du foyer F ^ : si ces deux forces agissent à la fois sur le mobile, et que sa vitesse

initiale k soit égale à y A'* -f- A''*, il décrira encore la même ellipse. (Les attractions suivent la loi ordinaire de l'inverse du carré des distances. )

L'hypothèse ii=b correspond, comme on Ta dit plus haut , à un mouvement rectiligne ; dans ce cas , pour exprimer que l'équation M = o a deux racines égales à &, on aurait la seule équation

cb^-hig-^ g^) ff — A = o, et, par suite, taDga = o.

La vitesse initiale devrait donc être dirigée suivant la ligne des centres FF' 5 mais sa grandeur resterait arbitraire , ce que l'on conçoit bien à priori.

2. Lagrange a fait voir le premier que les équations du mouvement sont encore réductibles aux quadratures, quand on ajoute un troisième centre fixe^ placé au milieu de la droite qui joint les deux premiers, et attirant le mobile en raison directe de la simple distance.

Eu effet , la fonction des forces devient alors

f représentant le pouvoir attractif du troisième centre O à l'unité de distance , et R le rayon vecteur mené de ce centre au point mobile \ or

R' = a:' H- ^' = pi» -f- v' — ^% donc

Et l'on voit que cette expression satisfait encore à la condition d'intégrabilité

seulement les intégrations seront plus compliquées que dans le cas précédent, et ne se réduiront plus à de simples fonctions elliptiques.

Les développements que nous avons donnés plus haut sur la solution singulière qu'admet l'équation différentielle (25), subsisteront pour l'équation de la nouvelle trajectoire, sans autre modification que l'introduction, dans le polynôme M , des termes qui proviennent de Fattractiony.

La méthode que nous venons d'exposer s'étend :

1°. Au mouvement d'un point sur une sphère y en remplaçant les deux coniques planes homofocales par deux co-niques sphériques dont l'intersection a lieu à angle droit , et détermine à chaque instant la position du mobile.

2^. Au mouv^ement d'un point sur un ellipsoïde en le coupant par deux systèmes d'hjperboloïdes homofocaux qui tracent les lignes de courbure de sa surface.