CHAPITRE VIL
SUR LE MOUVEMENT d'uN POINT MATÉRIEL P^ANT ASSUJETTI A DÉCRIRE UNE COURBE DONNÉE DANS UN MILIEU RÉSISTANT. — DIVERS CAS DE TAUTOCHRONISME.
1 . Un point matériel pesant se meut dans un milieu dont la résistance R est supposée proportionnelle au carré de la vitesse s^^
ce point est en outre assujetti à décrire dans un plan vertical la courbe définie par V équation
(i) ax = C** — ns — I
(dans laquelle s désigne l'arc compté à partir du point le plus bas , X l'abscisse de l'extrémité de cet arc rapportée à un axe vertical et dirigé en sens inverse de la pesanteur, a un paramètre constant).
On propose de déterminer les lois du mous^ement.
Soit A le point le plus bas de la courbe (fig> 75), et supposons que le mobile descende de B vers A ; la force tangentielle au point m ayant pour expression
l'équation du mouvement est
d^s dx ds^
df ^ ds df
On tire de l'équation (i)
dx n (e"' — i) ds a
3lO TROISIÈME PARTIE.
valeur qu'il faut substituer dans l'équation précédente; il
vient
d^s ne , ^ ds^
dt^ a ^ ' dt^
Pour intégra, on change de variable indépendante en
posant
ds -, d^s udu
— = ££, d où -—-=■——?
dt di^ ds
et l'on est conduit à une équation linéaire du premier ordre dont rintégrale est
Nous supposerons , pour déterminer la constante c , que le mobile part du point B sans vitesse initiale. Soit a la longueur de l'arc AB ; on aura , pour 5 = a ,
a = o, d'où c = ?(^-^"«--2e-"«); et substituant cette valeur, il vient
ou
d^^S df a
Cette équation donnera la vitesse du mobile en chaque point de la trajectoire , quand on connaîtra la valeur de l'arc s en ce point.
On obtient ensuite t en fonction de s par une quadrature; à cet effet , on tire de l'équation précédente la valeur de dt. Si l'on pose
il vient
ndt
fa — dz
nt
i/^ = arccos— 1 ou z =z z^cosnii/-', \ a z^ «Vu
et remplaçant z , Za. par leurs valeurs , on a
I — e-'»^ =r (l — ^ -" « ) COS /2r i/^ ,
OU enfin
(2) j = — -l I — (i — e ■""'*) cos/i^i/-|.
Pour avoir le temps T que met le mobile à descendre de B en A , il faut faire dans l'une ou l'autre des deux dernières formules , 5 = o , d'où
TT /a
Cette valeur est indépendante de <x. Ainsi, quelle que soit la hauteur du point de départ ^ le mobile arrivera toujours dans le même temps au point le plus bas de sa trajectoire. La courbe que représente l'équation (i) est donc tautochrone f pour le milieu résistant dont il s'agit.
Actuellement, de l'équation (2) on tire aisément la vitesse lu = — — 1 en fonction du temps*, il vient
- (i — e-"«)sin/2M A
— (i — e-"«)cos/î^i/^
Au point A , P = (1 — e-"'^) i/^.
Nous ne nous arrêterons pas à la discussion de la formule précédente, non plus qu'à l'examen du cas où la valeur de a est supposée assez petite pour qu'on puisse négliger son carré.
3l2 TROISIÈME PARTIE.
2. ha même trajectoire étant donnée, proposons -nous de déterminer les lois du moux^ement ^ en supposant que la résistance du milieu soit en partie proportionnelle à la première puissance de la vitesse , et en partie proportionnelle à son carré.
Soit donc
R = mv -\- nu^.
Bien que la loi de la résistance soit changée , il est remarquable, ainsi qu'on va le voir, que l^introduction du terme mi^ dans F expression de R, n'altère pas le tautochronisme.
L'équation du mouvement est
d"^ s dx * ds ds
? on a
dt^ ^ ds dt dt^
(ds\ . ,, , dx n(è^ — i) t^ = — — j ; et , SI 1 on remplace — par — ^ -
d^ s ne , , ds ds^
— [- -^ (e"' — i) -h m — — n-—=zo,
dt"" a ^ ' dt df
Le simple changement de variable, employé dans le problème précédent, ne suffirait plus ici pour intégrer l'équation.
Posons , avec Eulcr,
d'or
ou
d'^ s , . udu
-— = (6?"* — ,1)2 j nf,ns (^«i __ I ) J,;. .
substituant ces valeurs dans Téquation différentielle, et supprimant le facteur commun e"' — i, on trouve
, u du ns
i ^'" i] . | £. | fjui -+- nu- =: G :
ds a
EXERCICES DE MÉCANIQUE. 3l3
les variables se séparent immédiatement. Posons, pour
ds udu
abréger, — = X; nous aurons
e^ — I \-\- mu -h nu^
Or,
J f>ns^ J j g-ns „ \ n
et
du
, = — Xn-^mu-^-nu") / -—
k-^-mu-^-nu^ 2/2 ' in J \-\-mu-^nu^
r ^ s'exprimera par la méthode ordinaire, au moyen d'un arc tangente ou d'un logarithme , selon que les racines de l'équation \-\-mu-\-nu^ =10 seront imaginaires ou réelles.
On a d'ailleurs
ds
dt z= — ,
donc
— du
de =
A -+- mu -f- nu^
Ainsi , le temps nécessaire au mobile pour décrire un arc de
> -h mu -+- nu^ Au point de départ,
A* = a et — = G , a OU w = o.
dt
Au point le plus bas ,
Soit donc T le temps que met le mobile à descendre de R en A \ on aura
— du
A -f- ww-f- riu^
3l4 TROISIÈME PARTIE.
Ce temps est évidemment indépendant de a ; ainsi , la courbe est encore tautochrone.
En intégrant par arc tangente , ce qui suppose
4X/i — w' ^ o, on trouve
T = /.. I arctang - - .
L'équation (i) ne renfermant pas le coefficient w, il eu résulte que la courbe tautochrone restera la même, quelle que soit la partie de la résistance du milieu proportionnelle à la première puissance de la vitesse. Mais le temps de la descente est modifié par ce coefficient.
3. Cette propriété du tautochronisme a été établie, d'une manière générale , par Lagrange (*).
Cet illustre géomètre a donné , pour expression générale de la force tangentielle F sur une courbe tautochrone ,
Vf désigne la vitesse du mobile , | une fonction quelconque de Tare 5, et 17 ( - ) une fonction quelconque du rapport -•
En disposant convenablement des deux fonctions arbitraires I et cy, on peut vérifier que cette formule reproduit bien la composante tangentielle de la force qui sollicite le mobile dans le problème précédent.
En effet , prenons
et
( *) Mémoires de rAcadcmio de Berlin, années 1765 et 1770.
ax =z e"" — n ( i — - \ s — i ;
EXERCICES DE MÉCANIQUE. 3l5
il vient
F = -- ^..-^m^-{-n\[\ — e"*) 1 = Ç — wp — /îp% OU
4. Enfin, supposons la résistance du milieu compliquée d'un troisième terme constant k, en sorte que son expression devienne
et qu^en même temps on modifie l'équation de la trajectoire en y introduisant un terme dépendant de /r, savoir,
Cette nouvelle courbe sera encore tautoclirone. En effet, on voit de suite , par l'expression de — ?
dx n ( k\
que les termes où entre k disparaissent d'eux-mêmes de l'équation différentielle du mouvement , et Ton a , comme dans le cas précédent ,
d^s ^ , . ds ds^
dt^ ^ ' dt dt^ ,
Ainsi , les mêmes calculs sont applicables , et les consé^ quences relatives au tautochronisme subsistent; seulement, il faut remarquer que la tangente au point A n'est plus ho-^ rizontale; car
Pour 5 = o, on a — - = -.
ds g
Cette valeur du cosinus de l'angle que fait la tangente en A avec la verticale exige que la constante h soit plus petite
3l6 TROISIEME PA.11TIE.
que g. Cette condition est, en eflet, toujours remplie dans la nature par la résistance des milieux, laquelle est une force beaucoup plus petite que la pesanteur.
La valeur du temps T nécessaire au mobile pour aller de B en A sera encore donnée par la formule
— du
-h mu -+• nu^
elle ne dépend pas de la constante A : ainsi le temps ne sera affecté que par les parties de la résistance du milieu qui sont proportionnelles à la première et à la seconde puissance de P'. Ces particularités ont été signalées pour la première fois par Euler.
EXERCICES DE MÉCANIQUE. iiy
