CHAPITRE PREMIER

MOUVEMENT DE DEUX MASSES ATTACHÉES AUX EXTRÉMITÉS d'une verge inflexible qui PEUT GLISSER ET TOURNER DANS UN PLAN.

Deux points de masses m, m' sont, attachés aux extrémités d'une droite sans masse A A' (fig. 76) qui peut glisser sur un plan horizontal à trai^ers un anneau, mobile luimême autour de son centre qui est jixé sur le plan. On propose de déterminer le mouv^ement du système.

La verge étant en repos dans la position AA', et les points 7/1 et m' étant à des distances données de l'anneau O, on met la verge en mouvement en imprimant à la masse m, située en A, une percussion horizontale perpendiculaire à A A'.

Soient OA = ro, OA' = r^ , Om = r,Om'=r', /la longueur de la verge ; on a

Le problème sera résolu quand on connaîtra les valeurs du rayon vecteur /' et de l'angle mOA =z en fonction du temps .

Soient (x, y), [x\ y') les coordonnées rectangulaires de m et in' rapportées aux axes OAo:, O y ; »^, \^' les vitesses de ces deux points au bout du temps t.

Le principe des forces vives et celui des aires fournissent imniédiatemeul deux intégrales premières d(;s équations du

3l8 TROISIÈME PARTIE.

mouvement

wp'-h mV* =r A,

m {xdjr — ydx) -4- m' i^x'dy' — y'dx') = Bcf/,

A et B étant des constantes arbitraires.

Il convient d'y introduire les coordonnées polaires 5 on a

dr^ -4- r'^G» , dr" + r'^^0'

c^rr , p"

dt^ dO

xdy — ydxzzz r'dB, x'dy' — y'dx* ^= r'^dQ.

Ces valeurs , substituées dans les équations précédentes, donnent

(i) (m-^m') — ^ (mr' -+- m'r'^)— = A,

' ^ ^ ^ dt

Déterminons les constantes A et B :

Si la vitesse initiale Vç^ de la masse m est donnée immé-

diatement , on en conclut la vitesse de /iz', v\ = •^— ^ 9 et, par suite,

dr\ __ /^\ __vj

dt)^^ ' \dt)a~^ro^

La détermination des constantes n^est plus aussi simple si , au lieu de donner la vitesse initiale Uq ? on fait connaître seulement la percussion P imprimée perpendiculairement à la tige.

Le principe de d'Alembert appliqué aux percussions fournit alors l'équation

dans laquelle on doit remplacer dx^ dy^ dx\ dy\ âx^ ôjy àx'^ ây par leurs valeurs en r et 6 tirées des relations

ix = rcOsB. |.r' = — r'cosÔ, ,

I r = r sin , | y' = — r' sin 0,

puis on égalera à zéro les coefficients des variations indépendantes âr, dd. On trouvera ainsi

et , par suite ,

de mrl-\-m'r['''

Actuellement, si l'on élimine — entre les équations (i) et (2) et qu'on remplace A et B par leurs valeurs, il vient

TwrJ -h /wV^ * mr^ -i- m' r'^

Cette équation fait connaître le mouvement de glissement de la verge à travers l'anneau. On a ensuite, pour déterminer la rotation autour du centre O, l'équation (2) ou

En divisant ces deux équations l'une par l'autre , on élimine dt et l'on a l'équation diflerentielle de la trajectoire du point m. Comme la variable n'y entre que par sa différentielle, le problème est ramené aux quadratures. Il est à remarquer que l'équation de la trajectoire ne dépendra pas de la percussion, puisque le facteur P disparaît de luimême.

On simplifiera les formules précédentes par la considération du centre de gravité du système. Soient R la distance de ce centre à l'origine au tout du temps it , Ro sa distance initiale , M la somme des masses m -t- m', MK* le moment d'inertie du système par rapport à un axe perpendiculaire à la verge et passant par le centre de gravité ; on a

mf" + wV' = M (R=^ -h K^); d'ailleurs ^ == — .

^ " dt dt

Les équations (3) et (4) se transforment dans les suivantes :

^^) ^'- — p;^^ — V R^-::rRy^^'

Cette dernière est l'équation différentielle de la trajectoire décrite par le centre de gravité.

Pour que — soit réel, il faut que R surpasse Ro; ainsi,

à partir de l'instant où le mouvement commence, R va en croissant, et la verge glisse dans l'anneau du côté où se trouve déjà le centre de gravité. Celui-ci s'éloigne de plus

en plus de l'origine, car — ne saurait s'annuler pour une

valeur de R supérieure à Rq 5 en même temps , la vitesse de

dQ rotation décroît de plus en plus, car — diminue quand R

ce w

augmente.

Les différentielles (5) et (6) ne sont pas intégrables -, on les transforme aisément en fonctions elliptiques de première et de troisième espèce, en posant

R — et r^ •

^""coS(p Rî + K^-"^'

il vient

dff

dQ =

y I — c' sin^ 9

P/'oLV'^* — c'sin^ <p (1 — sin^<p) y/i — c^sin'^J

On pourra ainsi calculer les valeurs numériques de (5 et de t correspondantes à des valeurs données de R, au moyen des Tables de Lcgendre.

Si, à 1 origine du mouvement, le centre de gravité du système coïncidait avec le point fixe O. on aurait Rq = o.

EXERCICES DE MÉCANIQL'E. 32

et Téquatiou (6) deviendrait

dont l'intégrale est

c désignant la constante arbitraire.

. Mais pour ô = o, on doit avoir R = o ^ donc c = oo , et ,

par suite , on aura constamment

Ainsi , dans ce cas , le centre de gravité du système demeure immobile^ la tige ne glisse pas dans l'anneau, et chacune des masses m, m/ décrit un cercle. Ce mouvement circulaire est d'ailleurs uniforme, car -7- a une valeur

' dt

Pr constante ^,.

On pouvait prévoir ces derniers résultats : en effet, la

dr valeur initiale de — étant nulle, il est évident que, dans

le premier instant dt^ la tige va tourner sans glisser autour du centre O 5 les deux points m , m' commencent donc à décrire deux arcs de cercle; mais les forces centrifuges qui résultent de ces mouvements (/wrc*)*, mVû)*) sont égales, puisque , le centre de gravité étant à l'origine , on a mr =m^ r' \ et comme ces forces agissent en sens contraire dans la direction de la tige, elles se détruisent. Donc, pendant l'instant suivant rff , le mouvement continuera sur les mêmes cercles et avec la même vitesse angulaire.

Il n'en est plus ainsi quand le centre de gravité est à droite ou à gauche de l'origine \ la tige glisse en même temps qu'elle tourne , du côté où /wr est le plus grand, c'est-à-dire du côté de l'anneau où se trouve déjà le rentre de gravité.