Deux sphères élastiques et homogènes S , S' ( fig
ont leurs centres sur une même verticale ^ on les laisse tomber en même temps ^ sans leur imprimer de vitesses y en sorte que la sphère inférieure S\ atteignant la première un plan horizontal fioQe MN également doué d* une élasticité parfaite, est réfléchie vers la sphère supérieure et la choque en un certain point O 5 puis , les deux sphères continuant à se mouvoir, une seconde réflexion de S' a lieu sur le plan , suiv^ie d'un second choc des deux sphères en un point O', etc.
On propose d 'assigner les relations qui existent entre les rayons des sphères , leurs distances initiales au plan MN, et les distances des points oit elles se choquent à ce plan^ les vitesses des deux corps après le choc, etc.
Pour simplifier les formules, nous rapporterons les distances, non au plan MN, mais à un plan parallèle M'N', (listant du premier d'une quantité DC égale au diamètre de la sphère S'. Soient donc OD = x , AD = a , A' D = a'.
La sphère S descend de A en O dans le temps \/ -( « — ^ ) . La sphère S' parcourt d'abord l'espace A'D dans le temps
-û'; puis elle remonte de D en O dans un temps égal à la différence entre les temps qu'elle mettrait à tomber de
A' en D et de A' en O , c'est-à-dire i/- «' — i/- (a ' —
Le temps total nécessaire à la sphère S' pour accomplir son mouvement est donc
Par suite, on aura l'équation
d'où
valeur facile à construire par* quatrième proportionnelle. On peut encore écrire
en désignant par ft la distance initiale AA' des deux sphères. Deux des trois quailtités a (on b) ^ a' et x étant données , on saura trouver la troisième. Par exemple, si l'on demandait la longueur d'un fil A A' à l'aide duquel la sphère S' serait suspendue au-dessous de. S, de sorte que ce fil étant rompu , le choc des deux sphères après réflexion eût lieu en un point donné O , on tirerait de l'équation précédente , ou mieux de l'équation ( 2) , après unje élévation au carré ,
AA' ou a — û' = 4[^7'— v/«'{/i'— a;)] = 4(A'D— A'H)=4.DR.
Le calcul dès vitesses des deux sphères , avant et après le choc 5 n'offre aucune difficulté ^ nous ne nous y arrêterons pas.
3. Une sphère élastique S ( fig. 79) est tombée d'une certaine hauteur sur un plan horizontal élastique et inébranlable MN, ety au moment oit elle se réfléchit verlicalement de A vers z , une autre sphère S' commence à tomber dans la même verticale, à partir d*un point donné B, et les deux sphères se choquent en un point O , dans des conditions telles, qu^ après le choc elles reprennent des vitesses respectivement égales^ mais de sens contraire à celles quelles avaient avant le choc, et que la sphère S renuonte à son point de dépatt B dans un temps précisément égal à celui que la sphère S emploie à atteindre de nouveau le plan. Les deux sphères parvenues en A e£ B se retrouvent ainsidans les mêmes circonstances quau commencement, et par suite elles reviennent de nouveau se choquer en O^ et ainsi de suite indéfiniment. On propose d* assigner les relations qui existent, par suite des conditions du problème , entre les rayons des. deux sphères, la hauteur initiale de
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chute de la sphère S , la hauteur de chute de la sphère S' et la hauteur du point de rencontre.
Soient R, R' les rayons des sphères S, S'\ prenons AC = 2R', et rapportons les distances au plan M'CN' parallèle à MN ; soient BC = a , OC = i.
La sphère S', parvenue en O, aura , avant le choc, une vitesse
V = slig{a-^b);
la sphère S, ayant remonté de C en O , aura , avant le choc , une vitesse négative
y désignant la hauteur initiale de chute de cette sphère , c'est-à-dire la hauteur à laquelle elle s'élèverait jusqu'à ce que sa vitesse fût réduite à zéro , si la sphère S' ne s'y opposait pas.
Après le choc , les deux sphères doivent , pour satisfaire à renoncé, posséder des vitesses respectivement égales à celles qu'elles avaient auparavant, mais dirigées en sens contraire. Or, la théorie du choc de deux corps élastiques dont les masses sont m , ni\ et les vitesses V, V, donne, pour les vitesses après le choc ,
2(,wV-f-/w'V') ,. 2(wV4-/w'V') ^^, m -\' m' ' m -^ m' '
pour que ces vitesses se réduisent respectivement à — V, — V, il faut que les quantités de mouvement wV, m'V vsoicnt égales et contraires. Par conséquent, on aura, en observant que les masses sont entre elles comme les cubes des rayons ,
R' six — b = R'3 ^a-'à.
De plus, le temps que met la sphère S' pour descendre de B
en O étaïit \/ ~(^ — &)? ^t le temps qu'emploie S pour re-
EXERCICES DE MÉCANIQUE. 'i^J
monter de C en O étant \/ -J — y - {j — ^)i
on aura
Ces deux équations feront connaître j^ et i, len fonction de fl, R, R', Soit ( — i = w^ la première donne
j— 6 = /i»(^i — fc), et , substituant dans la seconde , on a
^a — b = ^b-h n^(a — b) — n^a — b, d'où (i ^ny{a—b) = b^n'{a — b)y
et
enfî
, a{i -j- un)
11 ne faut pas oublier que tous ces résultats supposent une élasticité parfaite, qui n'a pas lieu rigoureusement dans la nature.
