CHAPITRE III

SUJl LE MOUVEMEKT D UNE TIGE PESANTE

1 . Déterminer le mouv^ement d'une tige pesante y homogène et d'une épaisseur constante, dont les extrémités s^ appuient sur deux droites fixes y Vune verticale. Vautre horizontale, (On n'a pas égard au frottement.)

Le système étant à liaisons complètes y il suffira de recourir au principe des forces vives, qui fournira une équation différentielle du jpremier ordre, propre à déterminer l'unique inconnue du problème, savoir, Tangle variable que fait la tige avec la verticale. Soient AB(^g. 80) ladirection de la tige au bout du temps t^ 6 l'angle qu'elle fait avec la verticale Oy, M sa masse, / sa longueur, p» la vitesse de l'un de ses points dont la masse est m, et dont les coordonnées rapportées aux deux droites fixes sont désignées par x etj^, r la distance Am^y^ l'ordonnée du centre de gravité G^ on a

/ ou, comme ^, = - cos Q ,

2 wc' = c — ^M / cos Ô ; c estunecoQstante arbitraire. On a d'ailleurs

J7 = r sin 9, y = (^l — r) cos 0,

^ ~^ dr^ ~ 7P '

donc

— 2w[r' + (/=— 2//)sin^0]=rf— ^M/cosÔ,

Si 1 Oïl suppose la barre homogène et, d'épaisseur constante, celte équation se simplifie notablement, parce que le terme en sin* 6 disparait du premier membre. La masse m de chaque élément peut alors être représentée par sa longueur dr^ et la masse M par /^ on a

L'équation du mouvement se réduit donc à

■^ -r— = ^ S ces 0.

Z dr ^

Pour déterminer la constante c, supposons qu'à l'origine du mouvement, la tige inclinée d'un angle a ait reçu une

dB percussion à laquelle corresponde une valeur e de -7- : on

aura

/ c = 15 e' -f- ^ ces a ,

et, par suite,

-r-r= e H T (cOSa — COSÔ).

dt^ l ^ '

Cette équation coïncide avec celle qui déterminerait les oscillations d'un pendule simple de longueur ^/, primitivement écarté de la verticale d'un angle a et animé d'une vitesse angulaire e, en supposant de plus que la pesanteur agît de bas en haut, daijs le sens Oj.

Ainsi "donc, si l'on suspendait au point O un semblable pendule Om', les positions successives qu'il prendrait -dans le plaii y' Ox^ seraient à chaque instant parallèles à celles que prend la tige dans son mouvement.

3iÎ0 TROISIÈME PARTIE.

Nous avons considéré comme connue la valeur initiale £ de — : si Ton ne donne que Tintensité P de la percussion

appliquée en un point déterminé I de la barre (fig* 8 1 ) , on devra calculer e de la manière suivante :

Le principe de d'Alembert, appliqué aux forces instantanées, fournit Téquation j

Xo, Yo désignant les composantes de la percussion, et a:©, 7© les coordonnées de son point d'application. Le terme soumis au signe \^ se rapporte à un point quelconque de la

barre, à Torigine du temps. Soit AI = c; les liaisons du système s'expriment par les équations

jTo := C sin a, Jq = ( / — c) ces a,

X zrzi r sin a, / = ( / — r) COS a,

d'où Ton tire les valeurs de c^Xq, cîj^o, àx^ dy^ en fonctioii de la variation (îa qui reste indépendante,

Sxq = c ces a . Sa, 8x0 = — ( / — c ) sin a . ^a, 8 a: = r cos a . Sa, 8jr = — ( / — r) sin a . 5a; on^a aussi, pour f = o,

dx dy /, N

— - = r cos a . g , -r- = — ( * — r J sin a . i,

dt dt

i désignant la valeur initiale de •--*

Ces valeurs étant substituées dans Téquation ci-dessus ,

on devra égaler à zéro le coefficient de cJa, et Ton aura,

toutes réductions faites,

/• Xo c cos 3t — Y„ i / — V ; sin 7. = -^ £,

KXERCrCES PK .MÉCVNIOrE. []^l

d'oii

3 [Xo c cos a — Yo ( / — c ) sin a 1

£ rz: — = .: i i.

Le signe et la grandeur de e dcîpendent de la grandeur et de la direction de la percussion , et aussi de la position du point I.

Pour qu'il n'y eût pas de .vitesse initiale produite, il faudrait que Ton eut

XoCCOSa = Yo(/ — cjsina, d'où

Xo (/ — c)sina IC

Yo ccosa ID

Ainsi la direction de la percussion devrait passer pai- le sommet S du rectangle AOBS. Cett« condition est nécessaire et suffisante.

2. Déterminer le moui^emeîit d'une tige pesante y libre de tourner dans l'espace autour d'un de ses points supposé fiXe, (Concours d'agrégation de i843. )

On prendra pour origine des coordonnées le point fixe O [fig- 82), et Taxe des z vertical dans le sens de la pesanteur. Les variables qui déterminent la«position du système à chaque instant sont au nombre de deux, savoir : l'angle AO^ = Q que fait la baguette ABavecTaxe des-z , et l'angle A'Ojc =: tp, que sa projection horizontale fait avec Taxe des X, Soient M la masse de la baguette que nous ne supposons pas homogénéisa la distance de son centre de gravité G au point O-, r le rayon vecteur Om d'un point quelconque dont la masse est m ; r' la projection OP de /•.

Les principes de la dynamique fournissent divers moyens d'obtenir entre et ^{/ les deux équations nécessaires à la solution du problème.

•i'\ Prenons les équations delà dynamique sous la forme que loup a donnée Lagrango (voyez page 7 ).

Nous devrons d'abord calculer les deux fonctions T et V. V désigne la fonction des forces qui se réduit ici à Yijmgdz\ on a donc •

V =: g^ 2 WZ = M flg^ ces Ô .

Pour la fonction T , on trouve successivement [voyez page 8) , ^

T = 1 (6" + sin'9. ^") M (a' 4- K') ;

MK* désigne le moment d'inertie de la tige par rapport à un axe perpendiculaire à sa direction et passant par le

centre de gravité: 0' et i' sont les dérivées — \ — .

/ dt dt

Cela posé, V équation des forces visses

T — V = const. donne ' •

2ff

c étant une constante arbitraire.

Il suffit donc d'associer à cette équation Tune des équations ( 6) de la page 7. Comme T et V ne contiennent pas la variable tp, on choisira de préférence la suivante,

dyj dj. dv .

qui se réduit à

di d-^ d-^

" ou -. ~ (M)nst. ,

EXERCICES DE MÉCANIQl]E. 3!^ 3

OU bien , vu Tex pression de T ,

(2) sin'0.f = c',

c étant une deuxième constante arbitraire.

Les équations (i) et (2) résolvent la question.

Si la tige pesante se réduisait à un point matériel distant du point O de la longueur /, les équations de son mouvement se déduiraient des deux précédentes , en y faisant

«K= o et rt = /;

l'équation (i) deviendrait

(3) ô" + sin'0. f * ^cosô = c.

Quant à Féquation (2) , elle ne serait pas modifiée ; ov l'équation (3) coïncide avec (i) quand on ypose

11 suit de laque la tige pesante se meut autour du point O comme le ferait un pendule simple^ dont la longueur se-

rait [a-\ j 9 ^les circonstances initiales étant supposées

les mêmes» . ^

Le problème est ainsi réduit aux formules du pendule conique.

Avant d'aller plus loin, il ne sera pas inutile de nous arrêter un instant sur les autres procédés qu'on aurait pu suivre pour parvenir aux équations (i) et (2).

-a" A l'équation des forces vives, mise sous la forme,(i), nous aurions pu associer V équation du principe de la conservation des aires ^ qui a lîeu pour le plan horizontal seulement ,

^ m ( .r ^ — y -— ) = const ,

334 TROISIÈME PARTÏK.

> ///;' — — =r const.

Et comme v == rsin0, celte intégrale première ne difl'ère pasde l'équation (2). Elle exprime que Taire décrite autour du point O pendant chaque instant fi?^par la projection horizontale d'une partie quelconque Om de la tige, est constante.

3°. Le mouvement de la tige serait complètement déterminé , si l'on connaissait celui de l'un de ses points. Soit/ la distance à Torigine de ce point auquel nous conviendrons de rapporter tous les autres, et dont nous fixerons plus loin la position sur la lige mobile; désignons par Ç,^?,^ ses coordonnées : les coordonnées x ^ y ^ z d'un point quelconque sont liées à ^ , y} , ^ par les équations

De plus , on a

Si Ton substitue les valeurs de a?, > , >s dans l'éqnalioji que fournil le principe de d'Alembert ,

il vient

dt' ^^ de' \ dt' a' H- K ' / ■ .'

à cette équation, il faut associer

On en lij e , par la méthode ordinaire» des muitiplica-

leurs ,

La longueur / est arbitraire : si Ton pose

les trois équations précédentes coïncident avec les équations bien connues du pendule conique.

Ainsi ce procédé ^ très-différent des deux premiers, nous ramène à U même conclusion, à savoir que la tige se meut

comme un pendule simple de longlieur a H •

Poursuivons maintenant la recherche des principaux résultats renfermés dans les équations (i) et (2).

On tire de ces équations les valeurs de dt eid^ en fonction deô,

sin 6 dB

rft =

-~ ces 01 sin'ô

in i/ ( r H- ^cos G j sin' — c''

sin

Ces formules sont réductibles aux fonctions elliptiques , et ne peuvent couséquemment s'intégrer que par approximation. Quand la tige sera homogène , on aura aisément la longueur du pendule simple correspondant. Si Ton sup-^ posait, par exemple, que le point fixe O fût Tune des extrémités de la tige, on trouverait, en désignant par L sa

longueur,

K' ' frUlr 2

a ah 3

Ainsi, dans ce cas, la longueur du pendule simple serait

- de celle de la tige.

Les constantes c et c' se détermineront d'après les données initiales. Soient a l'angle AOz que la tige AB, dans sa position initiale, fait avec la verticale (fig- 83) 5 CD la direction de la percussion qui lui a été imprimée , et qu'on peut supposer perpendiculaire à la tige. .Celle-ci commencera évidemment à tourner dans le plan OCD ^ car il n'y a pas de raison pour que le mouvement commence d'un côté de ce plan plutôt que d'un autre, et, d'ailleurs, on peut considérer ce plan comme celui de deux axes principaux relatifs au point O. On appliquera donc la for*mule de la vitesse angulaire de rotation , comme s'il y avait un axe fixe perpendiculaire en O au plan OCD. Soient co cette vitesse angulaire, julp' l'intensité de la percussion , y* la distance OC •, on aura

or la vitesse initiale p» d'un point quelconque M de la lige est roi). Si donc on remplace, dans le premier membre de l'é-

quation (i) , la quantité 0'^-+- sin* 0.t|/'* ou -9 par la valeur

ci-dessus de o)', on aura l'équation

(3) • w'=:c-f--^ COSa, (/ = rtH

qui déterminera la constante c.

Quant à la constante c\ on a, d'après l'équation (2) ,

c' z= sin' a -7- 1 ; . \ fit ,

or sin a ( -7- ) représente la vitesse initiale de la projection

horizontale du point de la tige dont la distance au point fixe est Funite : on a donc , en désignant par s Fangle de la direction CD avec une perpendiculaire au plan ^OA ,

sin a ( — ~- I = &> CCS e ;

il en résulte

(4) c' = w ces e . sin a.

Nous ne nous arrêterons pas au cas où la tige s'écarte très-peu de la verticale. On néglige alors les quantités trèspetites du troisième ordre en 6 et a , et les valeurs deQet^ s'obtiennent en fonction du temps, sous forme finie, par les formules du pendule conique.

Quelles conditions doit retaplir la percussion initiale pour que la tige décrive un cône droit autour de la verticale.'^

On a constamment, dans ce cas,

dQ = a , et , par suite , — - = o.

D'après la valeur précédente de — 9 on en conclut

sin' a ( c H- -^ ces a j — c'' = o ;

mais cette équation exprime seulement que — est nul

pour 6 = a, c'est-à-dire à l'origine du mouvement : il faut

y joindre la. condition ^ -r- = o-, ce qui donne

l ces a sin* a

Il reste à substituer, dans ces deux équations , les valeurs des constantes c et c' tirées des équations (3) et (4); la

première se réduit alors à

ces 8=1, d*où e = G y

et la seconde se réduit k

£rsia'a

/cosa

S = o signifie que la percussion doit être dirigée perpendiculairement au plan vertical qui contient la tige. L'équation

^gsin'g

/cosa

permettra d'assigner la grandeur de la percussion correspondante à un angle a donné ^ et réciproquement, si la percussion est donnée, on en conclura Tangle a, en résolvant Téquation

cos' a H CCS a — i = o ,

qui admet toujours pour cos a une valeur réelle plus petite que I . Enfin , l'équation ( 2 ) montre que le cône droit sera décrit d'un mouvement uniforme : la vitesse de ce mouvement est

dt sin a

Désignons cette vitesse par h , et remplaçons &> par la valeur précédente ; nous aurons

y / cos a

On voit que , dès que l'angle a sera donné , cette vitesse k éersL déterminée indépendamment de la percussion *, quelle

que soit cette vitesse, il y aura une valeur minimal/ y^.?

au-dessous de laquelle A ne saurait tomber : mais cette limite ne sera jamais atteinte , car il faudrait que a fut zéro^ la tige

EXERCICES DE MECANIQUE. SSp

serait aloj^s verticale , et comme ot) serait nulle aussi , il n'y aurait pas de percussion-, la tige resterait donc en repos.

Pour compléter la solution du problème , il nous reste à calculer la pression variable P que supporte le point fixe. Cette recherche conduit à des résultats dignes de remarque. La' méthode consiste , comme on.sait , à imaginer qu'on applique en O une force égale et contraire à la pression 5 on peut alors regarder la tige comme devenue libre , et appliquer les six équations d'équilibre d'un corps solide. Soient X, Y, Z les composantes de la pression P •, jTi , j^, , z^ les coordonnées du centre de gravité de la tige ; les forces perdues s'expriment aisément en fonction deXi^yt^ Zi^et les sommes de leurs composantes parallèlement à chaque axe sont

dt^ dt^

D'après cela , les trois premières équations d'équilibre , qui renferment seules les composantes X , Y, Z de la pression , sont

On a , d'ailleurs ,

X, = û sin ces >|< , ji =: « sin sin \p , z, =rûcos0.

Ces équations feront connaître les trois composantes de la pression en fonction des variables et if/ , qui , elles-mêmes , sont des fonctions connues de t , par les formules précédentes \ mais le calcul direct des valeurs de X , Y, Z serai t fort compliqué. On le simplifie notablement , en ayant recours aux trois équations des moments : ces équations , dans

34o TROISIEME PARTIE.

lesquelles nous introduisons les coordonnées x,, j,, z, ,

sont

■ dr • é/f> /

Elles se réduisent à deux distinctes , comme il est aisé de le voir.

Des équations (5) et (6) combinées, on déduit, sans difficulté,

Yx, — X/. = o et Zy,'^Xz,z=:UgyA\—-Y

Ces équations mettent en évidence deux propriétés de la pression: i** les composantes X, Y étant proportionnelles à Xi, j^i, il s'ensuit que la pression est toujours comprise dans le plan vertical qui contient la tige^ ^^ les composantes Z, Y n'étant pas proportionnelles aux coordonnées

Zi,ji{ puisque / ou a-\ diffère essentiellement de a j? il

s'ensuit que la pression nest pas dirigée suivant la tige. Les deux équations précédentes permettent, en outre, d'exprimer X et Y en fonction de Z sans coefficients différentiels :

on en conclut

Tout se réduit donc à déterminer Z en fonction de 6. La troisième des équations ( 5 ) donne , à cet effet ,

Z = M ( g^ + « cos . 37^ -h fl sm 0. — J

On connaît déjà —r- en fonction de 6 ; on en tirera —— > et substituant, il viendra

Z = M jg'l I — ^j -hûccosôH ^cos'O h

par suite ,

[g' ( I — 7 ) -f- fl' c» -h 2 ûg'c ( I 4- ^ ) ces \ '/ ^ \ U

+ if£:^^ + ^)eos>ô

L'inclinaison y de la pression sur la verticale sera également connue en fonction de , puisque

cos7= -.

La grandeur et la' direction de la pression ne dépendent explicitement que de la variable d, et non de i[/. Quand Fangle d sera constant , c^est-à-dire dans le cas où la tige décrira un cône droit, la pression sera constante, et sa direction décrira également un cône droit autour de la verticale. La valeur générale de P se réduit , dans ce cas , à

P = Mgi/n-^tang»a; on a , d'ailleurs ,

d'où

ces 7 =

ou bien

tang^ a

tangy = - tanga.

Comme - est <! i ) Tangle au centre du cône droit que décrit

la pression est plus petit que celui du cône que décrit la tige.

Ces dernières formules , relatives au cas du cône droit ,

s^ obtiendraient directement et d'une manière beaucoup plus

simple , en remarquant que les forces effectues sont alors immédiatement connues de grandeur et de direction, puisque chaque point m décrit un cercle dont le rayon p est r sin a , avec une vitesse

= r&) = r sin ai/j

ces a

La force effective a donc pour valeur — -—- tang a , et

comme sa direction ne varie pas d'un point à un autre , la résultante des forces effectives est égale à leur somme

= Ma ~ tang a.

Cette résultante, prise en sens contraire et composée avec la pesanteur M g , donne , pour la pression P, la valeur déjà trouvée.

Les équations différentielles en |, yj, (^ de la page 335 , permettent de comparer la pression P exercée par la tige mobile sur le point fixe , avec la pression que supporterait ce même point , si l'on remplaçait la tige par im pendule

simple de longueur /= a H • Cette dernière pression,

qui n'est autre que la tension du fil auquel serait suspendu un point matériel de masse M, a pour expression MX /; et si l'on ajoute membre à membre les trois équations que nous venons de rappeler, multipliées respectivement par

? 9 '^ 9 C 5 ^^ trouve

or, j^ = -^cosQ-h€ et J; = /cosÔ;

donc À = -^ cos -h t*.

On connaîtra ainsi, pour chaque position du pendule^ la valeur de la tension M X /. Mais , bien que le mouvement du

EXERCIGISS DE MÉCANIQUE. 343

pendule simple coïncide avec celui de la tige , les deux pressions P et M X /sont distinctes en grandeur et en direction.

La composante X de la pression P peut s'écrire j- -^;

ou bien , comme -j-j = — i Ç ,

on a de même Y = -— X>3,

On conclut de nouveau de ce& trois formules que la pression P n^est pas dirigée suivant la tige , mais seulement dans le plan vertical qui contient celle-ci. De plus on voit que cette pression est la résultante de deux forces , l'une dirigée

suivant la tige , et égale à MX /. -^ c'est-à-dire à la près-

* Cl

sion due au pendule conique multipliée par - , l'autre ver-

ticale et égale k^g ii — -J, c'est-à-dire à la composante qu'on obtient en décomposant le poids M ^ de la tige en deux forces parallèles appliquées au point fixe et au centre d'oscillation.

Dans toutes les formules qui précèdent , on n'a pas supposé que le centre de gravité G de la tige mobile coïncidât avec le point fixe. On aurait alors a = o , et par suite / = oo ; en sorte que le mouvement de la tige ne serait plus assimilable à celui d*un pendule simple de longueur li Mais , dans ce cas , le poids de la tige étant constamment détruit par le point fixe, il n'y a pas de raison pour que la tige sorte du |Jan OCD qui passe par sa position initiale et par la direc* tion de la percussion , et elle devra décrire ce plan avec la

vitesse constante co == —=-,•

Au reste , ces résultats sont aussi mis en évidence par les équations (i) et (2) qui deviennent complètement intégrables.

L'équation ( 1 ) se réduit à

et comme le premier membre n'est autre que ( - ) ? cette

équation exprime que la vitesse d'un point quelconque de la tige demeure constante pendant toute la durée du mouvement^ de plus , on a, par l'équation (3) , c = o)'. L'équation (2) n'est pas modifiée; on a toujours

( 2 ) sin' ô -— ï- = c' , et c = w ces e sin a .

^ ' fit ^

Eliminant -~ entre les équations (1) et (a) , et posant

I sin a ces g = /;i ,

il vient

sioO^^Ô — ûf.cosô

\/sin' — /7i» v^i — m" — cos' Ô L'intégrale est

cos0= ^i — /w*cos{«r — p) ; et, pour déterminer la constante j3, on a

ces a = V^i — m'cosp :

par suite, l'intégrale précédente prend la forme (7 ) CCS 6 = CCS a ces o) ^ + sin a sin 6> / sin e.

Or, si l'on conçoit l'angle trièdre dont les arêtes sont la verticale Oz, la direction initiale OC de la tige et une droite variable Ow faisant avec OC, dans le plan OCD, l'angle wf ; l'expression de cos est précisément celle du cosinus de la face angulaire zOm^ opposée à l'angle 1 - —

EXEHGIGES DE MÉCANIQUE. 345

Donc la position de la tige coïncide à chaque instant avec celle de Taiête Om, ce qu'il fallait démontrer. On tire ensuite de l'équation (2) ,

"^ ~ sin' 9 ~ sin» (w^— p)-f- w'cos'(w^— P) ' et intégrant , ou a (8) tang 01; - 7) = — ^A.- ^'.

On peut convenir que Fangle ^ soit nul avec t^ et la constante y sera déterminée par l'équation

tanii; 6 tang s taDL'7 = — ^-i^ = — ^• m ces a

La question que nous venons de traiter est comprise , comme cas particulier, dans le problème du mouvement d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. Il a paru préférable de chercher directenxent les formules qui ramènent la question au pendule conique. Cependant il n'est pas inutile, au point de vue de la comparaison des méthodes de la dynamique , de montrer comment les équations qui conviennent au cas général d^un solide mobile autour d'un point fixe, se modifient, lorsque ce corps se réduit à un système de points pesants, en ligne droite.

Les équations générales du mouvement de rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, sont

où/7, ^, r désignent les trois composantes de la vitesse instantanée de rotation autour des axes principaux du mobile

relatifs au point O ^ A , B , C les trois moments d'inertie principaux, et Li, Mi, Ni les sommes des moments des forces appliquées aux différents points du mobile, par rapport aux axes principaux.

Ici, Tun de ces axes (Oz,) sera la droite AB elle-même, et les deux autres (Oxi, Oyi) seront deux, droites rectangulaires tracées à volonté dans un plan perpendiculaire à AB passant par le point O ; par suite , on aura

La position du mobile à chaque instant dépend , en général, de trois angles qui déterminent les positions des trois sections principales XiOr^ /lOzi, ZiOxi^ par rapport aux plans fixes des coordonnées x^y^ z.

Le premier de ces angles, ordinairement désigné par la lettre ^^ est celui que Fîntersection du plan Xi O/i avec le plan xOj^ fait avec l'axe des jr, et comme cette intersection est évidemment perpendiculaire au plan zOziOu zOA, ce premier angle n'est autre que le complément de l'angle A'O x déjà désigné par tp.

Le second angle mesure Tinclinaison du plan mobile Xi Oji sur le plan x Oj 5 c'est l'angle z OA ou 9.

Le troisième angle , qu'on désigne par cp , est celui que Taxe O j:i fait avec l'intersection des deux plans Xi Oji , xOy. Il est évident qu'ici nous n'avons point à considérer cet angle ; les deux premiers à et 9 suffisent , comme nous l'avons dit plus haut , pour déterminer la position de la droite mobile. L'analyse devra donc laisser ce troisième angle (f indéterminé.

La pesanteur étant la seule force appliquée aux différents points de la tige , donne une résultante M^ appliquée au point G de Taxe Ozj parallèlement à Oz 5 et, par suite, les couples Li, Ml, Ni provenant de la translation de cette

force au point fixe O , sont

L, = — Ma^cossO>'i = Mn^sin Ocosf, Mi = MagcoszOxx = — M^i^sînOsinf ,

Ces valeurs étant substituées dans les équations (4), la troisième de ces équations devient une identité, en sorte

que —demeure arbitraire. Cette indétermination revient

à celle de Tangle (p : on conçoit, eu effet, que le mobile étant réduit à son axe de figure O Zi, il n'y a pas lieu de déterminer la vitesse angulaire de rotation /' autour de cet axe.

Les deux premières équations (9) deviennent

dp g .

-j- qr = y- sin ces y,

dq e . .

-----{- pr=z — ySmdsiDf.

La théorie générale du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe fournit de plus entre p. q ^relies trois angles (|/,0 et (p, les trois équations suivantes (où d^ a été changé en — d^^ parce que notre angle ^ est le complément de celui que Ton considère dans cette théorie) :

p =1 — ces o -z sin » sm ô —r- ?

^ dt ^ de

(iij { q =.smo — cos 9 sm -— ?

dt dt

do d-h

r= -I-f-. cosÔ-pdt dt

En éliminant, dans les équations (10),/?, <7 , r, au moyen des formules (11), on aurait deuiç équations différentielles du second ordre entre ^, 6 ety, dans lesquelles les dénuées relalwes à la troisième inconnue (f n 'entreraient pas; on pourrait donc y regarder (f comme constante et les trai-

348 TROISIÈME PAHTIE.

ter comme des équations diflerentielles à deux variables seulement, ^ et 9, Mais, sans faire cette élimination, on peut déduire des équations (lo) deux équations immédiatement intégrables. En effet , si l'on ajoute ces équations multipliées respectivement par pelq^ il vient

dp dq s .

ou , en ayant égard aux formules (6) ,

pdp -+- qdq = — y-sinôr/ô;

et intégrant , y>' -f- y' =r r H — - cos ô.

Mais p^^q^ = sm'Ô -f- -\- — - ,

• ' dt^ dt^

r/0' . d^^ ig

donc --- -H sm* -^^ p. cos ô = c.

dt^ dt^ l

C'est l'équation (i).

Puis, si Ton ajoute les équations (lo) multipliées respectivement par sin d cos (f et sin B sin 9 , les seconds membres disparaissent , et l'équation résultante prend la forme

</ . sin ô [p sin y -I- y cos y) = o , d'où sin ô (/? sin <j) 4- 7 cos <p) = c' .

Enfin , lorsqu'on remplace p et q par leurs valeurs tirées

des deux premières formulas (6) , l'angle (p disparaît , et il

reste

C'est l'équation (a). Nous retrouvons ainsi, mais par une voie moins simple, les deux équations qtii renferment la solution complète du problème.