CHAPITRE IV

SUR LE MOUVEMENT D UN CYLINDRE PESANT ET NON HOMOGÈNE QUI TOUCHE UN PLAN HORIZONTAL FIXE.

Un cylindre pesant , à base circulaire^ dont le centre de grav^ité est hors de l'axe, est posé sur un plan horizontal qu'il touche suii^ant une génératrice. On l'abandonne à lui' même sans vitesse initiale, et il s'agit de déterminer son moui^ement oscillatoire. (Concours d'agrégation de 1848.)

Soient 01a position initiale du centre de la section droite qui contient le centre de gravité du cylindre (fig. 84) 5 A le point de contact avec le plan horizontal ; prenons pour axes des coordonnées dans le plan de la section la verticale AOy et l'horizontale A a: ; au bout du temps f , les points O et A sont venus en C et B, et le centre de gravité du cylindre est en G. Soit N la résistance du plan , laquelle est égale et contraire à la pression exercée sur lui par le cylindre; si l'on joint cette force à la pesanteur qui agit sur tous les points

du mobile , on pourra le traiter comme un corps entièrement libre.

Or l'étude du mouvement d'un corps solide libre se ramène à celle de deux autres mouvements , savoir : le mouvement de translation de l'un de ses points (on choisit le centre de gravité) et le mouvement de rotation du corps autour de ce point.

Considérons d'abord le mouvement de translation du centre de gravité. Ce point se meut comme un point matériel où les masses de tous les points du cylindre seraient réunies, et ou. seraient également transportées parallèlement à elles-mêmes les forces de la pesanteur et la résistance N. Donc , si l'on désigne par M la masse du cylindre,

35o TROIS1BMB PARTIE.

par Xi , /i les coordonuëes du point G, on aura

Ces équations , prises isolément, ne suffiraient pas pour déterminer le mouvement de translation , attendu quHl y entre la force variable et inconnue N , qui dépend du mouvement de rotation. Cependant, comme la première est immédiatement intégrable, on en tire

dxi

-— - = coost.

dt

Or la constante est nulle , puisque le mobile n'a pas de vitesse initiale ; donc

a:, = const.

Ainsi le centre de gravité ne sort pas de la verticale LL', çui passe par sa position initiale. Quant à la loi de son mouvement sur cette verticale , elle ne saurait être établie indépendamment du mouvement de rotation qui va maintenant nous occuper.

Le corps tourne autour de son centre de gravité , comme si ce point était ûxe , et sans qu'il soit rien changé aux forces motrices. De plus, il résulte delà nature du mobile, que la section droite BCG reste toujours comprise dans le même plan vertical \ donc la rotation a lieu autour d'un axe parallèle à l'axe du cylindre, et, par suite, l'équation du mouvement de rotation sera de la forme

dtù

MR* désigne le moment d'inertie du cylindre par rapport à l'axe de rotation, o) la vitesse angulaire, et S Q^ la somme des moments des forces par rapport à cet axe.

Soient Tande BCG =r , CG =: a , w =r -.

^ dt

(Nous écrivons le signe — devant —parce que le centre

de gravité va d'abord en s^abaissant, et qu'ainsi l'angle 6 décroit quand t augmente.)

La somme des moments des poids des diverses molécules du cylindre par rapport à l'axe est nulle , puisque cet axe passe par le centre de gravité; il reste le moment de la force N , qui est N. CD , ouNa sin 0. L'équation précédente devient donc

(2) MK'^= — NflsinÔ.

Comme on a y 1 = CB — a cos d , il en résulte

d^X, ^dB' . ,d'Q

— -^ = a cos ô -— - 4- fl sm ô --->

dt^ dO dt^

et, par suite, la seconde des équations (i) se transforme ainsi :

(3) Ma (cos ^' -t- sin Ô ^^ = N - M^.

Éliminant N entre les équations (2) et (3) , il vient

K^ -; \- as sin ô -f- rtM sm cos ô -- -h sm^ -—- 1 = o.

dt* ^ \ dt^ dO)

Cette équation différentielle déterminera 6 en fonction de i et de deux constantes arbitraires.

En la multipliant par iM^ on l'intègre une première fois ; ce qui donne

dt) Soit a la valeur initiale de d , on aura

(4) ^ \7") — 2flg'cos0-i-a'sin»O ( ~.^ =c.

c -=1 — lag cos a , et , par suite ,

^ ' ^: ^ y COS — COS a

Cette quadrature ne pourra être calculée qu'approximati veinent.

étant connu en fonction de f , on aurait N par l'équation (a) , et aussi y^ = CB — a cos 6; on connaîtrait, de plus, le chemin OC parcouru par Taxe du cylindre, car

OC = OD — a sin = const. — a sin 0,

11 est aisé de déterminer la trajectoire décrite par chaque point du cylindre. Remarquons, en effet, que la verticale lAJ étant fixe , ainsi que l'horizontale OD , et la distance CG demeurant invariable , le rayon mobile qui passe par le centre de gravité est dans la condition d'uoe droite assujettie à glisser sur deux axes rectangulaires, de manière que la partie interceptée entre ces axes soit constante. Or on sait que chcique point m pris sur cette droite , ou sur son prolongement, décrit une ellipse dont les demi-axes sont les distances mG, mC, et coïncident avec les deux directrices fixes.

Si Ton suppose que le centre de gravité du cylindre soit très -peu distant de son axe, la quantité a sera très-petite , et Ton pourra négliger, sans erreur sensible, le terme a'sin^(9 sous le radical de la formule (5). Ce terme sera également négligeable si, a restant quelconque, on suppose 6 très-petit; dans Tun et Tautre cas, la formule se réduit à

/ ^ — Krfô

\ nag ai =

^ ces — ces a

C'est la formule du pendule simple ordinaire ; elle est réductible aux fonctions elliptiques. On en déduira, comme dans la théorie du pendule , la loi des petites oscillations du cylindre de part et d'autre de la verticale LL^

L'équation (4) aurait pu être obtenue directement par le principe des forces vives , sans passer par les équations différentielles du second ordre, où entre la pression N.

D'après ce principe , qui est évidemment applicable ici , on a , en général ,

(6) 2 mp' = c 4- 2/2 {Xdx-h Ydy -+- Zdz),

Or^ dans tout système de points matériels ^ on a aussi

V| désignant la vitesse absolue du centre de gravité, et co la vitesse relative du point m dans son mouvement autour de ce centre.

Ici 1^1 = -^ , puisque — ' = o ^ et , d'après la valeur de

lu'

dB

d(^ d'ailleurs

Pour un point quelconque du cylindre, on a

X=:o, Z = o, Y= — mg ,

et la résistance normale N n'intervient pas dans le second membre de Féquation des forces vives ; on a donc

/ï (Xflfcc -f- Xdy 4- Zdz) =r — Mg/-» = VLga ces + const.

Ces valeurs étant substituées dans Téquation (6), on retrouve l'équation (4).