CHAPITRE V

SUR LE MOUVEMENT D*UN CORPS SOLIDE ATTACHÉ PAR UN FIL INEXTENSIBLE A UN POINT FIXE, ET DONT UNE FACE s' AP- PUIE CONSTAMMENT SUR UN PLAN HORIZONTAL.

Un corps solide repose, par une face plane AJVEV, sur un plan horizontal (fig. 85) , et il est retenu par un fil inextensible OA, constamment tendu et attaché, d'une paHy au point A de la surface du mobile, de Vautre, au point fixe O. On propose de déterminer le mouvement, abstraction faite du frottement et de la masse dufiL .

Soient G le centre de gravité du mobile, M sa masse; OA = a , AG = i. La position du corps sera déterminée à chaque instant par deux angles : Tun ^ , que le fil OA fait avec un axe fixe Oy \ Fautre ^^ que la droite AG fait avec le même axe.

1 . Première méthode, — Si nous concevons appliquée au mobile , dans la direction AO , une force égale à la tension inconnue T du fil, nous pourrons le considérer comme un corps libre, et établir les équations propres à déterminer son double mouvement; savoir, le mouvement de

translation de son centre de gravité G et le mouvement de rotation autour de ce centre.

Soient Xi , ji les coordonnées du centre de gravité , par rapport à deux axes rectangulaires dont l'un est Oy^ ces coordonnées sont des fonctions connues des deux angles

.r, = a sin (f -i- b sin -^ f ri = a cos«p -f- b ces ^p.

La tension T étant la seule force qui agisse sur le sys-

lème 5 si on la transporte en G , on aura , pour les équations du mouvement de translation,

M — 4' = — T cos ff.

Le corps tourne autour du centre de gravité G comme autour d'un axe vertical passant par ce point, sans qu'il soit rien changé aux forces motrices. Le moment de la tension T, par rapport au point G, a pour valeur absolue T.GI ou Ti sin [^ — y), et cette force tend à diminuer l'angle tp. Soit, comme à l'ordinaire, MK' le moment d'inertie du corps par rapport à un axe vertical passant par le point G ; l'équation du mouvement de rotation du corps autour de ce point sera

(2) MK'^=-Tésin(>I.-^).

Les équations (i) et (2) suffiront pour déterminer les inconnues 9, ^, T en fonction du temps , après qu'on y aura remplacé Xi , /i par leurs valeurs en fonction de ç et de <|/ : cette substitution faite, l'élimination de T conduira à deux équations différentielles du second ordre, entre (p et (p.

Ces équations ne sont pas linéaires \ nous ne les écrirons pas , parce que nous allons exposer une autre méthode qui fournit immédiatement deux intégrales premières de ces équations.

Remarquons seulement que l'une de ces intégrales , qui n'est autre que l'équation des forces vives, se déduirait assez facilement du système des équations (1) et (2), en ajoutant d'abord l'une à l'autre les équations (i) multipliées respectivement par ^dx^^ ac^i, ce qui donne

I djc' -4- dr^X M^l — ' -^ ' j = - 2T(sin(p,r/.r, -f-ros<p.r/j,),

OU bien, vu les valeurs de Xi, y^^

puis, Téquation (2) multipliée par ^d^ donne MR' rf ^-^ j = — 2T^» sin (.{» - (p )<4^.

Or le second membre de celte équation est précisément égal à celui de la précédente pris en signe contraire, et comme les premiers membres sont des diiFérentielles exactes, on voit qu'en ajoutant membre à membre ces deux équations, on en aura une troisième intégrable.

Voici cette intégrale première,

Quant à l'autre intégrale , Euler (*) n'est parvenu à l'obtenir qu'après beaucoup de tâtonnements et par un procédé détourné que nous ne rapporterons pas. Le lecteur curieux de connaître cette analyse pourra consulter le Mémoire d'Euler.