Méthode plus simple, — Deux des principes généraux
de la dynamique sont évidemment applicables : celui de la
conservation des forces vives et celui de la conservation des
aires, ce dernier en prenant le point fixe O pour centre des
aires. Chacun d'eux fournit une intégrale première des
équations du mouvement.
i«. Ona
2 mv^ = const.
Or, dans tout système,
\*) Acla Âcademisp' Petropoittanae , 1778.
1^1 désignant la vitesse absolue du centre de gravité, et w la vitesse, relative à ce centre, d'un point quelconque du système. Calculons i^t et S/wû)' :
• dt' \dt) \dt) ^- ^^dt dt
Par conséquent, on a Téquation des forces vives déjà obtenue
(3) «.(^ty^(,,^K')(g)V ..écos(^,-,)^J.g=e.
2^. On a
dy dx
CODSt.
Soient 5, y?, les coordonnées d'un point quelconque {x^ y) relatives au centre de gravité, en sorte que
si l'on substitue ces valeurs dans le premier membre de l'équation précédente, et qu'on ait égard aux équations
il vient
2/w {^xdy — ydx\ = M(.r, rfy, — y^dx^ -\-l,m[\d-ti — yjrfÇ).
Cette équation exprime une propriété générale du mouvement, savoir que la somme des produits des masses de tous les points d'un système multipliés respectivement par les aires infiniment petites décrites par ces points autour d'un centre fixe, pendant l'instant dt^ est égale au produit de la masse totale M par l'aire décrite dans le même instant par le centre de gravité^ plus la somme des produits des masses multipliées par les aires décrites dans le mouvement relatif autour de ce centre.
Passant aux coordonnées angulaires (p et ^, on a '^i ^/i — Ji ^J^i = — [«W(p -+- b^d"^ 4- ab ces (^ — tf) (dtf 4-^4») ],
et, par suite, '
(4)«'^-4-(.'-.K.)^-.«.cos(^-,)(^Jh-^Î) = D..
C et D sont deux constantes arbitraires qu'on déterminera d'après les valeurs initiales données de y, ^, -^9 -—•
3. Avant d'aller plus loin, nous montrerons encore comment les intégrales premières (3) et (4) peuvent se déduire des équations de Lagrange.
En désignant par T la demi-somme des forces vives du système, par V la fonction des forces, par (p' et i(/' les
dérivées -^» -~ , on a les équations (page 7),
dt dt
dt .do d^
dT dy
cp aff
^\dV) dT dy dt d^ d-^
d'où l'on déduit d'abord l'intégrale des forces vives ,
T — V = const.
Mais comme il n*y a pas de forces appliquées au système , V est une constante ; on a donc simplement
T = CODSt.
Or la valeur de T ou de jSmf'', a été calculée plua haut :
ï =r -i-M [«'/^ ~h {h' -4- K') f'-' -h2ab cos(t!) — (p). f f ];
on retrouve ainsi l'équation (3).
EXER€ICES DE MÉCANIQUE. 3^9
De l'expression de T on tire
dT
— - = M«^sin(^|* — (p). (p'\p',
a (û dT A
dl
-— - = M [fl' (p' -h ab ces (>p — «j>) >[/'],
MO
D'ailleurs, V étant une constante, ---et -— r sont nulles.
Avant de substituer ces valeurs dans les équations (5),
e/T dT ,,11.
remarquons que -^ et — étant égales et de signes contraires,
nous éliminerons de suite ces dérivées, en ajoutant ces équations membre à membre, ce qui donnera
de dt
équation intégrable ] d'où
dT dT
H Hr-^ =o,
d,' ■ ^f-^^^"*^' ou enfin
M [«>' H- (^» -h K') f -h flA ces (^^ — ?) (<p' + f )] = consl.
C'est l'équation ( 4 ) •
4. Il s'agit maintenant d'intégrer le système des équations (3) et (4) , afin d'avoir q» et ^ en fonction de t,
A cet effet , nous remplacerons ^ par une autre variable 9 = ^ — (p -, représente l'angle GAI que fait le rayon vecteur du centre de gravité avec la direction du fil. Cet angle mesure la rotation du corps autour de son point d'attache. Nous trouvons à remplacer ^ par 0, l'avantage que l'autre
36o TROISIÈME PARTIE.
variable (p n'entrera plus dans les équations (3) et (4) que par sa différentielle, et par conséquent on l'éliminera aisément. Cette transformation conduit aux équations :
(#4-^»4.2û6cosô4-K^)^^y-h(^»-f.K')^^
^^^^ * dodB
-4- 2 (*' 4- K' -h ab cos9) ^ — = 0%
do dB
(7) (£ï'-4-ft^-h2flftcosô-+-K^) -j-^{b^-i-K^-habcosO)— = D*.
On tire -^ de ( 7), et portant cette valeur dans (6) , il arrive que le terme du premier degré en — disparait, et il reste
a^ {K^ -{- b^ sin^ B) I — | =C' (a' -h ^'4- 2abcosB-^K') — D*; les variables se séparent. Enfin {8) dt = d:: ^
s/ 0{a^ -h b^ -^^ab cosB + K') — D*
Si Ton cherche à ramener cette différentielle aux fonctions algébriques , on trouve que la quantité soumise au radical dans le dénominateur se transforme en un polynôme d'un degré supérieur au deuxième. Par conséquent, cette quadrature ne pourra être évaluée qu'approximativement.
En substituant la valeur précédente de dt dans Téquation (6) , on aura pour dcf une valeur de la forme,
dff = ¥{B)dB.
Mais on ne peut, non plus , l'intégrer sous forme finie.
d et f étant connus approximativement en fonction de t^ on en conclut la valeur de i|; = -h (p , et aussi la tension T à l'aide des formules données dans la première méthode*
Disculons quelques cas particuliers.
Soit b = o\ le Doint d'attache du fil coïncide avec le centre de gravité du corps.
Alors (f désigne l'angle GO y {fig. 86) , et ^ Tanglc qu'un rayon , mené du centre G à un point déterminé G du corps et mobile avec lui , fait avec l'axe Oy 5 ce point C étant arbitraire, on peut choisir celui qui se trouvait en A sur OG au commencement du mouvement, de sorte que la valeur initiale deô ou de l'angle OGC sera nulle.
La formule (8) , dans laquelle on fait i = o , se réduit à
Ainsi, -7- est constant, et l'on trouve de même des va- ^ dt
leurs constantes pour -^^ et --^- Le corps tourne donc uni- ,
formément autour du fil , et le fil tourne lui-même uniformément autour du point fixe.
Ces résultats sont d'ailleurs des conséquences évidentes des propriétés du centre de gravité en dynamique.
Comme il est impossible d'obtenir sous forme finie les valeurs exactes de (p et ^j/, on ne saurait discuter toutes les circonstances du mouvement d'une manière complète.
Cependant l'expression de — permet d'assigner certaines
limites pour Tapgle de rotation du corps autour de son point d'attache.
Cette rotation ne pourra changer de sens , qu'autant
que atteindra une valeur telle que Ton ait — = o , ou
C'(«'-f- ^'4-2 flr^ cosO-FK»)— D^ = o.
Toutefois les constantes C et D, qui dépendent des données initiales , pourraient être telles, que celte équation fournit pour cosO une valeur plus grande que Tunité.
Soit OG = R = y/a' -h 6' -h 2 ai cq| \ Téquation cidessus équivaut à
C»(R'-f-K») — D* = o, d'où
Cette valeur de R doit , pour être admissible , être comprise entre a — i et a -h i ^ et , comme elle est unique , elle indique les écarts extrêmes du corps , de part et d'autre du fil OA , et, par suite , un mouvement oscillatoire en général.
Supposons , par exemple , qu^au commencement du mouvement la ligne AG ait été perpendiculaire à OA (Jig- 87), et que le corps ait reçu une percussion dirigée perpendiculairement à AG 5 on aura , pour t = o,
iz dff dQ
1 dt dt
et, par suite,
Ces valeurs , substituées dans l'expression précédente de R , donnent R = 6 ; telle est la valeur limite de R pour laquelle la rotation change de sens.
Elle est impossible si Ton a a'^ 2 b ^ puisqu^alors le côté OG du triangle OAG serait plus petit que la diflerence des deux autres; dans ce cas, le corp3 tournera indéfiniment dans le même sens , autour de son point d'attache.
Exakninons encore le cas d'une percussion initiale telle que l'on ait
'A=*- -'(ïi=-
et soit Ro la valeur initiale du rayon vecteur 0(i. Les équa-
lions (6) et (7) donnent alors
et la valeur de R qui répond à une limite possible de l'angle
de rotation , c'est-à-dire - y^D* — K* C , se réduit à Rq. La
position initiale du corps suflSt donc pour déterminer Tarnpli tude de l'oscillation, sans qu'il soit besoin de recourir à l'intensité de la percussion.
En remplaçant dans l'équation (8) D* par sa valeur C»(R;-hK») et (a« -4- i^ -h 2 ai cos 0) par R', il vient
dO Cv/R'— Ri
^^ a \]t} + b^ sin» ô
Supposons de plus qu'à l'origine du mouvement le centre de gravité et le point d'attache aient été en ligne droite avec le point fixe, dans l'ordre G, A , O ^ en sorte que l'on ait
ô„ = o, Ko=:a -\-b.
Comme cette valeur de Ro est la plus grande que R puisse
recevoir, on voit que — serait constamment imaginaire, si
l'on n'avait pas , pendant toute la durée du mouvement ,
R = Ro et, par suite, ô = o.
Donc la ligne OAG demeurera droite et tous les points du système décriront des cercles avec Ja même vitesse angulaire; cette vitesse sera fournie par l'équation (7), où l'on fera
y = o , -r- = o , d OU dt '
Ainsi la vitesse du mouvement circulaire sera constante et égale à A.
On pourra, par une discussion semblable, reconnaître 5*il existe des limites pour l'angle <f qui mesure la rotation de la droite OA autour du point fixe ; à cet effet , on posera
-— ^ = o dans les équations (6) et (7), puis on éliminera
entre elles -r- On trouvera ainsi dt
ces
^ V^'-hK^D' Il TT
Si cette valeur de cos est plus petite que i , pour un état initial donné du système, on en déduira pour l'angle (p les limites cherchées : c'est lorsque (f atteindra ces limites que le mouvement angulaire du fil OA changera en général de sens.
