AB

Soit a l'angle ABC, on aura pour seconde équation de condition

( 2 ) ( j? — X, -H tf ) tang a — 7 = o ,

d'où

tang oL^Bx — 8 y — tang a • 5a:, = o.

Multiplions cette dernière équation par l'indéterminée A, et ajoutons à l'équation (i); puis égalons à zéro, selon la méthode, les coefficients de toutes les variations, nous

aurons

(3) /«-^ r=:>tanga,

(5) M-^=: — :Xtang(ît.

Ces équations auraient pu être établies en introduisant la pression qui a lieu au contact du corps m et du prisme , normalement à la face BC , ce qui eût permis de traiter m comme un point libre. Cette pression n'est autre que le

facteur

ces a

A ces trois équations il faut associer Téquation (2) ; si l'on élimine X, il restera trois équations propres à déterminera:, y et Xi en fonction du temps.

En ajoutant (3) et (5) membre à membre, on a

d^ X ,, rf'x,

dt' dt^ '

et, intégrant,

dx ,, dx.

dt de

Nous n'ajoutons pas de constante arbitraire, parce que nous supposons qu'à l'origine le mobile m a été abandonné à luimême, sans recevoir de vitesse. Une seconde intégration

doni)ie

mx H- Mx, = const.

Soit X l'abscisse du centre de gravité du système des deux masses m et M , on a

donc

mx -h M a:, =; ( M -4- w ) X ,

CODSt.

c'est-à-dire que le centre de grax^àé du système ne sort pas de la verticale qui passe par sa position initiale. Ce résultat est d'ailleurs une conséquence du principe relatif au mouvement du centre de gravité d'un système libre; on peut, en effet , remplacer l'action du plan fixe RR' par une force normale à ce plan , et si l'on conçoit que cette force verticale, ainsi que la pesanteur appliquée au corps ///, soient transportées au centre de gravité du système , ce point n'étant soumis qu'à Faction de forces verticales, se mouvra dans la verticale qui le contient à Torigine , puisque d'ailleurs il part du repos.

Cherchons les valeurs de y et x en fonction de t. En éliminant X entre (3) et (4) , on a d'abord

cl^ jc d'Y

(6) .H tanga— = §^tanga;

puis , si l'on élimine x^ entre ( 2 ) et ( 5 ) , il vient

° df dt^ °

et, remplaçant / tang a par sa valeur tirée de (3) ,

(7) (M-f-/w)tanga--- — iM

dt^ dt

d^ X d^ Y Les équations (6) et (7) fourniront pour-—- et -7-^ des

valeurs constantes; par conséquent, la force accélératrice du corps m est constante en grandeur et en direction; et comme ce corps part du repos , il décrit une ligne droile d'un mouvement uniformément accéléré. Pour avoir la direction de cette droite, il suffit de tirer de l'équation (7) le rapport

^dF MH-/W

— tang a ;

d^'x . M lîF

ce rapport est le coefficient angulaire de la direction de la force, c'est-à-dire de la droite que décrit le corps m. Supposons, pour plus de simplicté, que ce corps parte du sommet C 5 Téquation de sa trajectoire sera

X = — jjj— tanga.x.

Soient h la hauteur AC et b la base AB du triangle ACB ;

on a

tang a = j9 et , par suite, 7 = — ^p- • ^

Pour r = A , on en tire x = — Soit AD cette distance ;

quand le mobile est parvenu en D, le triangle a rétrogradé

11 ' f nrx 7 M 6 rnb

de la quantité du ou. o — — = ^ et, par suite,

AD : BD : : M : w ;

ainsi , le point D divise la base AB en deux segments proportionnels aux masses du corps et du prisme.

Si M est très-grand par rapport à m, le point D sera trèsvoisin de B, et la roule suivie par le corps m différera trèspeu de l'hypoténuse BC^ elle se confondrait avec cette droite si la masse M était infinie, auquel cas le prisme se comporterait comme un plan incliné fixe. Quant à la force qui produit le mouvement rétrograde du prisme , on a , pour la déterminer,

Mais

donc

M -T-; — = — m -^— < dt^ dt'

d^ X M. g tang a

df" ( M H- /?2) tang* a -f- M d"^ x^ ///^ tang a

dt'' (M -f-/w) tang'a -f- M

Le mouvement rétrograde du prisme est donc aussi unifoi" mément accéléré .

18o TROISIÈME PARTIE.

La valeur de ' J est nulle pour a = o el pour a =r= - ;

si Ton fait varier a enire ces limites, , atteint son maximum pour

tang

telle est rinclinaison pour laquelle le mouvement de recul du prisme sera le plus grand possible, toutes choses égales d'ailleurs. Cet angle sera toujours moindre que 45° : en particulier, si M = m , on aura tang a = i y 2 , d'où

b : h\: sJt. : \, et a = 35^*— 1 5' — 42^" environ .

Le mouvement du centre de gravité du système dans la verticale est aussi uniformément accéléré, car on a, en désignant par- Y Tordonnée de ce point,

(lVH-/w)Y=:/»r + M j.;

et , comme j, est constante ,

dr dt

mais

donc

d'y (M -H- /w) ^ tang' a

dr "" (M -h m ) tang* a -f- m'

d^ Y mg tang ' a

dt^ (M H- w) tang' a -h M La pression P exercée par le corps m contre la face BC

n'est autre que la quantité ; on a donc

* ^ ces a

m d"^ X m M. g ces a

sin a de^ M -{- m sin' a

quantité constante et inférieure à mg cos a , c'est-à-dire à la pression que lu corps m exercerait sur le plan incliné BC supposé fixe.

2. Les mêmes choses étant posées que dans le problème précédent, on suppose qu'on incline le plan d'appui BR^ d'un angle a à l'horizon , en sorte que l'hypoténuse BC dev*ienne horizontale , et Von demande les mouv^ements que prendront simultanément le corps m et le prisme [dont la pesanteur n'est plus complètement détruite par la résistance du plan fixe RR') (fig. 90).

En prenant toujours pour axes la perpendiculaire CAy et la parallèle C x au plan fixe , et conservant les mêmes notations , le principe de d'Alembert fournira l'équation

lésina —j (îx. = o;

et, d'après les liaisons du système, on a

j, = const.y

(9) (a:, — X — a)taDga — y = o,

DiiTérentiant par c^ cette dernière équation , et combinant , comme dans le calcul précédent , l'équation résultante avec l'équation (8), on trouve

(10) *• m -— ■s= mg sin a — 1 tang a ,

d^Y (il) m — = mgco%cL — l,

(12) M —z-^ = M ^ sin a -h X tang a ,

Cm

Eliminant A entre (10) et (i i) , il vient

(«3) __ta„ga — = 0,

et en intégrant deux fois ,

x:=.y tang a .

iSous supposons qu'à l'origine le corps m ait été 'placé en C , sans vitesse initiale. Ce corps décrit donc une ligne droite , qui n'est autre que la verticale CS. Pour avoir la loi de son mouvement suivant cette droite , il faut associer à Téqualion (i3) celle qui résultera de l'élimination de X et de Xi entre les équations (9),(io)et(iQi), savoir,

fi^ X ci ^ Y

( 1 4) ( M -t- /M ) sin a — ^ -f- M ces a — ~ =r [M-^ m) g sin' a .

On en tire

d'où

dt' dt

d^y ( M 4- /w ) g' sin' a ces a

dt^ m sin' a -+- M

dy (M-^- /n)g sin* a ces a

dt m sin' a -4- M

Soit v' la vitesse du corps m ,

djr (M -h m) g sin' a

fl?^. cos a /w sin' a -i- M

Ainsi, le corps m descend verticalement d*un mouvement uniformément accéléré^ et l'on voit quel est le retard causé dans sa chute par la présence du prisme.

L'espace Cm, parcouru au bout du temps t par le

point m , sur l'hypoténuse , est égal à -7=^ : il croît donc

proportionnellement au carré du temps. On a ensuite

— ' ces a *^ — ^

ou

dt^ dt^ dt' sin a cos a dt^

d^Xi (M-i- m) gsiua '

dt^ m sin' a -f- M

Telle est la force accélératrice qui détermine le mouvement uniformément accéléré du prisme.

Enfin , le mouvement du centre de gravité (X , Y) du

système se déduit sans difficulté des deux équations

^ ^ dt' dr dr

Les équations (lo) et (12) donnent

H- M -— • = (M H- /?/ ) ^ sin a :

dO dt

on connaît d'ailleurs -7-- : on aura donc

dt^ '

— ; — == ^ sm a , df" ^ '

d ^ Y mg sin' a ces a dt '^ m sin' a + M

On conclut de là que le centre de gravité du système du corps m et du prisme décrit, d'un mouvement uniformément accéléré, une ligne droite dont le coefficient d'inclinaison sur le plan fixe RR' est ,-—- ^ — ^^ — .

^ (M -{- Aw) tang'a -I-M

He marque relatii^e au frottement. , — Dans tout ce qui précède , nous n'avons pas eu égard au frottement du corps m contre la face mobile BC , non plus qu'au frottement de la face AB contre le plan fixe RR'. Si l'on veut en tenir compte , on s'appuiera sur ces deux lois expérimentales : i ° le frottement d'un corps solide sur un autre est proportionnel à la pression normale qui a lieu au contact des surfaces ; 2° le frottement est indépendant de la vitesse.

D'après cela , continuons à désigner par la pression

normale et inconnue qui a lieu au point m ( X n'aura plus la même valeur que précédemment), par/ le rapport du frottement a la pression qui correspond au glissement du corps m

sur la face BC {Jig* 89), par f' le rapport analogue pour le glissement de la face AB sur le plan horizontal : f^\-f sont des coeflScients constants fournis par rexpérience (*)5 nous aurons , pour les équations du mouvement ,

( 3 his.) m-^=\ (tang a — /),

(4 bis,) "^'-^ = 'wg' — ^(I-♦-/tanga),•

(5 bis.) M^=--Mtanga-/)-./'M^.

On les combinera comme leurs analogues (3), (4)» (5), en leur associant Téquation (2) qui a toujours lieu; mais on ne retrouvera plus des résultats aussi simples. Cependant Télimination de X conduira encore à des valeurs constantes

pour -— ■ 9 --r^ 9 d'où Ton conclura que le corps m, partant

du repos, décrit une ligne droite d'un mouvement uniformément accéléré. En même temps, le prisme reculera d'un mouvement uniformément accéléré , puisque la valeur de

— T-Y" est aussi constante. Toutefois ceci suppose que l'inclinaison a de la face BC sur l'horizon surpasse l'angle de frottement relatif à cette face , c'est-à-dire l'angle sous lequel l'équilibre du corps m commence à se rompre : on sait que la tangente de cet angle est égale au coefficient y-, on devra donc avoir tang a >y*pour que les mouvements indiqués se réalisent.

{*) Far exemple , si les surfaces frottantes sont :

bois sur bois ) à sec, on a /= o,36,

bois sur métaux, à sec , on a ,/= 0,4^, métaux sur métaux, à sec, on a y= o, 19 .