CHAPITRE IIL
SUR LES PETITES OSCILLATIONS RECTILIGNES DE DEUX POINTS MATÉRIELS LIÉS ENTRE EUX, ET A DEUX POINTS FIXES , PAR DES FILS ÉLASTIQUES*
Deux points matériels m ^ m' ^ de masses égales , sont liés entre eux, et à deux points fixes A et B (fig* 91), par trois Jih élastiques en ligne droite Km , mm,\ m'B ; ces fils, de m.ëme matière, sont susceptibles de s'allonger ou de se contracter de quantités très-petites, et Von admet que leur élasticité varie en raison im^erse de leurs longueurs : on propose de déterminer les petites oscillations des deux points m^ m* .
Dans l'état d'équilibre , les trois fils ont même longueur^
AB
a = "Y"' et même force élastique ou tension/". Au bout du
temps t^ soient
A /w =r « -4- j:, mm' = a -{- y, m' B = fl + z.
La distance AB étant invariable , les variations de longueur, positives et négatives , des trois cordons satisfont à la condition
D'après la loi admise, la tension du fil A m sera ^ ^ »
ou sensiblement/* 1 1 j 5 puisque la variable x est supposée très-petite par rapport à a. Pareillement, la tension du cordon mm^ sera représentée par/" 1 i — -U et celle du
cordon m^ B par J'Ai
386 TROIMÈME PARTIE.
Cela posé , les équations du mouvement sont
dt
^'> ^ rf'(x-t-/) /(z-r)
En les retranchant Tune de Tautre, on élimine x et z, et il reste
L'intégrale de l'équation (2) est
7" = A CCS «r ^ + B sin /^r ^.
Avant de substituer cette valeur dej^ dans la première des équations (i) , remarquons que la valeur particulière
vérifie cette équation, puisqu'elle la réduit à l'égalité ^-p = — 3/i*j^. D'après cela, l'équation linéaire fournie par la substitution dejr,
-— - H- /î'o: = /î' ( A ces /?f \/3 -h B sin /î^ V^3),
us
aura pour intégrale complète
07= — -5:74- C ces /?f + D sin /ir, ou
.r = — -j ( ^ c®* «r ^3 -h B sin /î/ v3) -+- C ces /?/ -4- D sin /if .
a: et / étant connus en fonction du temps , on connaîtra les distances km±:±à-\-x^ Am' =i'2a-hx -hj- Soient Af^ =.r, Am' = 55 il vient
r=a — 1 A ces nt ^ — -y B sin «/ ^ + C ces «r -f- D sin nty
s = 2 a -h 7 A ces /ir v^ -h Y B sin /2f \/3 -H C ces «^ -|- D sin nt.
Les valeurs des constantes A , B , C , D , dépendent des écarts et des vitesses donnés à l'origine du temps.
Supposons , par exemple , que les deux masses aient été écartées de quantités égales et d'un même côté de leurs positions d'équilibre , sans vitesses initiales ] soit o> l'écart commun , on trouvera
A=io, 8 = 0, C = — w, D = o, et , par suite ,
rz=: a — w cos ni , .ç = 2 û — w ces nt.
Les oscillations rectilignes de chaque masse suivront donc la même loi que les oscillations circulaires d'un pendule simple, de longueur a, écarté de la verticale d'un angle o), et sollicité par une force verticale égale hf.
Il y a un autre cas dans lequel chaque masse oscille encore comme un pendule simple : c'est celui où elles ont été primitivement écartées de quantités égales et de côtés opposés de leurs positions d'équilibre. On trouve alors
r = a — w cos nt y3 ,
j =r 2 fl H- w COS nt y 3.
Les oscillations ont encore une amplitude égale au double de l'écart initial ; mais elles sont plus rapides que dans le premier cas, le rapport des durées des oscillations étant
celui de I à v3.
La solution précédente s'étend sans difl&culté aux mouvements rectilignes de trois, ou d'un plus grand nombre de corps m, m', m", de masses égales, liés entre eux consécutivement, et à deux points fixes, par des ressorts dont les contractions ou dilatations sont supposées très-petites.
Euler a appliqué ces formules à la propagation du son à travers une file de molécules équidistantes.
Parmi les diverses hypothèses qu'on peut faire sur l'ëtat ÎDÎtial, nous laisserons au lecteur le soin de discuter le cas où la masse m a été d^ abord écartée de sa position d'équilibre de la quantité très-petite cd, puis retenue en ce lieu jusqu'à ce que les deux autres masses , s^accommodant à ce déplacement, aient pris de nouvelles positions d'équilibre; puis la masse m étant rendue libre, son mouvement se propage peu à peu aux autres. On assignera les époques de plus grande vitesse pour chaque masse, etc.
EXERCICES DE MÉCANIQUE. iSg
