Multiplication Pour multiplier une quantité quelconque

par une quantité négative , ou vice versâ , on opère exactement comme si cette quantité négative était un terme d’un polynôme; on applique textuellement les règles des n os 19, 20, 21, qui indiquent ce qu’il faut faire au sujet de chaque terme du multiplicande et du multiplicateur. " •

Dans chaque cas, il y aura à faire une ou plusieurs multiplica-r lions de monomes isolés , pour lesquelles on appliquera la règle

des signes du n° 22 , que nous croyons devoir rappeler.

-|- multiplié par + donne + ; -(- 7 x (-f-3) = -{- 21.

+ par — donne — ; + 7 X ( — 3) = — 21.

— par + donne — ; — • 7 x ( + 3) = — 21. .

— par — donne ( — 7) X ( — 3) = 21.

103. Divisioni On applique la règle du n° 37 en ce qui concerne les termes isolés du dividende et du diviseur ; d’où , pour la division des monomes isolés , cette règle des signes :

+ divisé par + donne + ; (+21) : (+3) = + 7, etc., «

comme pour la multiplication.

Les opérations effectuées , la réduction dès termes semblables se fait comme ù l’ordinaire , suivant la règle du n° 9.

104. Quand on traduit une formule en nombres , les quantités négatives étant admises, on évalue chaque terme en appliquant les règles précédentes; chaque terme étant ainsi remplacé par un nombre précédé du signe + ou du signe — , la valeur numérique

de l’expression algébrique est le résultat que l’on obtient en addi-

tioimant d’une part les nombres qui ont le signe -f » de l’autre , 'ceux qui ont le signe — , retranchant la plus petite somme de la plus grande , et donnant au reste le signe des nombres qui ont formé la plus grande somme.

C’est là une application de la règle n° 9.

Un pareil résultat s’appelle une somme algébrique (*). V. la note ci-dessous.

Usage des quantités négatives. — Interprétation des valeurs négatives dans les problèmes.

iOo. L’admission dans le calcul des quantités négatives ainsi traitées permet de généraliser davantage les règles établies , les formules obtenues; elle diminue le nombre des cas particuliers qu’il faudrait, sans ces quantités, traiter séparément. Il nous faut maintenant préciser ces avantages que nous avons déjà indiqués eu partie.

10(î. Nous n’insisterons pas sur celui que nous avons indiqué en premier lieu n° 93 : en résolvant une équation , on peut rassembler les termes qui ont l’inconnue dans tel membre que l’on veut (V. ce qui a été dit à ce sujet, 1" exemple, n° 92). Nous remarquerons seulement que cet avantage est particulièrement sensible dans les équations littérales; ex. : ax b = cx -{- d, à cause de l’indétermination des nombres représentés par les lettres a, b, c, d. On n’a pas besoin de dire :si a>c on rassemblera les termes en x dans le l* r membre ; dans le cas contraire , on les , fera passer dans le second. Nous conseillons au lecteur de discuter cette équation. • • ’ i

• ax + b=cx-\- d ; (a — c)x—d—b;x = ,

il verra que cette formule donne la solution de l’équation dans tous les cas qui peuvent se présenter.

4 II retrouvera' tous les 'cas déjà examinés : cas ordinaire , cas sin-

* (*) La définition , n° 5, le principe n° 8 s’appliquent quand on admet les quantités négatives ; rages la démonstration de la noté , page 9.

VU COURS D’ ALGÈBRE

guliers indiqués à propos des résultats (1), (2), (3), pages 85 et 86.

107. Mais l’avantage que nous venons de rappeler est peut- » être le moindre qui résulte de l’emploi des quantités négatives.

Leur utilité se manifeste principalement dans les questions où entrent des grandeurs susceptibles d’étre prises dans deux sens opposés, dans deux acceptions contraires.

Ex. : dans le problème des âges n° 91, le temps qui sépare le moment actuel de celui où l’âge du père csf triple de celui du fils peut être un temps futur ou un temps écoulé ; le nombre d’années cherché augmentera ou diminuera l’âge actuel de chacun de nos individus. Si on se place dans la l rr de ces hypothèses, l’équation du problème est A2 + x— (18 -f- x) 3; dans la seconde, * l’équation est â2 — x =(18 — a:) 3; laquelle de ces 2 équations est la bonne? Si la 1" résolue ne donne pas de résultat satisfaisant, faudra-t-il recommencer le calcul en prenant la seconde équation? Ainsi que nous l'avons montré, l’embarras cesse quand on admet les quantités négatives; la résolution de la 1" équation ayant conduit à x ^ — 6 , nous avons pu conclure que x = 6 vérifie la 2" équalior , et que par suite le rapport en question des 2 âges existait il y a 6 ans (V. le n° 92, 2‘ cas, et le n° 96),

1015. L’emploi des quantités négatives permet de renfermer dans une même équation, et par suite dans une même formule , plusieurs cas d’une même question générale, qui ne diffèrent entre eux que par les sens opposés dans lesquels peuvent être prises certaines grandeurs de même espèce.

Pour en donner un exemple, traitons le problème des âges d’une manière générale. < »

Problème. I.'âge d'un père est a, celui du fils est b; à quelle époque l’âge du père est-il à l’âge du fils dans le rapport de n ôl.

Cette époque peut être postérieute ou antérieure à l’époque actuelle ; supposons-la postérieure , et soit x le nombre des années après lesquelles l’âge du père sera égal à n fois celui du fils. On aura l’équation

a-l-a:=(6-t-x) i n = 6x«-f- nx, , d’où a — nb = nx — x=(n — l)x,

a — nb

puis enfin x= w ■ (1).

usage et interprétation des quantités négatives. ' 95

Moyeunant l’admission des quantités négatives, cette formule résout la question proposée dans tous les cas qui peuvent se présenter. En traitant un seul cas on a obtenu la solution de tous les autres. v ,

En effet, observons d’abord que n étant nécessairement plus 1 grand que 1 , ou n — 1 positif, il suffit de considérer ces 3 cas : a — n.b\ a<in.b. Dans le 1" cas, x est positif; on a choisi la bonne hypothèse ; après le nombre d’années indiqué par la valeur (1) de x, l'âge du père sera égal à n fois l’âge du fils.

Dans le 2" cas a = nb ; x — 0 ; en effet , l’âge du père est actuellement égal à n fois l'âge du fils.

Dans le 3 e casx est négatif ; mais en raisonnant comme au n° 92 ,

2 e cas, on conclut que la valeur absolue de a;.

nb — a n — 1 J

satisfai-

sant à l’équation a — x = (b — x)n, l’époque cherchée est antérieure au moment actuel dont elle est séparée par un nombre d’années égal à cette valeur absolue de x :

Ex. : a =42; 6 = 18; «—3; x — =? — — = — 6.

109. Voici encore un autre exemple dans lequel les grandeurs sont susceptibles d’être prises dans deux sens opposés.

Problème. Deux convois parlent à la même heure , l’un de Paris, l’autre d’ Etampes , se dirigeant dans le même sens sur le chemin de fer de Paris à Tours, Angers , Nantes; de Paris à Étampes, il y a 56 kilomètres; d' Étampes à Tours, il y en a 59,- la vitesse du 1 er convoi est de 58 kilomètres à l’heure, celle du second de 42 kilomètres; on demande à quelle distunce de Tours tes deux . convois se rencontreront ?

La rencontre aura-t-elle lieu en’ deçà ou au delà de Tours ; telle est la première question que l’on se fait. Pour mettre le problème en équation, il faut préciser; prenons au hasard, et supposons' que la rencontre ait lieu à l'endroit II situé en deçà de Tours. Soit TR=æ; on aPR = 115 — x ; ER = 59 — x. Le premier convoi

COURS D’ALGfcBRE.

parcourant 58 kilomètres par heure , Ira de Paris au lieu R dans

1 15 m oc

un nombre d'heures égal à - — — — ; le second fera le chemin ER

dans le temps — -- — . Les aeux convois, partis de Paris au même

instant, arrivent en même temps au point R; nous avons donc l’équation

d’où

115 x42 — WLx -

Puis, en transposant, 58x — 42t = 3422 — 4830 , d’où enfin 16.z =

— 1408, puis x = — = — 88,' •

Si, remplaçant x par — 88 dans l’équation (1), on applique la

réglé de soustraction, on obtient l égalité 1 — = ! qui,

tout calcul effectué, se trouve être une identité. La valeur abso-

115 1 oc 59 [- je •*

lue, 88, de x vérifie donc l’équation — - - --- = — — — - qui se dé- '

duit de l’équation (1) en changeant x en

■x. Cette équation est justement celle qu’on obtient, en suppo-

sant que la rencontre ait lieu au delà de Tours, et non en deçà. On peut donc conclure que la rencontre des deux convois aura lieu à 82 kilomètres au delà de Tours. La valeur négative est venue rectifier la fausse supposition que nous avons faite d’abord.

Interprétation des solutions négatives. Dans chacun des problèmes que nous avons traités , nous avons interprété les solutions négatives des équations que nous avons eues à résoudre.

Eu effet, interpréter une solution négative consiste à examiner le parti le plus utile que l’on peu( tirer de ce résultat singulier. Pour cela, on examine dans quel sens il faut entendre le problème proposé pour que la valeur absolue trouvée pour l’inconnue en donne la solution, ou bien, quelles modifications , les plus simples possibles, il convient de faire à certaines conditions du problème pour que la valeur absolue susdite donne la solution du

problème modifié; or c’est ce que nous avons fait (V.' les n u ' 94, 95, 96). '

Ces modifications consistent ordinairement à changer le sens ou l’acception que Ton a donnée à certaines grandeurs susceptibles d’être prises dans, deux sens opposés. Nous en avons donné des exemples. . ' ’ * '

Ce que nous avons fait pour interpréter les solutions négatives se résume dans la règle suivante. ' .

. Règle. Pour, interpréter la-valeur négative trouvée pour une in- . connue x dans la résolution d'un problème , on change x en — x ' dam l'équation que l’on vient de résoudre ; on efi'ectuc sur la quantité négative — x les opérations indiquées (n“ 99). Cela fait , on examine si la grandeur inconnue ne. pouvait pus, suivant l’énoncé même du problème , être prise dans deux sens opposés probables, dont l’un correspondant à l’équation' résolue , l’autre à l’équation modifiée -, dans ce cas,' la. solution négative ne fait que rectifier une fausse supposition; le problème proposé est possible; là valeur absolue de x exprime la grandeur cherchée prisé dans le sens qui ■ correspond à l’équation modifiée par le changement de x en — x.

Mais si la grandeur inconnue n’est pas susceptible d’être prise dam deux sens opposés , ott si les conditions de la question inter-

• disent de la. prendre dans l’ acception qui correspondrait à l’équation modifiée , la solution négative apprend que le problème tel qu’il est proposé est. impossible. La valeur absolue de l’inconnue répond à un autre problème dont l'énoncé s’obtient en faisant dans celui du problème proposé des modifications correspondantes à celles qu'a subies l’équation primitive par le changement de x en — x.

Four le moment, nous ne donnerons pas de nouvelles applications

• de cette règle ; .celles qui précèdent nous paraissent suffisantes.

Lntrodxiclion des quantités négatives dans les données mêmes ‘ des problèmes.

HO. Il est souvent avantageux d’introduire des quantités négatives dans les données mêmes d’un .problème, quand ces données sont des grandeurs susceptibles d être prises, dans des" sens opposés. On y est tout naturellement conduit en traitant les questions qui précèdent et autres du m me genre.

98 COURS d’algèbre..

Réprenons encore le problème des âges. Suivant que le temps, qui sépare le moment actuel de l’époque où les âges du père et du lils sont dans un rapport donné n , est un temps futur, ou un. temps passé , l’équation du problème est

ou ’ • • a — x = n{b — x). •

Le nombre d’années cherché , qui dans la première est représenté par + æ, dans la seconde est représenté par le terme négatif — x. Cela.ne tient nullement à ce que ce nombre d’années est inconnu ; chacune des équations précédentes représente unè relation nécessaire entre les grandeurs, considérées , lés 2 âges a, b , le rapport à, et le nombre d’années x , tout â fait indépendante <ie celte circonstance que l’une de ces grandeurs serait plutôt in-' ”, connue que l’une des autres. Pour s’en convaincre , il SHflit de. • mettre en équation lès 2 problèmes suivants : ' * 1 •

1° Un pire a 42 ans, : suti fil » en a 18 : quel sera dans 6 ans le rapport des 2 âges : soit y ce rapport. .

L’équation du problème est • • • - ■ . • * .

2° Un père a 42 ans , son fils a 18 ans : queiétail, il y a 6 dns,

le rapport des 2 âges ?

L’équation de ce problème est •

. Ainsi qu’on lè voit, tandis que le temps futur amène dans l’équation le terme + 6 , le temps passé y amène le temps négatif *

Si nous reprenons de même le problème des convois du .chemin de fer de Paris à Nantes , nous voyons que , si on suppose le point de rencontre situé au delà de Tours , l’équation du problème est

tandis que si l’on suppose que cette rencontre ait lieu en deçà de • Tours, l'équation est ,

Digitizecj by GüOgle

USAGE, ET INTERPRÉTATION DES QUANTITÉS NÉGATIVES. 99 115 — .x 59 — x

♦ • ' La distance de Tours au point de rencontre donne lieu au

terme positif, x, ou au terme qégatif,— x, suivant qd’elle se cdmpte dans la direction de Tours à Nantes ou dans celle de Tours à Paris.

Cela ne fient nullement à ce que cette distance est l’inconnue du* problème ; les mêmes considérations que tout à l’heure s’appliquent ici. Proposons-nous ces 2 problèmes :

• . La vitesse du 1 er convoi étant de 58 kilomètres d l’heure, quelle doit être la vitesse du second pour que la rencontre des deux convois ait lieu à 88 kilomètres au delà de Tours ?

Si t;' désigne la vitesse cherchée , l équation du problème est !

2° La Vitesse du 1" convoi est de 58 kilomètres à l’heure ; quelle doit être la vitesse du second pour que la rencontre ait lieu à 88 kilomètres en deçà de Tours? Dans ce cas, l’équation est ,

La distance ayant changé de sens, le terme qui lui correspond ' change de signe : au lieu de + 88 , c’est — 88.

Un particulier avait 15 fr., il a gagné 10 fn ; combien a-t-il maintenant ? Soit x son avoir : >

Un paUiculier avait 15 fr., il a perdu 10 fr. ; comHien a-t-il maintenait t ? 1 .

Un particulier qui avait 15 fr. en a maintenant 25.; combien

a-t-il

gagne

COURS d’algèbre.

Un particulier qui avait 15 fr. n’eu a plus maintenant que 5 ; 'combien a-t-il perdu ? *

Le terme qui correspond à l’argent gagné est positif, a' te • signe '+ ; le terme quj correspond à l’argent perdu est un nombre précédé du signe — . •

» 111. On pourrait multiplier les exemples de ce genre; Ils conduisent naturellement à représenter dans Le calcul . par des nombres précédés du signe + , certaines grandeurs données , par ex. : un temps futur, une distance comptée à partir d’un point fixe dans . un sens déterminé , un gain ou un avoir, etc,.., tandis qu’on représente par des nombres précédés du signe — , par des quantités négatives , les grandeurs données de même espèce prises dans un sens opposé , un temps passe, une distance comptée à partir du même point fixe que ci-dessus , mais dans le sens contrairè , une perte ou une dette , etc. . • . * • •. •

112 . En -côn venant . àpribri, d’agir ainsi , on donne aux équations et aux formules une extension beaucoup plus grande;* on comprend dans une même équation ou dans une même formule uiw plus grand nombre de cas particuliers. . • . .

Par exemple , si dans le problème des âges, t désigne le temps passé Ou futur, donné ou inconnu , il suffira d’une seule égalité

pour exprimer la relation qui existe entre ce temps , les 2 âges a et b , et le rapport n. Cette équation servira à résoudre toutes les questions qup l’dn pourra proposer sur ces quatre grandeurs. Ex. :

■ a — 42 , 6 = 18; quel sera dans 6 ans le rapport des âges?

d’où