COURS d’algèbre

croissantes de l’inconnue, ,r. de l’équation correspond une solution du problème proposé , il existe aussi une solution toute spéciale correspondant au cas où la valeur de x vient à dépasser toute .

limite; alors si on trouve x = —, on adopte cette solution.

Ex : Le problème a pour objet de trouver la distance qui sépare un point donné d'une droite du point où cette ligne est rencontrée par une- autre droite satisfaisant à des conditions données. Dans

ce cas , si on trouve — , dire que le point de rencontre est situé

à une distance infinie du point donné , revient h dire que ce point de rencontre n’existe pas , autrement dit que les droites en question sont parallèles. Ce qui est une solution toute spéciale du problème proposé. (V. par ex. en géométrie , ce problème : mener une tangente commune à deux circonférences données.)

De même si le problème a ppur objet de déterminér la tangente trigonométrique d’un angle cherché’. Quand on trouve .

on en conclut que la tangente trigonométrique dépassant toute grandeur assignable, l’angle cherché est un angle droit (*).

i2t. Cas d’indétermination. Considérons maintenant le second ' cas singulier qui peut se présenter dans la résolution de l’équation du l* r degré à une inconnue S.x = B. • • ;

A.=0, B— 0; la formule donne x= -. ' ...

Si on remonte à l’équation proposée elle-même, on trouve

‘ ‘ Oxi-O,' ' . . ’

, Tout nombre mis à la place de x vérifie cette équation. On dit

(*) La longueur de la tangente trigonométrique de l’arc qui mesure l’angle, cherché n’est autre chose que' la distance qui sépare l’origine commune des arcs et des .tangentes du point de rencontre de la tangente à l’origjnê et de la

sécante de l'arc. Dans le ças' de‘x=~, la sécante devenant parallèle à la tangente, est perpendiculaire au rayon de l’origine, et va. passer à l’extrémité du t" quadrant ; l’arc est de 90°, ■ l’angle est droit. Ce problème ne diffère donc pas au fond du précédent.’

•' • ! DISCUSSION des' ÉQUATIONS/ CAS DETERMINATION.. ' 109.

alors, eu général , que la valeur de x est indéterminée ;ton dit de l’équation elle-même qu’elle est indéterminée. .

Quand à chaque solution de l’équation, dans'ce cas, correspctod une solution d’un problème proposé , on dit alors què le • problème admet une infinité de solutions, qu’il est indéterminé (V. le problème discuté n° 126) (*).

• 122. Nous avons dit, en générai ; car il />eut arriver que Fin-

détermination manifestée par le symbole g ne soit qu’apparente..

Considérons en effet l’expression,

- — — — — , hui se réduit à -

quartd on y fait a = 2. On peut observer que le numérateur et le

dénominateur ont le facteur commun a —r 2 : ‘

C’est ce facteur commun a — 2 qui amène le résultat g. dans le cas

de a = 2. Si nous supprimons ce facteur, l’expression proposée /sé réduit à *• . • .

laquelle, ‘pour a = 2, a la valeur numérique -. Je dis que - est

lp vraie et unique . valeur de l'expression projloséé eUe-même . quand a = 2. En effet, d’après l’égalité

quand a tend vers la valeur 2,.leS nombres variables réprésentés

{*) Si dans le problème de la apte précédente, a — O, c’est-à-dire,. si les deux qpobiles partent du même point , A par exemple., et si en même temps

t — t: 1 , on trouve x =i? , le problème, çst indéterminé; en effet, les deux, mobiles partant du même point, avee là mcpie vitesse, ne se, quitteront pas; à chaque point de la route il 'seront ensemble; chaque point de la route esl nn point de rencontre. La distance AK a telle longueur que l’on veut.'

COURS d’algèIre.

par les deux expressions 4 — , — r 1 — sont conslam-

inent égaux. Qiland deux grandeurs variables sont ainsi constamment égales, leurs limites sont égales. Mais quand a = 2, r l’<*x-

pression — t- atteint la limite donc à la limite, pour a = 2, a -}-2 ^ < U

; — * — est aussi égal à -. • ,

Le même raisonnement peut être fait chaque fois que les^deux

termes de la formule qui donné jj opt un facteur commun qui de-

vient ainsi égal à 0. De là cette conclusion :

‘ Si, pour une certaine hypothèse , upie fractiôn algébrique ie réduit à -, on ne devra d'abord rien conclure de ce résultat; mais

il faudra examiner avec soin si ses deux termes n’ont pas un facteur commun qui s'évanouit par suite de l’hypothèse dont il s’agit (*). Si on découvre un pareil facteur, il faut le supprimer, et faire ’ ensïiile dans l’expression simplifiée l'hypothèse qui avait

donné ^ ; on aura ainsi la vraie valeur de l’expression proposée.

Si un pareil facteur n’existe pas , il faudra remonter à l’équation

. dont l’inconnue est exprimée par cette fraction , y faire les hypo-

0 . • * thèses. qui ont amené -, et résoudre ensuite celte nouvelle équation.

Si cette équation se réduit à une identité , ex. .-3x -j- 2 = 3x + 2 , elle est réellement indéterminée - 7 elle est satisfaite par une infinité

de valeurs de x; c’est alors que - est un véritable symbole d'indé- • . O • I

termlnation (**). . •

(*) L’hypothèse a ^2 annulant les deux termes de l’expression

un en conclut que, la division de chacun' des polynômes 2o* + 2a— ^10, et o* — 4 par a — 2 donnerait le reste 0; ces 2 polynômes sont divisibles par a — 2, admettent a — 2 comme facteur (Y. n° ,4J y. Si l'hypothèse a = ‘2b + c annulait les 2 termes d’une expression fractionnaire , cela annoncerait la présence du facteur commun a *- 26 — e. ’ •

(”) Par ex., le* termes de l’expression - — — n’ayant aucun facteur corrt-