Cas à' impossibilité. A de zéro

La' formule donne alors x — .

Si on remonte à l’équation proposée, on trouve qu’elle se présente alorç sous; cette forme 0 x x=m; elle n’admet aucune solution ; elle est impossible, absurde. En effet , quelque nombre que l’on mette à l£ place de a;, on aura toujours 0 x ,r=0 , et jamais 0 X x ç= m.

x — — indique donc que léquation proposée est Impossible.

Mais il n’en est pas toujours de même du problème en vue duquel on a résolu l’équation; il peut arriver que. a; se présentant

sous cette forme —, le problème admette une solution.

Pour voir comment cela peut arriver, examinons comment on peut, dans les applications, être amené à celte valeur singulière.

Considérons l ; ex pression — et supposons que m reste constant,

tandis que A prend des valeurs successivement décroissantes; 0,1 ;

. , par ex. , ~ prend alors des valeurs suc-

'cours d’algèbre.

cessivement croissantes m : —

m; — = 10 B xm, etc. On peut choisir A suffisamment petit

pour que. la valeur.de — dépasse un nombre donné quelconque .

si grand qu'il soit. Veut-on ,* par ex. , avoir — > H , il suffira de

satisfaire à cette inégalité — > fl ou m "> Fl x A , ou enfin à

celle-ci , A < — ; ce qui est toujours possible , puisque m et H • ' • • sont des nombres donnés et que A décroît au-dessous de toute

limite (*).

Pour exprimer que ^ peut devenir plus grand que tout nombre A- ...

assignable quand A devient plus petit que lotit nombre dpnné, itude de dir

l’infini (**).

on a l’habitude de dire que pour A = 0 , — devient — =

lisez

. Cela posé, si la question proposée a pour objet de déterminer

{*) Il n’est pas nécessaire de supposer m fixe comme’nous l’avons fait pour plus de commodité'; tout ce que nous avons dit est virai quand même il arrive que ni varie avec A , pourvu, que A arrivant à zéro, m n’y arrive pas' en même temps'. Si m’est variable , 11 y a parmi les valeursde m une valeur minimum m’.

On peut remplacer notre valeur fixe de tout à l’heure par m’; on verra -- ten-

liant vers — , croître au delà de toute limite; il en est de même ù fortiori des

valeurs.de ^ 7 , par lesquelles on remplacera celles de ^ poup avoir la suite

vraie, puisque chaque valenr de ^ est .au moins égale à la correspondante

de —, pour une même valeur de A. •* ’ • ’

(**) Pour dire eu abrégé qu’un nombre variable peut, en diminuant, devenir moindre que tout nombre donné ,“ on dit qu’il tend vers 0. Pour dire qu’un nombre variable peut devenir plus grand que tout nombre donné ', où (fit qu’il tend vers l’infini. • ■*. .. . ..

DISCUSSION DES ÊQUAT. ET DES PROBE. CAS D’iMPOSSIBlllTÊ. 107

une grandeur telle que le nombre qui l’exprime vérifie l’équation proposée , par cela môme qu'il n’existe pas de nombre satisfaisant à l’équation , il n’existe pas de grandeur satisfaisant au problème.

Le problème est 'impossible comme l’équation.

Ex. : Il s’agit de trouver la distance qui sépare un point donné de la' ligne parcourue par deux mobiles du point où ceux-ci se »

rencontrent. Si on trouve x = *— , les deux mobiles ne se ren-

contrent pas (V. page 120) (*). .

Mais il peut arriver que si on fait varier les données d’un problème, en même temps qu’à chacune des valeurs successivement

(') Deux mobiles partis en même temps des points A et B , qui, sont distants de a mètres , parcourent la droite AB d’un mouvement uniforme dans le sens ABX. Leurs vitessçs respectives sont v mètres et 1 / mètres par minute. Trouver la distance du point A à leur point de rencontre?

Soit R, le point de rencontre présume des 2 mobiles, et soit posé AK = * ; comme AB = a , RR==® — a. Les" 2 mobiles partis au mêçne instant l’un do A , l’autre de B arrivent ensemble au point R ; les distance» AR == x et BR= * — a sont donc parcourues par les deux mobiles dans le même temps, d’un mouvement pniforme ; cet;C étant, ces distances sont dans le même rapport que les vitesses t> ef e' des ’î iBobilps; d’où l’équation • '• '

d’où xd =xi — av; puis avzsxv—v’x = (v' — ;

d’où enfin x=-^~. . • • { 1)

' v — tf ,

Tant que « n’est pas égal à d. la valeur de x est ce qu’on appelle finie ; c’est un certain nombre qui détermine le point de rencontre des 2 mobiles. U est facile de voir que si v—rf diminue progressivement, devenant par ex.; 0”, I; 0“, 01 , 0“, 001, ete., le point de rencontre s'éloigne de plus en plus; car AK devient de plus en plus grand , et peut dépasser une grandeur quelconque , si v — est

suffisamment petit. Quand "r == r’, x se présente sous la forme -• il n’y a plus

de rencontre. C’est ce que l’on voit-bien à priori ; les 2 mobiles ont dans ce cas des vitesses égales ; l’un d’eux , celui qui part de A , se trouvant en arrière de l’autre de la distance a , se maintiendra constamment à cette distance , sans rien- gagner sur le second. t .

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