DE LA RÉSOLUTION DES PROBLÈMES EN GÉNÉRAL
123. ttn. problème .a été mis en équation i nous savons résoudre • l’équation ou les équations posées; cela fait, comment le résultat
du calcul iqdique-t-il la réponse à faire au problème? , •
. En général , quand l'équation pu le syslème’des équations d’un problème admet une solution , le problème en admet une qui est indiquée par les noinbresirpuvés ; la réponse au problème se voit facilement. (V. les problèmes résoms jusqu’ici.)
Mais jl n’-en ; est pas toujours ainsi. %
Ayqnt bien, mis un problème en équalibn, on a tpouvé une so.lution de 1 équation ou dés équations posées malgré cela , il peut • arriver que 1^ problème n’admette pas de solution. „ " • ‘
En géné'qaL', si toutes, les conditions nécessaires que doivent remplir les inconnues d’un problème sont exprimées dans J' équation ou ' les équations' établies , S une solution des‘ équations Correspond une’ solution du problème , qu’on aperçoit sans la moindre peine. .
124. Mais il y a telles conditions qu’il n’est pas possible d’ex- ,
primer dans les équations , et qui sont parfâitément.distinctes des .conditions exprimées. ’ ‘
. ' En voici plusieurs exemples! y
• Chaque lettre que nous écrivons dans uné équation est suscep- • tible de désigner un nombre quelconque entier, fractionnaire , incommensurable , positif ou négatif. Pans un but d’utilité générale, nous avons écarté des conventions ou règles de l’algèbre . ... ... — — - — : — !- . >
mnn , et devenant - ■pour a=0, i = u' , on remonte à l’équation du problème,
— - et on y fait ces hypothèses -, el.ie se réduit à,- = ï identité. Aussi
Téfluationel par suite la solution du problème sont-'elles réellement indéterminées dans cette hypothèse., • * . * .*• . • i
lia
COt'RS d’algèbré.
toute restriction qui ferai : représenter à une lettre un nombre de l’une de ces espèces, plutôt que d'une autre. Dès lors nous nous . sommes interdit d’exprimer dans une équation qu’une lettre re r présente un jioinbre entier et non pas uni nombre fractionnaire .• un nombre commensmrable et non pas un nombre incommeniu- ’ rable , un nombre positif et non pas un nombre négatif ; nous n’avons aucun moyen général de faire de pareilles distinctions. ' Si donc urib des conditions d’un problème est, par exemple, que l’inconnue doit être, un nombre entier, on ne' pourra pas , comme nous venons de le dire, exprimer cette condition dans 1 équation ou les équations du problème. Or une fois les équations posées, . J’époncé 11 ’existe plus, pour ainsi dire, pour le calculateur ; le résultat auquel il arrjve satisfait à toutes les conditions axprimées dans les équations; l’algèbre ne s’embarrasse pas des autres. Ouand , par exemple , dans notre hypothèse , l’équation ,. étant du premier degré à une seule inconnue, n’admet qu’une solution , si cette solution est un nombre entier, tant mieux; le nombre. gui satisfait aux conditions nécessaires, exprimées (aux conditions ex-
■ plicites) , satisfait à la" condition nécessaire non exprimée (condition-implicite de.l’énôncé); en même temps qu’ilrésout Céqualiob, - 11 donne une solution du problème.
Mais si la solution unique de l'équation est un nombre fraction-
• maire., on -en conclut que.le seul nombre qui satisfait aux conditions nécessaires exprimées , ne satisfaisant pas à une condition nécessaire, non exprimée dans l’équation , il n’y a pas dé solution du problème, quoiqu’il y en ait une de iéqqation ; le problème est impossible.
Ce que nous venons de dire pour le cas où l'inconnue du problême ne peut être qu’un nombre entier, est vrai pour tous les * cas -où l’énoncé comprend une ou plusieurs des conditions particulières indiquées- ci-dessus, bu toute autre condition non susceptible d’être exprimée, comme restrictive de la généralité des conventions fondamentales de l’algèbre. Nous citerons comme exemple celui ou l’inconnue est l’un des chiffres d’un nombre écrit dans le système décimal ; si on trouve pour solution de l’équa-
• lion un nombre fractiofcoairé ou un nombre plus grand que 9^ ou
une quantité négative, le problème proposé n’en ‘est pas moins impossible. . *
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