DISCUSSION DES PROMIMES DU 1“ DEGRÉ

125. En résumé , toutes tes fois que les équations du problème admettent une solution , on est à même de vérifier si les nombres trouvés remplissent , ou non, toutes les conditions du problème, celles qui sont énoncées dans les équations, et les autres, s’il y en a; cette vérification , il faut la faire. Dans le premier cas, ils fournissent une solution du problème ; dans le cas contraire , le problème n’a pas de solution.

Voilà le précepte qu’il faut observer avant tout.

Nous venons de voir que l’équation ou les équations d’un problème peuvent avoir une solution sans que le problème soit possible.

En revanche, il peut arriver que l’équation ou les équations d’un problème n’admettent aucune solution, et que cependant le problème ait une solution , la question posée une réponse , qui se conclut de ce qui s’est passé dans le calcul V. le n° 120.

Nous constaterons ce fait dans l’examen plus détaillé, plus précis que nous allons faire des différents cas qui peuvent se présenter dans la résolution des problèmes.

La discussion du problème suivant est prise en général pour modèle de discussion des problèmes du premier degré à une inconnue.

126. Problème. Deux convois sont en marche depuis un temps indéfini , sur un chemin de fer X'ABX .

qu’ils parcourent tous deux dans le mime sens X'ABX. Le premier, qui fait v kilom. à l’heure, passe au point connu A , h heures avant que le second, qui fait v' kilom à l’heure, ne passe en B ; on connaît la distance AB = d lieues; on demande de trouver sur la ligne X'ABX le point de rencontre de ces deux convois.

Soit R le point de rencontre cherché.

Si on connaissait la position de ce point R relativement à l’un des points connus A et B , par rapport au point B , par exemple , on trouverait immédiatement ce point R. Prenons donc pour inconnue la distance BR . et posons BR = x; alors AR — d-4-x. Le premier convoi passe en A , h heures avant que le second ne

cours d’algèbre.

passe en B ; durant ces h heures , le premier convoi fait h fois v kilom. , vh kilom. , au delà du point A ; si donc nous prenons AC = vh , nous pourrons dire que le premier convoi passe en Ç, à l’instant où le deuxième passe en B. Outre cela , les deux convois se trouvent ensemble au point R ; ils mettent donc le môme temps pour aller, le premier de C en R , le deuxième de B en R. Les distances CR, BR, étant parcourues dans le même temps , d’un mouvement uniforme, sont entre elles comme les vitesses des deux convois (*).

CR:BR = »:»'; BR = x , CR = AR — AC = d-far — vh. Notre l re égalité peut donc s’écrire ainsi :

d-\-x — vh:x = v:v'. (1)

On déduit de là :

{d-\-x — vh)v' — tx, ou v'd -f- v'x — vv'h = vx ; (2)

puis

d’où enfin ,

v'd — vv'h — (v — v')x;

v'(d — vh) »— »'