b 4- e 4 -... étant la racine ordonnée
On voit de suite que A =a a ; par suite a = 1/A: De là cette règle : on trouve le premier terme de la racine cherchée en extrayant la racine carrée du premier terme du polynôme donné, ce que l’on sait faire. Ayant trouvé le premier
terme a , on peut ôter de P le carré a a = A; on a pour reste B-f-C 4- D... En examinant la composition de ce reste par rapport à la racine a + b+c 4-... on arrive facilement à la règle générale qui sert à trouver le second terme; mais comme la même règle sert à trouver chacun des termes suivants aussi bien que le second , nous allons la démontrer en général.
Supposons qu’on ait trouvé un certain nombre de termes de la racine, 3, par exemple , a 4- b 4 - c , et qu’il en reste encore à trouver o' 4 - b’4- c' 4 ... x soit posé a 4 b 4 - c= M, et a’-j- b' 4 - c'... — M ; la racine complète de P est M 4 - M' ; nous avons P= (M 4- M')*= M* + 2MM'4- M' 2 . Nous sommes à même de connaître P — M* en retranchant de P le carré de l’ensemble des termes déjà trouvés à la racine; or ce reste P— M 1 = 2 M X M'4 M'*= ( 2 M 4 M') M'.
P — M», polynôme connu , est donc le produit réduit à sa plus simple expression de la multiplication ci-dessous indiquée :
Le premier terme de ce produit identiquement égal à 1* — M 1 , est, après réduction des termes semblables comme avant, égal à 2a X o'. Le premier terme de P— M 1 étant égal à 2aX<»'> on obtiendra le premier, a ' , des termes encore incon-
COURS d’algèbre.
ikk
nus de la racine en divisant ce premier terme de P— M* par le double du premier terme de la racine (*). Revenons à notre second terme qu’il faut trouver; ici il = o et P— M* est justement P — a* ou P— A = B + C + D... ; on a ici
jg
B = 2ab, par suite b =— . On trouve donc le deuxième terme de la racine en
divisant le deuxième terme du polynôme par le premier terme de la racine. 6 étant connu, on doit retrancher de P le carré de o+6=a , +2ab+fi î ; ici, M=a + b, comme on a déjà ôté a*, il ne reste plus qu’à retrancher 2ab + b 5 = (2a+b)b. Alors I‘ — M*=P— (a+b) 3 . Le premier terme du reste égale 2ac; on divisera donc le premier terme de ce second reste par 2a, ce qui donnera c. Il faut ensuite avoir P — (a + b-t- c) J =P — (a+b)> — 2(a + b)c — c*. Du deuxième reste précédent, il suffit d’ôter (2a + 2b)c + c'—(2a + 2b -f c)c; on divise ensuite le premier terme du reste par 2a, et ainsi de suite. La règle est facile à formuler.
RfcuLE. Pour extraire la racine carrée d’un polynôme entier, on l’ordonne par rapport à une lettre ; puis on extrait la racine carrée du premier terme ; le résultat est le premier terme de la racine cherchée ; on l'écrit à la place marquée. On barre le premier terme du polynôme donné, et on divise le premier terme restant par le double de celui que l’on vient d’écrire à la racine ; le quotient sera le deuxième terme de la racine cherchée ; on l’écrira à la suite du premier. Vu premier reste on retranche le double produit du premier terme de la racine par le second plus le carré du second. On divise ensuite le premier terme du deuxième reste ainsi obtenu par le double du premier terme de la racine; le quotient qui est le troisième terme de la racine cherchée s’écrit à la suite des deux autres termes; du deuxième reste on retranche les doubles produits des deux premiers termes de la racine par le troisième, plus le carré de ce troisième. Puis on divise le premier terme du nouveau reste par le double du premier terme de la racine; ce qui donne le quatrième terme de cette racine; ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on ait O pour reste, ou qu'on arrive à un reste dont le premier terme ne soit plus divisible par le double du premier terme de la racine, auquel cas on prononce que le polynôme n'est pas le carré d’une quantité entière.
Application. Nous allons vérifier l’opération que nous avons faite n” 153, en extrayant la racine carrée du résultat.
SaW-3a 3 b'c' - laWc+Uab*
10a‘6 s c 3 -3a 3 b»c s lOa^cMia^c 1 - 7a*b 3 t:
1 0a l ‘b 6 c 3 -üa 3 6 !, c , -l 4a î t) , c4-2ab’
H On voit facilement la règle générale annoncée ; elle est d’ailleurs indiquée plus haut.
RACINE CARRÉE D’üfi POLVNOMB. lf|5
*» Le premier terme de la racine obtenu , on a simplement barré son carré , le premier terme du polynôme donné; ce qui a donné le premier reste.
Au-dessous du premier terme de la racine on a écrit le double; ce double ayant servi de diviseur pour obtenir le deuxième terme , nous avons écrit à sa suite ce deuxième terme trouvé, et nous avons multiplié la somme résultante par ce deuxième terme pour retrancher le produit du premier reste j (2a + b) Xb- 2a& + !>*.
Puis nous avons écrit snr une troisième ligne, sous la racine, le double de Sa^c*. Ce double, 10a l b 5 c 3 , ayant encore servi de diviseur pour trouver ie troisième terme de la racine , nous l’avons fait suivre du double du deuxième terme de la racine et du troisième terme , pour multiplier la somme écrite par le troisième terme ; ce qui a donné le produit à retrancher du deuxième reste ; le produit (2a-t-2b + e)Xe de l’explication générale; on voit la suite.
Nous avons supposé que le polynôme donné ne renfermait qu’une lettre. Dans le cas contraire , s’il ne contient pas plusieurs termes dans lesquels la lettre ordonnatrice a le même exposant, on peut faire le même raisonnement et appliquer la même règle ; c'est évident S’il y a dans le polynôme plusieurs termes renfermant la même puissance de la lettre ordonnatrice , on groupe ces termes comme il a été fait dans le même cas pour la multiplication et la division; alors le polynôme étant de la forme Mr*+Ni 3 +Pj; 4 : ...., on appliquera règle précédente. * \
Remarques diverses. Quand la règle conduit au reste zéro, le polynôme donne est exactement égal au carré de la racine écrite; on a extrait la racine exactement.
Si le polynôme donné est le carré d'un polynôme entier et rationnel , la règle donne successivement tous les termes de ce polynôme, et conduit au reste zéro; car elle conduit à retrancher successivement du polynôme donné toutes les parties qui le composent.
Lors donc que la règle ne pourra pas s’appliquer jusqu’à donner le reste zéro, si elle conduit à écrire des termes irrationnels ou fractionnaires à la racine , on peut dire que le polynôme donné n’est pas le carré d’un polynôme entier cl rationnel.
Ln conséquence , on peut dire qu’un polynôme entier n’a pas pour racine un polynôme entier et rationnel :
1° Quand son premier ou son dernier terme n’est pas un carré parfait;
2° Quand le premier terme d’un reste quelconque n'est pas divisible par le double du premier terme de la racine ;
3» Enfin quand on est conduit à mettre à la racine un terme contenant la lettre ordonnatrice avec un exposant plus faible que la moitié du plus faible exposant de cette lettre dans le polynôme donné, ou arec un exposant plus fort que la moitié du plus fort exposant du polynôme donné.
Pour justifier la proposition 3°, nous dirons que si la racine est entière et rationnelle, le dernier terme du polynôme donné étant le carré du dernier terme de sa racine, l’exposant de la lettre ordonnatrice dans le dernier terme du polynôme donné, c’est-à-dire , le plus faible exposant de cette lettre dans ce polynôme, doit être le double de son plus faible exposant dans la racine, pas plus. Même observation pour le plus fort exposant de cette lettre.
COURS d’algèbre.
Si nous admettons ici que la racine carrée exacte d’un polynôme entier ne saurait être une expression fractionnaire , nous pourrons ajouter que si on arrive à un reste dont le premier terme n’est pas exactement divisible par le double du premier terme de la racine , on peut affirmer que la racine du polynôme donné ne peut être une quantité rationnelle, autrement dit, que ce polynôme n’est pas un carré parfait.
Problème. Trouver les relations qui doivent exister entre les quantités, a , b, c, pour que le trinôme ax’ + bx + c soit le carré d’un binôme entier et rationnel par rapport à x.
Ces conditions étant supposées remplies , en extrayant la racine carrée de ax 1 + 6* -f c, nous devons trouver le binôme dont il est le carré. Appliquant la
règle générale, nous trouvons * l/ - ’* o pour premier terme de |/ / " eu* + bx '+ c,
et pour second terme , -~ryz. — ~ryz > 068 deux termes composent le binomé ZcV a tVa
cherché , qui est ainsi : x Va +
On doit donc avoir a& -f b® -f- c =
/ x V a j — — — \ = axs + bx + — ; pour que cette égalité ait lieu , il
faut
et il suffit que c = — , ou que l’on ait b’ — 4ac = 0. ta
Si on résout la même question pour le trinôme x* + px + q , on trouve de
même , * et — = - , pour les deux termes du seul binôme , dont x I + px + q 2x 2
f PY P*
puisse être le carré ; on doit avoir a* + px + q = lx + -J =x , + px + ^-:
ce qui exige que q = ~ ■> autrement dit, que — q = 0. Cette condition est nécessaire et suffisante.
154. Une équation d une seule inconnue est du second degré quand ses deux membres, étant entiers, par rapport à l’inconnue , celle-ci y entre à la seconde puissance, sans y entrer à une puissance plus élevée.
Ex. : p t — 3x - == — x — 8.
Toute équation du second degré à une inconnue peut être ra menée à la forme ax 1 -f- bx -f c = 0.
Pour ramener une équation du 2 e degré à cette forme, on chasse les dénominateurs , si l’équation en renferme ; on fait passer tous les termes de l’équation dans le même membre , en écrivant zéro dans le second; on met x ! en facteur commun de tous les termes qui le contiennent , de même pour x , et on groupe tous les termes connus.
Prenons pour exemple l’équation numérique ci-dessus. Nous chassons d’abord les dénominateurs; ce qui donne 42x* — 18x -{- 4 = 9a: — 48 ; puis transposant et réduisant les termes semblables , nous trouvons 42x 5 — 27x 52 = 0.
Quand , après ces opérations préliminaires effectuées , s’il y a lieu, l’équation renferme x % x et un terme tout connu, on dit qu’elle est complète • telle est l’équation 42x* — 27x+ 52=0.
Une équation du second degré qui ne renferme pas ces trois termes est dite incomplète.
Une équation incomplète du second degré peut être ramenée à l’une de ces deux formes :
ax 8 -(- bx — C ; ax* = c.
185. L’équation , ax* -f &x = 0 , peut s’écrire x(ax -|- 6) = 0. Pour que le produit x(ax -)- 6) soit annulé par une valeur de x , il faut et il suffit que cette valeur annule un des facteurs , c’est-àdire, que l’on doit avoir x = 0, ou bien ax b = 0 ; cette dernière égalité est vérifiée par x = — -.
cours d’ai.gèbre.
Les seules solutions de l’équatiou ax i -f- bx ■= 0 sont donc b
Application : 5x* — 3.r = 0.
On écrira x(5a? — 3) = 0 ; d’où : 1° x= 0 ; 2° 5x — 3 = 0 ;
d ou x=
