On peut résoudre directement l’équation ax'+bx+c

On divisera par a ,• ce qui donne x 5 -f- - x + - = 0 , et on raison-

ÉQUATIONS OU SECOND DEGRÉ. lr>9

nera sur cette équation comme nous l’avons fait pour résoudre

x*-\-px-\-q = 0 , sans remplacer - par p, - par q.

On peut encore s’y prendre comme il suit Multiplions de part et d’autre par ha, afin de rendre ax * carré parfait; on trouve :

ha*x* -f- hàbx -f- hac = 0.

ha'x* habx est le commencement du carré d’un binôme ,

dont le 1 er terme est évidemment V' ha*x‘ = 2 ax; pour avoir le 2", supposons un instant que ce binôme soit 2ax + y ; le commencement de (2 ox-j-ÿ)’ est hà‘x'-\-haxq ; nous devons donc avoir

habx

haxy~ habx ; d’où on déduit y = - — — b -, le binôme en ques-

* hax

tion est donc 2ax -)- b.

Or (2ajj-f-6) s = ha'x 1 -f habx -f- b\ Comparant au premier membre de notre équation ha?x 1 -f- habx -f- hac, on voit que si on avait b ’ = hac , ce premier membre serait un carré parfait , et l’équation serait facile à résoudre. Comme ordinairement on n’a pas 6’ = hac , nous ferons passer hac dans le second membre ; ce qui donne

ha\c'-{-hax— — hac.

Complétons maintenant le carré dans le 1" membre , en ajoutant des deux côtés , fe’ ; on a ainsi

ha*x* -f- hax -f- lé — 6* — hac , ou (2 ax-{-b)- = 6’ — hac.

2 ax -j- b est égal à toute quantité qui , élevée au carré , reproduit b - — hac ; il n’y a que deux quantités remplissant cette condition; on les désigne ainsi -j- Vb x — hac, — l /b'—Uac; nous avons

donc 2ax +6= -f Vb' — hac, ou ‘lax + b — — l^b 1 — hac.

De chacune de ces équations du premier degré on déduit ,

b V' b* — hac

b \/ b* — hac

COURS D’ ALGÈBRE

les mêmes que l’on a trouvées autrement.

Quelle que soit la marche suivie pour résoudre une équation du second degré, complète ou incomplète, on trouve qu'elle a deux ra- ■ cines , ni plus, ni moins. , v

Remarque. Quand le coefficient de la première puissance de x est pair, il est bon d’en prendre la moitié ; alors le diviseur 2 de h

— disparait.

Sdzl^ 8* — 2 X 3

Ex. : 3a: 5 — 16a: + 2 = 0; x = ; sous le ra-

dical , on met alors a X c , et non plus ha x c.

169. Discussion. L’équation du second degré ayant la forme ax* -j- bx-\-c = 0, nous pouvons toujours supposer que le coefficient a de x 1 est positif; s’il ne l’était pas , on pourrait , sans altérer l’égalité, le rendre positif, en changeant les signes de tous les termes de l’équation.

Cela posé , on fait à l’inspection seule de la formule les remarques suivantes : •

Si b '- — hac = 0, les racines sont réelles et égales ;

Si 6* — hac > 0, elles sont réelles et inégales, leur différence est

l/b* — hac

Si b* — hac < 0, les racines sont imaginaires.

Si le dernier terme c est un nombre précédé du signe — , — hac est positif; b * — hac> 0.

Quand le dernier terme de l’équation ax s -f- bx + c = 0 est négatif , on peut dire , sans calcul , que les racines sont réelles.

Examen d’un cas particulier remarquable.