Lorsque dans l'équation

ax* + bx + c = 0

on suppose a = 0 , les formules

, — h + 1/6*— 4ac

ïa

— 6 — l/b* — 4ac 2a

prennent la forme x' = - ; *" = — — .

D’un autre côté, l’équation proposée devient b*-f-c = 0,

laquelle admet pour solution unique x= — 7 -. Les formules générales sem-

filent donc en défaut dans ce cas.

Remarquons d’abord que dans les raisonnements que nous avons faits pour trouver les formules, nous avons expressément supposé a différent de 0; si donc les formules étaient ici en défaut , cela ne prouverait rien contre nos raisonnements.

Les valeurs x' et x" satisfaisant à l'équation, quelque petit que soit a, l’une

des racines doit tendre vers la limite — - quand a tend verso. C’est ce qu’on vérifie de la manière, suivante.

Multiplions les deux termes de la valeur de x' par — b — \/ b 1 — 4 ac: le numérateur devient alors égal à la différence de deux carrés

— b — V / b» — 4 ac ( — b + b* — 4ac)( — b — 1/ b* — 4ae)

2a 2a(— b — l/b 1 — 4ac)

b» — (b* — 4 ac) 4 ac 2c

2a ( — b — l/b 1 — 4 ac) 2a( — b — {/b* — tac) — b — [/ b 1 — 4ac

Sous cette forme , on voit que x' tend indéfiniment vers la limite 2c c

— , = — quand a tend vers 0, et arrive à cette valeur limite quand

Quant à x", on peut l’écrire sous cette forme

— b — V b* — 4ac ( — 6 — l /b* — 4ac)( — 6 -f- [/ b* — 4ac)

2a 2a ( — b -f- [/ b 1 — 4ac)

4ac 2c

2a(— 6 + l/b 1 - 4ac) — b + [/ b 1 — 4ac

a diminuant indéfiniment, 1/ b 1 — 4ac se rapproche indélinimentde l/b’ou b,

de manière à en différer aussi peu que l’on veut; — bq-l/b 1 — 4ac diminue donc indéfiniment, se rapprochant de — b + b ou 0; le numérateur 2c ne changeant pas, x" augmente de manière à dépasser toute limite quand a devient

suffisamment petit; pour a=0, x" prend la forme Ces considérations étant

1 ti'2

CUl! BS ü’AI.CtBHE.

exactement les memes que celles que nous avons développées n° 120, à propos des équations et problèmes (lu 1" degré, nous pouvons en tirer les mêmes conclusions relativement à tuut problème qui donnerait lieu à une équation du 2' degré dans laquelle a serait susceptible de prendre des valeurs indéfiniment décroissantes.

Quand on trouve alors a-" = — , bien que la seconde racine manque, le problème peut quelquefois admettre une 2' solution correspondant au cas spécial où la 2" racine croît au delà de toute limite.

Il peut arriver que chacun des coefficients a et b diminuant indéfiniment ù partir d’une certaine valeur, tende vers 0, de manière qu’on arrive à la fois à a=0, b = 0.

Les valeurs de x’ et x" prennent toutes deux la forme ^ , tandis que l’équation proposée se réduit à c — 0, équation impossible et absurde , si cest un nombre donné autre que zéro.

Les formules semblent encore en défaut. Employant exactement le même artifice de calcul que dans le cas précédent, on trouve finalement

— b — [/ b* — 4ac — b + l/b® — tac

Sous cette forme a et b tendant vers 0, on voit que chacune des racines x 1 et x augmente indéfiniment à partir d’une certaine valeur; et pour o— 0, b=0 2c 2c

on ai’^p x " — — (abstraction faite du signe).

Tout ce qui a été dit du symbole ^ relativement aux solutions des problèmes s’applique donc ici.

Propriétés (les racines de l’équation du second degré. Relations entre les coefficients et les racines de l’équation x" -)- px -j- q = 0.

171 . L’équalion du second degré étant ramenée à la forme x^-j-px q = 0 , distinguons les racines par des noms différents x', x ". Écrivons par exemple :

Les avant ainsi séparées, on vérifie facilement les propriétés suivantes :

1° La somme des racines d’une équation il U second degré, ramenée à la forme x J -f- px -{- q = l), est égale à — p , c’est-à-dire , au coefficient t'a la première puissance de x pris en signe contraire.

lin effet, ajoutant les valeurs (1) et (2) de xi et x", nous trou vons , toute réduction faite ,

2° J.e produit des racines d’une équation du second degré, ramenée à la forme x*-j- px -)- q = 0 , est égale à q, c’est-à-dire, à la quantité toute connue de l'équation, telle quelle est dans le premier membre.

En effet, multipliant les valeurs ci-dessus de x' et x", on trouve successivement :

On peut ajouter cette troisième relation :

obtenue par la soustraction des deux formules (I) et (2).

172. La différence des racines de l’équation x'— |— px-j- q = 0 est

égale au double du radical , 2

(') L’égalité action :

q démontre immédiatement cette proposi-

Pour que les deux racines de l’équation x’ + px + q = (i soient égalei et Se

même signe, il faut et il suffit que l’on ail q =0. Alors en effet x'=x".

L’égalité x’+x" — — p démontre aussi cette autre proposition :

Pour que les deux racines de l’équatiOn du second degié t 1 + + * 1 — tV

soient égales et de signes contraires, x' — — x”, il faut et il suffit que p = 0 , c'est-à-dire, que le ternie en x manque; alors, en effet, x' + x"=0, x'=— x”

Wt

COURS D’ALGÈBRE

Si l’équation a la forme, a.r*4-6a;+c = 0, on conçoit que pour

la résoudre on l’ait ramenée à la forme ar4- x 4- - = 0. Cornet a

parant alors à x* + px -f- q = 0 , on conclut alors , x' et x" désignant les racines,

x -\-x = — p — — - ; xx =+ q —

,\ Al - c==2 \

y/ ha} y ha *

\/ h * — Uac a

En général , toutes les fois qu'on aura trouvé quelque propriété des racines de l’équation, x i -j- px -f- q = 0 . on fera .bien de les traduire ainsi pour les appliquer à ax 1 -j- hx-\-c — 0.

l' r Ex. : r ! — 5a: -f- 6 = 0.

2 e Ex. : 3 j s -(- 7a- -j- h — 0.

Écrivez x*-f- \ x -f- ^ = 0 ; d’où x‘ -f x" — — ^ ; xW = - .

Application. Résoudre les deux équations

a- + ax+y:= 0,

/>* — j— bx -f- y — 0.

On remarque que a el b sont les racines de l’équation en z z' + xz + y= 0,

dans laquelle x et y seraient des nombres donnés Mais x est ia somme des racines de cette équation ; donc

y est le produit des mêmes racines ; donc