dont la raison est
donne S = — ’ —
COURS ü’ ALGÈBRE
Employons la formule (5), elle î + nx 2 — z)n 2 «xn
De là un théorème remarquable. La somme des n premiers nombres impairs consécutifs à partir de 1 , est égale au carré du nombre n de ces nombres impairs.
PROGRESSIONS GÉOMÉTRIQUES
200. On appelle progression géométrique, ou progression par quotient, une suite de nombre tels, que chacun est égal à celui qui le précédé , multiplié par un nombre constant. Ce nombre constant s’appelle raison de la progression.
Une progression géométrique s'écrit ainsi fî- 3 : 6 : 12 : 24
et s’énonce de cette manière : 3 est à 6 par quotient comme 6 est à 12, comme 12 est à 24, etc
Une progression géométrique est croissante quand la raison est plus grande que 1 ; car alors les termes vont en augmentant ; elle est décroissante dans le cas contraire.
201. Théorème Un terme quelconque d'une progression géométrique est égal au premier terme , multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent celui que l’on co'nsidère.
Soit la progression a: b : c : d: e I dont nous désigne-
rons la raison par q; nous supposerons que l soit le n* terme.
Par définition , nous aurons :
Le 2 e terme , b = a xq
Le 3' terme , c = b x q = a X q X q —aq*
Le 4' terme, d = c x q — ax.q' xq=aq *
Le 5 e terme, e = d x q—aq* x q=ax q'.
L’exposant de q dans la valeur de chaque terme est évidemment égal au nombre des termes qui précèdent ce terme considéré. La proposition est donc démontrée ; son énoncé se trouve en abrégé dans la formule.
l = aq n -' (1).
PROGRESSIONS- GÉOMÉTRIQUES
Ex. : On demande le 5 e terme de la progression dans ce cas , l — 3 x 2‘ = 3 x 16 = 48.
202. Problème. Insérer entre deux nombres a et 1 , m moyens géométriques ou proportionnels , c’est-à-dire former une progression géométrique dont a et 1 soient les extrêmes, et dans laquelle il y ait m termes entre ceux-là.
Il suffit de connaître la raison. Snpposons-la connue, et désignons-la par q; d’après l'énoncé , la progression à former contiendra m + 2 termes; l en aura m -f- 1 avant lui; conséquemment l = aq m+i ; on déduit de là q m+ ' = -, puis q — *+</—
C’est-à-dire que la raison s'obtient en divisant le dernier nombre 1 par le premier a , et extrayant du produit une racine d'un degré marqué par le nombre des moyens à insérer, plus un.
Exemple : entre 3 et 48 on propose d’insérer trois moyens
géométriques, on aura q
=Vl=o
l/lü = 2. On obtient
ainsi la progression — 3 : 6 : 12 : 24 : 48.
205. Si entre tous les termes d’une progression géométrique , considérés deux a deux , on insère partout le mime nombre de moyens géométriques, la série de tous les termes forme une nouvelle progression géométrique.
Prenons pour exemple la progression 3 : 6 : 12 : 24 : 48... Supposons qu’entre les termes pris 2 et 2 on insère m moyens géométriques. De 3 à 6 , on formera une progression dont la
raison sera q = \ / — ; de 6 à 12 ; la raison sera \ / — ; de " +I / 24
12 à 24 , ce sera \ / -- , etc. ; Toutes ces raisons sont égales à
la première q. En intercalant les termes intermédiaires de ces diverses progressions partielles entre les termes de la progression donnée , pris 2 à 2 , ou obtient la série
3 : 37 : 3 q' 3 q m : 6 : 6 q :[6 q' : 67’ 67” : 12 : 127 : 127% etc.,
qui est évidemment une progression géométrique.
COORS D’ALOÈBRE.
-04. Problème. On propose de calculer la nomme des termes d'une progression par quotient.
Considérons la progression fj a:b:c:d:e... »: h:l, dont la , raison est q.
Il faut calculer la somme .s==a-j-6-}- c +^+"- +t+fc-H (*)•
Multiplions la somme et toutes ses parties par le même nombre, q; nous aurons l’égalité : sq=aq-\-bq-\-cq-\-dq-\-...iq-\-hq-\-lq(*y, mais dans cette somme : aq=b, bq=c,... hq=l ; nous pouvons écrire sq—b -fc -j- / + H (21. Si nous retranchons de cette
valeur la somme s , nous aurons sq — s=b-\-c-\-d... -\-l-\-lq—a — b — c—d — ... — h — /. Après réduction des termes à la fois ajoutés et retranchés, il vient sq—s=lq — a (3), ou bien ( q — 1) s—lq — a,d’ou l'on déduit :
Iq—a
Si la progression a n termes, l=aq n 1 ; mettons , au lieu de l,
la — a
cette valeur dausla formule (4)8 = -^ — -- ; il viendra :
aq n ~'xq—a
ou bleu
aq n — a q—l
Appliquons cette formule à la progression H 1 :2:A:8:... Cherchons la somme des vingt-quatre premiers termes. Dans cet
exemple a = l, ç=2 , n — 2U. s=— — — - = 2’*— 1. Or 2’= 8,
C)On (>cut arrivera l’égalité (3) d’une autre manière.
La progression géométrique équivaut à la suite de rapports égaux a : b = b : c = c : d = d : e... Dans cette suite de rapports égaux, tous les termes de la progression sont numérateurs , excepté le dernier ; tous sont dénominateurs , excepté le premier; donc, la somme des numérateurs de cette suite de rapports est égale à s — I, et la somme des dénominateurs égale à s — a; alors d'après un principe connu (230), s — l : s — a — o : b , ou bien s — l : s — a = a: nq , ou enlin s - l ( : * — a — I : q.
D’où on déduit: (s—l) q=zs — a, ou sq — lq=.s — a. Le reste s’achève comme ci-dessus.
PROGRESSIONS GÉOMÉTRIQUES. 207
2 6 =6A, 2'*=64 , =4096 ; 2 , *=4096 , =16777216. Par conséquent la somme demandée est 16777215.
Cette formule s
aq n — a
étant d’un usage très-étendu , nous
examinerons les différents cas qui peuvent se présenter dans son application. Mais auparavant il nous faut démontrer les deux lemmes suivants :
203. 1 er Lemme. Les puissances successives d’un nombre A , plus grand que 1 , vont en augmentant avec l’exposant, et on peut toujours trouver une puissance de A plus grande qu’un nombre donné II , si grand que soit H.
De A > 1 , en multipliant par A , on déduit A 2 > A puis A’> A*, A* > A 3 , etc. Les puissances de A vont en augmentant.
Posons maintenant A — l=a; en multipliant par le nombre A>1 ,
on a A* — A >a
puis A 3 — A*>-a
Additionnant la dernière égalité et toutes ces inégalités, membres à membres, on trouve
A m — 1 >ma, ou A ra >l-(-»na.
Si donc on veut avoir A m ou (1 -|-<*)“>A, il suffira de choisir m, tel que l’on ait :
1+W!a>H,0U ma>H — 1,
c’est-à-dire m > H - - ; ce qui est toujours possible puisqu’il y a
Ct
des nombres entiers plus grands que tout nombre donné.
2 e Lemme. Les puissances d un nombre a, moindre que 1, diminuent quand l’exposant augmente, et on peut toujours concevoir une puissance a' 11 de a, moindre qu’un nombre donné h, si petit que soit h.
Ce nombre h doit être moindre que 1, sans quoi on aurait immédiatement a < h. Considérons le nombre A tel que a X A = 1;
208 COURS d’algèbre.
ce nombre A est plus grand que 1. L’égalité a x A=l, conduit à celle-ci :
En vertu de notre première proposition , A m croît avec m ; donc alors a m doit décroître. Nous voulons trouver une puissance a m moindre que A. Considérons un nombre H, tel que AxH = 1 ; le nombre H est plus grand que 1. Nous avons simultanément 1 1
a m = — , et h = - ; donc, l’inégalité a”< A, équivaut à celle-ci.
< rr ; on vérifiera cette inégalité en choisissant tn, tel que 1 on A H
ait A" > H ; ce qui est toujours possible , en vertu de notre premier lemrne, puisque A est un nombre plus grand que 1.
20G. Discutons maintenant Informulé S =
aq — a q—l '
Nous distinguerons trois cas : 1° q > 1 ; 2° q — 1 ; 3° q < 1.
1° Si q est plus grand que 1 , on voit que la somme S peut croître au delà de toute limite ; car q “ croît au délit de toute limite ; a — a 0
2° Soit q = \; S = - — - = -. Ce résultat ne nous apprend rien. 1 — 1 0
Il faut remonter à la progression géométrique elle-même a a : aq : aq *.... aq K . Faisons-y q ~ 1; elle devient vf a : a : a :.... a, et la somme en est évidemment na.
aq" — a a — aq" a aq n
3° Soit q <1 ; nous avons S=
Dans cette valeur, — ^ — est iixe ; —— diminue quand n augmente, 1 — q 1 — q
et peut devenir moindre que tout nombre donné. Le quotient
. est l’excès de sur la valeur de S; cet excès diminuant
indéfiniment lorsque n croît , S s’approche indéfiniment de Y—q’ auquel cette somme est toujours inférieure ; on peut prendre n
suffisamment grand pour que — — soit moindre qu’un nombre
donné A, si petit qu’il soit. Il suffit pour cela de prendre n tel que
PROGRESSIONS GÉOMÉTRIQUES
La Somme S pouvant différer de
q" soit moindre que
- — - d'un nombre moindre que toute quantité donnée, on dit
que ^ est la limite supérieure de S. En supposant la progression prolongée à l’infini, on a l’égalité S = ~ . ~ v
207. Dans une progression géométrique H a : b : c : <T: è ; J : g : h : i : k : 1, le produit de deux termes quelconques pris à égale distance des extrêmes, est égal au produit des extrêmes.
Prenons , par exemple , le terme d qui en a trois avant lui . et le terme h qui en a trois après lui ; il faut prouver que
D'après notre hypothèse , d ayant trois termes avant lui , on a d = ax q‘; considérant la progression comme commençant à h, nous trouverons h x g 3 = f; de ces deux égalités résulte celle-ci : dxhxq*—axq'xl; d’où, en divisant par g 3 , on arrive à l’égalité dxh — axl, qu’il fallait démontrer.
On déduit de là une formule pour trouver le produit des termes d'une progression géométrique.
Soit aalbicidie ... fl il kl l. Nous cherchons le produit V = axbxcxdx ... hxixkxl ; nous pouvons écrire V=lxkxixhx ... dxcxbxa.
Multipliant membre à membre , on arrive à l égalité P'=(axl)X(bxk)x{cXi)X(dXh)...{hxd)(ixc) ( kxb ) (Ixa).
Mais chaque produit écrit entre parenthèses est égal à a x l, d’après le théorème précédent , et il y a autant de ces produits comme facteurs de P’, qu'il y a de termes dans la progression. Appelons n le nombre des termes. Nous avons :
P* = (axif, ou P = V (al)".
Si on remplace l par sa valeur aq'~', nous aurons : P=l/(aY" 1 )" ou P = Va
Sous cette forme on voit facilement que P est rationnel, en même temps que a et q.
Mx
COURS d’aioëbre.
Exercices sur les progressions.
Un corps abandonné à lui-même dam le vide parcourt 4 m ,904/i pendant la première seconde de sa chute , 4“,9044 X 3 pendant la deuxième seconde, 4 '”,9044 X 5 pendant la troisième seconde ; et ainsi de suite , les multiplicateurs 1, 3, 5... , de 4“ , ,9044 croissant en progression arithmétique ; trouver combien de mètres ce corps a parcourus, en supposant qu'il soit tombé pendant 40 minutes, Rép. 18kl'", Oh. *
Un corps abandonné à lui-même dans le vide est tombé d’une hauteur de 1961'”, 76; on demande la durée de sa chute. Rép. 20 secondes.
L’inventeur du jeu des échecs demande comme récompense 1 grain de blé pour la première case de l'échiquier, 2 pour la deuxième , U pour la troisième , 8 pour la quatrième , et ainsi de suite, toujours en doublant , jusqu’à ta soixante-quatrième case. Quel était le nombre total des grains? Rép. 18446744073707550615.
Deux courriers h et B suivent une même ligne droite ; A est en arriére de B de 240 mètres , mais il va deux fois plus vite, l'rouver que pour atteindre B, il devra parcourir un chemin égal à 240 240 240
240“ -j — (- — — | — — +••••» I a progression étant indéfini-
ment continuée , et trouver ce chemin.
Combien devrait-on réclamer pour une rente de 50 fr. qui n’aurait pas été payée depuis 17 ans, en calculant l’intérêt simple à 4 fr -,5 p. O/o ?
Une montre marquant midi, l’aiguille des minutes se trouve sur celle des heures , on demande sur quel point du cadran (à quelle heure) se fera la première rencontre des deux aiguilles.
Quelqu’un à qui on demandait l’heure répond: les deux aiguilles sont sur le même point entre 5 et 6 heures ; quelle était l’heure précise ?
Soient en général a le premier terme d’une progression arithmétique , r la raison , 1 le dernier terme , n le nombre des termes, et s leur somme ; étant données trois quelconques de ces quantités a , r, 1 , n , s, trouver les deux autres (10 problèmes).
