DES PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES, OU PAR DIFFÉRENCE
194. On appelle progression arithmétique, ou progression par différence, une suite de nombres tels, que chacun d’eux surpasse celui qui le précède immédiatement, ou ert est surpassé , d’un nombre constant qu’on appelle raison de la progression.
Une progression arithmétique s’écrit ainsi : -î5. 7.9.11. 13.15, et se lit de cette manière : 5 est à 7, par différence, comme 7 est à 9, comme 9 est à 11 , etc. ; ou par abréviation : 5 est à 7 par différence, est à 9, est à 11 , etc.
Une progression arithmétique est croissante , lorsque ses termes vont en croissant; décroissante dans le cas contraire. Une progression doit être constamment croissante , ou constamment décroissante.
La raison d’une progression arithmétique s’évalue en retranchant un terme quelconque du suivant , si la progression est croissante, et en retranchant un terme quelconque du précédent, si la progression est décroissante.
195. Dans toute progression arithmétique croissante , un terme de rang quelconque est égal au premier terme , plus autant de fois la raison qu’il y a de termes avant lui.
Soit la progression: a.b.c.d.e....l , dont nous désignerons la raison par r, / étant le n terme.
PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES
Par définition :
2' ternie 6=a-f r
3* terme c=b-\-r=a-\-r -j-r=a-|-2r 4' terme d=c+r=a-f-2r-fr=a-(-3r 5* terme e=d-|-r=o-)-3r-f r=a+4r etc.
Chaque terme est égal au premier, plus autant de fols la raison qu’il y a de termes avant lui; c’est ce qu’il fallait prouver. Le terme / en a n — 1 avant lui ; l=a-\- [n — 1) r. (1). C’est une formule.
Dans toute progression arithmétique décroissante , un terme de rang quelconque, 1 , est égal au premier terme diminué d'autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui.
Soit la progression : a.b.c.d.e....l; a étant plus grand que b.
Soit r la raison.
2' terme b=a — r
3' terme c=4 — r—a— r — r— a — 2r 4 e terme d—c — r=a— 2r— r=a — 3r etc.
Ex. : Soit la progression : 3,7.11
On demande le 60' terme de cette progression, appelons-le l; 1= 3+59x4=3+236=239.
196. 1 er problème. Insérer m moyens arithmétiques entre deux nombres a et 1.
•Cela veut dire : former une progression arithmétique dont a et 1 soient les extrêmes , et telle qu'il y ait m termes entre ces deux-là.
Si on connaissait la raison , il serait facile de former la progression demandée.
Supposons celte raison connue , et appelons-la r. La progression , une fois formée , aura m -f- 2 termes , et l en aura m -f- 1 avant lui; par conséquent l — a- J- (m-)-l(r ; d'où l— m=(m+l)r.
et r = — , (3), c’est-à-dire que la raison est égale à la: différence
des deux nombres donnés , divisée par le nombre des moyens à insérer, plus un.
COB RS D' ALGÈBRE
Kx. : Insérer 58 moyens arithmétiques entre 3 et 239. Nous aurons 239 = 3-)- 59 X r; d’où 59xr=239 — 3 =236, ou enfin
Si l était moindre que a , on aurait r= r, même règle; seu-
lementon retrancherait la raison de a, puis des termes successifs, jusqu’à l.
197. Si entre tous les termes d'une progression arithmétique considérés deux à deux, on insère partout le même nombre de moyens, la suite ainsi obtenue est une nouvelle progression.
Prenons pour exemple la progression £3.7.11. 15... , et supposons qu’on insère m termes entre deux termes consécutifs quelconques. De 3 à 7 on formera une progression dont la raison
r = — — ; de 7 à 11 la raison sera - — — ; de 11 à 15 la raison
sera — — . Toutes ces raisons sont égales , puisque 7 — 3 =
11 — 7 = 15 — 11 , etc. En insérant les moyens , on aura donc une nouvelle progression.
t 3.3 — j— r*. 3 — 2r. ... 7.7 -j- r.7 -(- 2r.... 11.11 -j-r, etc.
198. Dans toute progression arithmétique, la somme de deux termes à égale distance des extrêmes est égale à la somme des extrêmes.
Considérons dans une progression, dont le premier termé esta et le dernier l , un terme , x , qui en a n avant lui , et un autre , y, qui en a h après lui ; je dis que x -f- y = a -f l. En effet , d’après le premier théorème , x = a -j- nt. Si l’on considère ensuite la progression donnée , à partir de y seulement , on trouvera <Jue y -j- nr = l ,■ ajoutant cette égalité avec la précédente, on trouve x-\-y nr — a nr 1 , ou x-\-y = a-\-l.
199. Problème. Calculer ta somme des termes d'une progression arithmétique.
Soit la progression f a.b.c.d.e.f.g.h.i. k. I.
Il nous faut calculer S = a-(-64-c-j-d + e +/’+ g + * 4"
k -f t. Nous ne changerons rien en écrivant , S = / 4- -j- » -f- -j- 9 + f + e + d + c 4- b -f a. .
PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES. 203
Ajoutant ces égalités, membre à membre, nous trouverons :
2S = (a-{-/) -f- (Z>- f-ft) -f- (e-H) + •••• (H - ®) + (H - ^) + (H - *)*
On a dans chaque parenthèse la somme de deux termes situés à égale distance des extrêmes ; chacune de ces sommes est égale à la somme des extrêmes. Or il y a autant de ces sommes partielles qu'il y a de termes dans la progression donnée. Si donc le nombre des termes est « , nous aurons 2S = (a-t-Zj répétée n fois,
ou 2S = (a-j-Z) X n ; d’où S — x n
Ex.: On demande la somme des 60 premiers termes de la progression f 3 . 7 . 11
Il nous faut connaître le dernier terme Z , qui en a 59 avant lui. La raison étant A, Z = 3 -f 59 x 1 = 239. Par suite
Très-souvent on pose la question comme nous l’avons fait ; alors , pour se servir de la formule (U) , il faut calculer le dernier terme Z. Nous allons déduire de (A) une autre formule qui donne la somme des termes d’une progression, quand on connaît le premier terme , la raison , et le nombre des termes. Prenons la valeur Z = a-f (n— 1) r, et mettons cette valeur
pour Z , dans la formule (A), il vient : S = - — — =
Jt
En appliquant cette formule à notre exemple , elle donne im- (6+59xA)60 2A2X60
médiatement S =
Application. On demande la somme des n premiers nombres entiers à partir de 1. Ces nombres forment la progression arith-
métique fl. 2. 3... n. On aura S = - — , en se servant de
la formule (A), parce qu’on connaît immédiatement le dernier terme.
On demande la somme des n premiers nombres impairs, à partir de 1 . Ces nombres forment une progression arithmétique
