DES LOGARITHMES

On veut déterminer q — 1 de telle sorte que partout , dans la progression, on ait, quel que soit »,

h étant un nombre donné aussi petit que l’on veut.

q'* 1 —q n — q"{q — 1) ; la dernière inégalité peut donc s’écrire

A cause de A > q n , l’inégalité (2) sera vérifiée, à fortiori, si l’on vérifie la suivante

A(qr — 1) < A, (3)

ce qui demande seulement que l’on ait

h et A étant deux nombres donnés , on peut donner à q — 1 la h

valeur — ou toute autre moindre, 3, et les 3 inégalités (3), (2), A

(1) sont vérifiées dans l’hypothèse q — 1 = 3 ou <7 = 1 + 3.

D’ailleurs, quelque petit que soit le nombre 3, on peut concevoir que la progression , s’étendant jusqu’au nombre- A , désigné ci-dessus, comprenne au nombre de ses termes, ou entre deux de ses termes , un nombre considéré quelconque N ; en effet , on peut toujours concevoir un nombre entier ou assez grand pour que l’on ait

q m = (1 + 8 )" = A ou > A (n° 205).

211 . Corollaires. La progression géométrique d’un système de logarithmes étant supposée remplir les conditions du théorème précédent, on peut regarder un nombre donné quelconque N, comme une limite supérieure vers laquelle tendent les termes de cette progression géométrique moindres que N ; cela étant, nous appellerons log N , dans un système donné quelconque , la limite supérieure vers laquelle tendent les logarithmes de tous les termes de la progression géométrique moindres que N.

COU BS D’AMiÈBRIi.

Quand log N ne sera pas un terme de la progression arithmétique , il sera compris entre deux termes consécutif de cette progression log q" et log q n+l , N étant lui même compris entre </“ et q n+ '.

Mais la différence entre deux termes de la progression arithmétique peut évidemment être rendue aussi petite que l'on veut ; on conçoit donc que. dans tout système de logarithmes, on peut obtenir le logarithme d’un nombre donné N, soit exactement , soit avec telle approximation que 1 on veut .

Ce point établi , étudions les propriétés principales des logarithmes.