OU

5 1 i . Il arrive souvent que , dans la même question , les grandeurs d'une certaine espèce doivent être ainsi comparées successivement h, des grandeurs de diverses espèces.

£x. : 15 ouvriers , travaillant 9 heures par jour, ont employé 32 jours â confectionner 2/iOO mètres d'une étoffe ayant l'",2 de large;

Combien faudra-t-il de jours à 2Zi ouvriers travaillant 8 heures par jour pour confectionner 3600 mètres d'une étoffe absolument semblable, mais n'ayant que 1"*,5 de large.

Dans cette question^ pour trouver le nombre de jours demandé , il y aura lieu de tenir compte successivement de la variation du nombre des ouvriers^ du nombre des heures du travail journalier^ de la longueur et de la largeur de l'étoffe fabriquée. Le nombre des jours comparé séparément h chacune des autres espèces de grandeurs varie dans le même rapport que celles qui le suivent dans la 1'* partie de notre énoncé ^ et dans le rapport inverse de celles qui le précèdent.

Dans une pareille question , le nombre de jours ne varie exactement dans le même rapport que la longueur de l'étoffe, par ex.: que si ces deux grandeurs varient seules, les autres grandeui*s restant les mêmes lors de cette comparaison. C'est dans ce sens que nous avons employé le mot successivement. V. n^ 316; 3* probl.

512. Il n'appartient pas à l'arithmétique de démontrer que certaines grandeurs varient dans le même rapport ou dans un rapport inverse ; c'est un fait qui a sa raison d'être en dehors de cette science , et qu'elle admet comme devant servir à la solution de la question proposée.

La géométrie , la mécanique , la physique , par exemple , font connaître des grandeurs qui varient daps le même rapport ou en

234 couAS d'arithmétique.

rapport inverse. Il est évident que le prix d'une étoffe qu'un marchand détache d'une certaine pièce doit être proportionnel à la longueur de cette étoffe. Il est également évident que le nombre de jours employé par des ouvriers pour faire un ouvrage déterminé varie dans le rapport inverse du nombres des heures qu'ils y consacrent chaque jour.

313. m étant un nombre êntief quelconque^ s*U eH acquis qu'une grandeur d'ttfic certaine espèce devenant l, 2, 3... m fois plus grande ou plus petite ^ la grandeur correspondante d'une autre espèce devient 1, 2, 3... m fois plus grande ou plus petite , on doit admettre, dans le sens le plus général , que les grandeurs de ces deux espèces varient constamment dans le même rapport.

Par ex. : Soient a et b deux grandeurs de la \^ espèce , a' et b' les grandeurs

correspondautes de l'autre espèce; si a : & = -, on aura aussi a' : &'=:-.£n

effet, d'après Thypothèse, la grandeur h dâ la 1** espèce correspcmdant À la grandeur b' de la 2', la grandeur Zb aura pour conespondante Zl/ ; Zb ayant

pour côtrespondante 85% la grandeiir a = — , 6 fois moindre que 3b' aura

Sb' pour correspondante -— - , 5 fois moindre que 3b'. Mais a' est la correspon-

dàhte de a/ donc a' := --— ; d'où a' : 5^= --^a i b

3 1 4 . m étant un nombre entier quelconqiie, s'il est acquis qu'une grandeur d'une certaine espèce devenant 1, 2, 3,... m fois plus grande ou plus petite , la grandeur correspondante d'Unê autre espèce devient 1, 2, 3,.- m fois plus petite ou jplus grande , on doit admeitre , dans le sens le plus général , que les grandeurs des deus espèces varient en rapport inverse.

Par ex. : Soient a et b deux grandeurs de la r* espèce; a' et b' les grandeurs

correspondantes de l'autre espèce; si d : b= ->, on aurae^ î b'=^. En effet,

d'aj^rès l'hypothèse, la gràhdëll^bde la 1'" espèce correspondant à là gtandeur b' de là seconde, à 3b correspondra --, et à la grandeur o= — -, 5 fois moin-

dra que 3b correspondra -^ i 6 fols pltts gratide qUe - ; mais ùf est Id gran-

deur correspondante à a; donc af =■ --- , ou a' : b' =• ^.

Nous allons résoudre par la méthode dite de réduction à l'unité les questions les plus simples où on rencontre des grandeurs qui varient en rapport direct ou en rapport inverse les unes des autres.