DE TROIS SIMPLES OU COMPOSÉES
Méthode de réduction à runité
515. Les problèmes que nous allons étudier se distinguent par le caractère général que voici : Les grandeurs considérées, données et inconnue 9 s'y partagent en 2 séries parallèles telles que, à chaque grandeur de l'une des séries en correspond une de toênie espèce dans l'autre; de plus, une de ces grandeurs étatit mise successivement en regard de chacune des grandeurs autres que sa correspondante susdite , il arrive toujours que les deux grandeurs mises en regard varient , soit dans le même rapport , soit eh rapport Inverse.
De là résulté, pour écrire immédiatement là solution d'un problème de ce genre , une règle générale très-simple (tue nous allons faire ressortir de l'étude raisonnée de quelques-Uhs de ces problèmes ^ traités par la méthode dite de réduction â Vanité.
316. !•' Problème. 250 mètres d*une étoffe ont coûté ûSOG^f'; combien coûteront 372 mètres de la même étoffe?
Désignons par œ le nombre de mètres cherché :
250'n*i» ûSOOfr.
25omèt. coûtant 1x500^^- , un seul mètre coûte ^50 fois moins , ou -tttt; 372"*'- coûteront 372 fois plus que i mètre, c'est-à-dire :
Remarque. Plus il y a de mètres, plus ils coûtent^ le nombre des mètres et le prix de rétoffe varient dans le même rapport
2^ Problème. Vn charpentier avait amené 588 planches de 30 centimètres de largeur pour clore un terrain^ le propriétaire veut des planches de 35 centimètres de large. Combien en faudra-t-il?
5ggplancbe8, 3Qcenlim. de large.
^ pi. 35c«nt.
2^(6 couBS d'arithmétique.
Si les planches employées , au lieu de 30 centimètres de large, n'avaient qu*un centimètre de large , il en faudrait évidemment 30 fois plus, c'est-à-dire 588 >< 30 ; mais si, au lieu de 1 centimètre, les planches ont 35 centimètres de large, il faudra 35 fois moins de planches ; c'est-à-dire :
Remabque. Plus les planches sont larges 9 moins il en faut ^ le nombre des planches nécessaires varie en raison inverse de la largeur des planches.
3' PROBLiiiME. 15 ouvriers f travaillant 8 heures par jour ^ ont employé 32 jours à confectionner 2400 mètres d^une étoffe ayant l,2QJ*t- de large; combien 2U ouvriers y travaillant 9 heures par joury emploieront- ils de jours à confectionner 3600°»*'» d^une étoffe ayant l,5mèt. de large?
Soit X le nombre de jour cherché.
I50UV., gh., 32j., 2/100™-. l™-2.
2/io«v., gb., /pj., 3600™M lm,5.
Un seul ouvrier, travaillant 9 heures par jour pour confectionner 2400 mètres , etc. , emploiera 15 fois plus de jours que 15 ouvriers, c'est-à-dire, 32i- x 15; 2U ouvriers pour faire le même ouvrage, en travaillant 9 heures par jour, emploieront 24 fois moins de jours qu'tin seul, c'est-à-dire :
Remarque. Plus il y a d^ ouvriers^ moins il faut de jours; le nombre des jours et le nombre des ouvriers varient en rapport inverse.
Ces 24 ouvriers , travaillant une heure par jour au lieu de 9, pour faire 2400"- d'étoflfe, etc., emploieront 9 fois plus de jours, œ' X 9; s'ils travaillent 8 heures par jour au Heu d'une, ils emploieront 8 fois moins de jours à faire cet ouvrage , ou :
^==^'Xg = 32X2-^X-=x"(4).
t>ROBLÈMES QD^ON APPELAIT RÈiïLES DE TROIS. 23?
Remarque. Plus les ouvriers travaillent d^heures par jour, moins ils mettent de jours; le nombre des joars et le nombre des heures varient en raison inverse.
24 ouvriers^ travaillant 8 heures par jour^ emploient x" jours pour faire 2/100"»' d'une étoflfe ayant l°»-,2 ; si, au lieu de 2/^00" , ces ouvriers ne faisaient qu'un mètre de la même étoffe , ils eni-
ploieraient 2400 fois moins de jours , c'est-à-dire : -ttjtt ; mais,
pour faire SGOO*"*, ils emploieront 3600 fois plus de jours que pour en faire un seul, c'est-à-dire :
Remarque. Plus il y a de mètres à faire, plus il faut de jours; le nombre de jours et la longueur de Tétoffe varient dans le même rapport.
Enfin, si au lien de 1°"* .2 , ou 12 décimètres de large , les 3600"** d* étoffe fabriqués en rr"J- par 24 ouvriers , travaillant 8 heures par jour, n'avaient qu'un décimètre de large, les ouvriers emploieraient 12 fois moins de jours pour la confectionner, c'est-
à -dire , — ; Téloffe ayant 15 décimètres de large au lieu d'un , les
ouvriers emploieront 15 fois plus de jours, c'est-à-dire :
„ l"î ,^ 15 9 3600 1,5 ^''Xj2 = 32X2^X-X2-^X^ = a:(6).
Remarque. Plus r étoffe est large, plus il faut de jours pour la fabriquer ; le nombre de jours et la largeur de Féloffe varient dans le même rapport.
317. La marche à suivre pour résoudre ces problèmes par le raisonnement se voit aisément ; il est inutile que nous la formulions plus explicitement. .
Ayant rangé les grandeurs données et linconnue sur deux lignes horizontales, l'inconnue en bas, en faisant correspondre 2 à 2 les grandeurs delà même espèce, on a réduit successivement à /umVf (leson espèce chaque grandeur de la première ligne , qui ne correspond pas à rinconnue , déterminant en môme temps ce que de-
'2SS COURS d'arithmétique.
vient « à chaque réduction ^ la grandeur donnée de même espèce que Vinconnue. Mais chaque fois qu'on a eu réduit à Tunité une grandeur de la l'* ligne 5 avant d'en réduire une autre ^ on est remonté de Vunité à la grandeur correspondante de la seconde ligne.
On peut remarquer qu'on est arrivé à la solution du y problème en résolvant successivement t\ problèmes siP)p)es du p6lD^ genre que les 2 premiers problèmes traités. Les f premiers problèmes sont de ceux qu'on appelait règles de trois simples ; le dernier, de ceux qu*on appelait règles de trois composées,
318. Nous avons dit qu'il ^xistç \ime règle générale ppur écrire immédiateinent la solution de tout problème du même genre que les précédents. Pour la trouver, il suffît de jeter les yeux sur la fin de cbaeun des problèmes simples, à ces numéros (i), (2), (I) , W* (^)f i'è); solution et RBMâRQUf.
Supposons les quantités de l'énoncé disposées comme il a été in( Jqué «ur deux lignes horiBont^s , l'inoonBue en bas. Cela posé , û^m cbftque problème simple, l'inconnus a pour valturla grandeur 40nnée qui lui corresp^d , multipliée par le rapport âti deux atutffs grandeur $ données ^ divi»é^s dans cet ordre : celle d'en bas par celle d'en haut, quand ces grandeurs varient dans le même rapport que les grandeurs de V espèce de Vinconnue , celle d'en haut par celle d^en b^s ^wnd cç$ grandeurs pt V inconnue variât en raison inverse.
Dans la règle de trois composée» rincopnufi de chaque problème simple devient une donnée du problème simple suivant; de sorte que les rapports se multiplient consécutivement , et finalement, l'observation, telle qu'elle est indiquée plus haut, des 3 problèmes qui précèdent conduit à cette règle générale :
319. RÈGLE GÉNÉRALE. Les données de la question et l'inconnue étant diaposées sur deux lignes horizontales , de telle sorte que les grandeurs de même espèce se correspondent, la valeur de Vinconnue se forme en multipliant la grandeur donnée qui lui correspond par les rapports des autres grandeurs données correspondantes , divisées une par une , dans cet ordre •• celle d*en bas par celle d'en haut
' quand ces grandeurs et la grandeur de Vespèce de Vinconnue varient dans le même rapport (quant à plus répond plus) ; celle d'en haut par celle d'en bas , au contraire y quand ces grandeurs et celle
PROBLkMES qu'on APPELAIT RÈGLES DE TROIS. 239
de même espèce que rineonnue varient en raison inverse (quand à p^us répond moins] {*),
SiâO. Donc les problèmes proposés se résoudront simplement ainsi:
i^ PROBLÈME. SSOV^tTN 4500^'-
Plus il y a de mètres , plus ils coûtent ; on prend le rapport de bas en haut); et on multiplie la donnée k5W'- par 372/250.
2* PROBLÈME. 588Pl'ncjiM 30c«ntiv. da large
X?^' 35cenl.
Plus les planches sont larges, moins il en faut (il faut prendre le rapport de haut en bas) :
irs=588P»- X r^.
y PROBLÈME. 15<>"^-9*>«ar. 32J0ttr8 2ii00™*'ïong. Imél.j2^«'8-
S^oav.gbeuf.^ 3Q00®^^-^"Bl"^^^-j5^''S'
(*) La réduction à l'unité telle qu'elle se fait naturellement conduit à la règle générale ci-dessus , facile à appliqu3r. Il serait peut-être plus régulier qu'on n'eût pas dans la pratique k renverser le rapport des nombres «onespondants , alors justement que les grandeurs considérées varient dans le même rapport, et à prendre au contraire le rapport des nombres dans le sens direct (de haut en bas), alors que les grandeurs varient en rapport inverse. Il suffit de modifier légèrement la règle pour corriger l'irrégularité , si on en trouve une î il n'y a qu'à renverser Tordre des 2 séries de grandeurs , en mettant au premier rang celle qui renferme l'inconnue , de cette façon :
