ADDITION

11. L'addition a pour but de trouver un nombre, appelé somih ou TOTAL ^ qui contienne exactement toutes les unités de plusieurs nombres donnés.

L'addition s'indique par ce signe , -f^ P^^^ : ^7 + 38 -{- 12; b7 plus 38 plus 12.

Nous considérerons deux cas :

l"" Celui où Von doit ajouter un nombre d'un seul chiffre à un nombre quelconque j

2*' Le cas où l'on doit additionner plusieurs nombres quel conques.

12. 1» CAS. La somme d'un nombre quelconque et d'un nombre d'un seul chiffre ne peut se trouver que de la manière suivante :

Proposons-nous d'ajouter 6 à AS. Au plus grand nombre &8, on ajoute successivement ^ et une à une^ les unités du plus petit. Ainsi on dit : ^8 et 1, &9; A9 et i, 50 ; 50 et 1, 51 ; 51 et 1 , 52 ; 52 et 1, 53; enAn 53 et 1, 5/i.

De pareilles additions se faisant continuellement, il est bon de s'êxè'fcer à trouver immédiatement des sommes pareilles , à pouvoir dire immédiatement US et 6 font SU. On posera des additions tdB^ que celle-ci :

10 COURS 0'*API11l£riQl}E.

^ On: aédMome ainsi : ^ et 7 font 1^; 12 et U; 16; 16 et .6,22.; ^ et^^di. »!

' Gomme on le voit, on fait là wie snite d'additions partielles dont chacune rentre dansie eas préoédppt» .

Quoique Faddition des cinq nombres précédentiK .rentre plutôt dans le dmiôaie cas qvi» àM^ le pr^miori 0909 «imui fr» 4t9oir l'indiquer avant de faire une addition tout à fait quelconque.

2** CAS. Règle générale d'addition.

13. Pour additionner plusieurs nombre» quelconques , on les écrit les uns sous les autres ^ de manière que les unités de même ordre st correspondent dans wû$ même colonne verticale ; on souligne le tout» Puis y commençant par la droite, on additiqrine les unités de la première colonne ou les unités simples. Si la somme de ces unités ne dépasse pas 9 , on Vécrit au-dessous , telle qu'on l'a trouvée^ si elle dépasse 9, on écrit seulement tes unités simples , et on retient les dizaines pour les ajouter aux dizaines de la deuxième colonne à gauche ^ que Von additionne à leur tour. Si la somme de ces dizaines ne dépasse pas 9, on f écrit aurdessous , telle qu^on fa trouvée; dans le cas contraire ^ on écrit seulement les unités de dizaines , et on retient les dizaines de dizaines. qui sont autant dt centaines , pour les ajouter aux centaines de la troisième colonne , que Von additionne par continuation , et (tirtsi de suite , jusqu'à ce qu'on ait additionné la dernière colonne d gauche f dànt on écrit la somme telle qu'on la trouve^ dans tous les cas, * Soit par exenqile à additionner les nombres

Nous posef ons ^fj^ rad(l}tloij j

176^(16 £n commençant par la 1'^'' col0(UiC ^ droit^e^ .pou;s dirpn^ : 8 et

• àatovrwM. il

y a 6 unités et 3 dlxaUies; je pose 6 unités squs la colonne v etjts ffiMid > QQ ^f eiieiisi tel» ftéisaines, pour les ajouter aun diBaftnes de -la S* t^oloDue que nous allons additionner. I et S^ 5 ^ 5 et 3^ 646 ët'^i d5( ra et 9^ 16^; i%eiU^^Q : enfiOdleaines, U n'y apa^d'u^ uités de dizaines; je pose à la place des dizaines du total, et Jo retiens tes S^disalnes de dizaines ^ ou les S centaines, pour les ajouter à la colonne suivante, que Ton additionne de même; on tôntliiae ainsi Jusqu'à la dernière eolonne à gan^he 5 au*dew)U8 die lûqtielie J'ai éeilt toute la semnie 19.

Cette règle s'expUque d'eUenoiéme. On est obUgé d'ajouter m^ siêinble les unités d'u<ie môme espèce; il est donc plus commode de les avoir Mérites dans une même colonne verticale. On procède de droite à gauche dans l>rdre des grandeurs croissantes des uni^ tés ; en eiiet, la somme est un nombre unique qui ne doit renfermer qu'un seul nombre d.'unités de chaque ordre , moindre que dli. Lorsque Taddition des unitéç <|'^P^ colonne donne plus de neuf unités , il y a lieu forcément à reporter au moins une unité de Tordre supérieur ^ur H cplQpne îmmédîi^ti^ei^ ^ gauche ; ^ diaac on avait additionné préalablement cette dernière colonne, on serait obligé de modifier la somme d'abord obtenue. Il est doue plus jcon)mode d'additionner 4e 4ro{te à gauche ; car oq n> jamais ainsi il inodi^er up iibiffre écrit.

14. Quand on a terminé une opération, il esthoii d'anfaîsela preuve.

La prçuv.$. d'une opération est une deuxième opération ftiitq pour §'assurçr autant que (ipssible dfî T exactitude ^e 1^ première.

Preuve de l'addition. Slle peut se faire comme il suit : m tm a additionné dans un certain sens 9 de haut en bas^ par exemple y on recommence l'addition^ §n op^T^nt ^ bas en haut. Si repération a été bien faite, il est évident que l'on doit trouver la même lomnie. JO'aiUQpi^ , ^s ç\i\fft^ ^^ ^e ppi^biiii^ p^ gi^^rfLlepi^nt dans 1^ m^m^ Qirdre, ù^jl n^ pa^ ^qja ^ tmfi^^i 4ws \f^ mèm^ erreurs*

(*) On abrège le discours en s'énonçant ainsi : 8 et 4 > 12 ; et 9 , 31 ; et S , £9; elT,aéV'Atfne1/éiplètepà8chaqtte<6mtteitertleUé, " •• m...lî. . «

,,ffÇ'':é^pte, et cela, sitrtont depuis qa'on opère à peu. près exclusïvem^at- |ur les nombres décimaux. D'ailleurs, par ewmple , . dç , ce fl|t,e 13 4-5 — 17) chacun couctut naturellement que 12 mètres-}: 3 më?, tres = 17 mètres; 12 fr. +5fr. = n£r. , «te , ., '

Cette remarque s'étend i tontes les opérations ; nous pe .la répéterons pas. . ,, . ,

15. Une pépinière contient 36! ponunlerB , 42T poiriers, 975 prunlen , 84 cerisiers , 249 péctaeia et 331 abricotiers ; combien contient-elle d'arbres ea tout^

Rép.mi'.-

La populatioa de la Martinique est d'environ 112S3T babitairtE; celle de Bout-' bcn. de9S000; e^e duSén^, deieS9!; Mlle de la Guyane, de ITS85','et celle de la Guadelanpe, de tl4!B6i combien ; a-t-il d'habitante dans cei clmi: colonieaPBfp. 359600. ,.., , |. ,^,,

En 1845, la population de la France a augmenté de 237332 habitants i êif J846, de 151975; tn 1847, de 61555; en 1848, de 104590; en 1849, de I3458'.' On demande l'augmentation totale pour ees cinq années. Rép. 5699(9. ' ' ' ' '

Un rentier dépense chaque année 245 fr. pour «on l»yer, (4ft#. poirt aa nOirriture, 46(r. de (dancbissage , 178 fr. pour son babill^iD^t, qt 3^ {E,.pai|f, autres dépenses diverses {Il lui reste 542 fr. Quel est sqn myefltfï R^, i^n^^fi-

. SOUSTEAGTIOW., ,- ! .,.,-. !„'■■ ^■,-:\\ul,

. , .,-.,. ■ 1 .■ -' '■.; " ;■ " ■) '■"■" ' .^ol((iiii^^

16. La soustraction est une opérationpar lofaMeyvit mtrMoitt d'utiit9itttii^,dop,nifou^t'îi» unHéê<d'tm:aittr9w)iRbre.doî(né.iil

>lie'râsi|ltat'i8Îam)eUs.'r«ile,>.OD >dlt>vaiissiiiqu«>iléiiràstei<estt(bii différence des deux nombres donnés , ou l'excès du pins graaduw» le.plnspetit. .". -, f;i -Au n't .;i ..Jj <:• '.'i> luilvi-up elH)e.nii]\i<

Bx. : Sotistralre 5 de ShtiMe >»> «< <Klnadm metei^ene»^

' ''mmvtiur''' l

méill^Mëtk aa^4è' j)lùi' gfana^omtre / compose ''d^i|

ûMësànT^lvls^éuVl^y, êt'âu reste 3; autrement èft^ le plus grand BÂAÎiife'ddiliié ié^l!'ïa^6mmé du plus petit nombre el <du reste.' C'est pourquoi on donne aussi cette définition: ' ' " " '

'Èa soustraction a pour but, étant donnés la somms ae âmx, nombres et fun de ces nombres, de trouver. Vautre nombre.

La soustraction s'indique par ce signe, — , gui s'énonce moins i i — 5, lisez 8 moins 5.

^ 17. le cas élémentaire de la soustraction est ceïui b^ le ^I^s' petit nombre n'ayant qu*un seul cliiffre, le reste doit être moii^ç^ qiie dix. ' , ^ ' ,

Ex. : soustraire 7 de 1 3. . ,

f I .- . . j . ' •• ItM» 'TM'l *»)î^ »

' "Le teste est momdre que dix , puisque le plus grand, uo^i^bMe^t^ inférieur à dix-sept.

On retranche successivement de 13, et une à une, toutes les unités de 7 ; le dernier reste obtenu est le nombre cherché.

i ôté de 13, il reste 12; 1 ôté de 12, il reste 11; 1 Oté de 11> il reste 10, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait retranché ainsi % unités ; le dernier reste est 6. • i

Pour faire cette soustraction, le mieux est de nottmer, en comp"' tant sur ses doigts, et dans Tordre décroissant, les nombres immédiatement inférieurs à 1 3 , de cette manière : douze , onze , dix, etc..., jusqu'à ce qu'on soit arrivé au septième doigt; le nombre ^x», dernier nommé , est le^ ]::^ste cherché. <

-fil*e$l feMm d^aoquérir assez d'habitude pour. p<iuvoir dir&'lmmé- AâtenàieM), 'et^sdlûë^datèiil , le résultat d'une pareille ioustractibn ; I'bié'de^it'îïi'este"6'.^ ' '

Car le résultat de la soustraction de deux nombres de plusieurs chifiTres s'obtient en faisant ûdéeVtàlfî nombre de ces soustractions sim^ples* C'est'ce que nous allons montrer; mais auparavant nous f«èmlrtfirtte(«eAian|ll^l*''^ ^^^m^ »o ^mk- "•-. •••.»•• i-^^-^.i^^^ *^ v .f*i

MUnladooi4ttmài«49a|iutt'iiiâfii<inaiMr^4Mt d$Kûs^^0mÂei '>^' to^ s^-

Supposons qu'ayant ôté 10 de 27, on ôte 19 + 5 dtf^dl^i^Oi MfittaisiesatoiR séoMidloa» cft 9èg«â>dd sb c di^fiifôuoc : .xdL

1 i COURS' ïsfàÉt'mÛt'nQVE .

w " '; ' ' . i j ' Il ' r i" !i cil »l - ' .»j'"»: Il

piftxt (ttef lâi-|-5 de 27+5, nous pouvons conaineticer par Otpt, 5 de 5; il ne resté rîen. te feste de cette seconde sotistractloû est dOnè siînpiéùiéïit égal a feicès de 2t sur 19, ce qu'il fallait prouver.

Voici triâiûtênaùt la règle pour soustraire l'un de l'autre deux dombtéi^ quelconques.

19. RÈGLE. Pour soustraire deux nombres" efititts Viin de Vàûtrè, (M êc¥U tèplus petit rtûfnhre àoM le plus grand, de manière qiiè les unités de rtièûUi ordre se correspondent ^ tés unités sous les unités, les dizaines^ sous les dizaines^ etc. On souligne le tout*, puis, eil opérant de droite à gauche et par ordre, cfn retranche chaque chijfYe ififérlbur de son correèpondaht supérieut^^ et on écrit chaque reste au-dessous. S'il a'^rive qu'un chiffre inférieur Soit plus grùnk que s'oH borrèspoftddnt supérieur, on augmente celtH-ci de dicc unités, et OH Hirarich^ d^ la somMe le chiffre inférieur, Mcds; efi continuant là hoUkf action , On augmenté d'une unité te chiffre suimnt à gdUchey du nornbre inférieur, pour retrancher ce chiffre ainsi augmenté de son correspondant supériffuf.

ti. : Soit à èousfraife 253842 de 608367.

Ptiisqtt'tt faut retruBeker de 608567 tontes les imilés de i^Wk% on arrivera au résultat en retranchant les unités du i*' MmbiSQi de»n!iké9dtt2*,les dieaines desdûames^» etc. £q écnf^ntotefue reste panîel an-dessous des cbiffres qui rontfovni^ on mot oe cbiffi^ k la place ^i lui convient. 2 ôié de 1, U reste 5 ; 4 ôté de ^^ il reste 2 ; ôter 8 de 5, c'est impossible ; on dte &de 15, iè' reste 7 s eo opérant ainsi, on a lu 15 centaines dans le noml^re^l^érieur là où il n'y a que 5 centaines; on a donc augmenté ce noibbre supérieur de 10 centaines ou 1 mille : par compenjs{^li9n>.jsn augmente aussi Is nombra inférieur de 1 milte^et cm éle de S mille, 4 mille', au lieu de â« " » •. a m "^

I ir

Il y a alimi ooRlfMimllM, et le reste n'eit pas changé (18). En continuant , on «H J ùftf 5 ^^ , cela ne $e peut ; ou ôte 5 de !0, il té$te 3 ; pute oii Ote S de 6 , il testé i. Le reste cberché est 354725.

S'il y a des zéros daas le nombre mpérleiir^ on traite chacun tfMx eémfire'thi cbfflre trop MMe^ à iBMrtMqâ^il ne eofte^^de à dnîA'cfîraêrfétif.

Voici un deuxième exemple :

Hestoi . . i57Qkiim%

PréUVë. • 4300876504

Il Serait ifi(ilill)9i^ent de commedcef la soustfaétfon par ta droite ou par la gauche ^ si aucun chiffre inférieur d'un bout à l'autre MSfff^^sdit sot» èorrespôiidant supérïètrr; thaissi le ctrntraif^ arrtte pMr iÉfi ou plusieurs èhiffresl , il y a urt incouvéûtent à opérer de gauche k droite. Ainsi , dans le l*"" exemple , avant d'arriver aux eefftafnes, on aurMt déjà retranché 9 litllle de i mille ^ ce qui aurait donné 5 mille ; la soustraction suivante conduisant à ajouter tO eeôtainesi ou 4 mille ^ aux 5 centaines ^ pour rendre la sousiraetioii partielle possible , oblige dfe revenir sur les mille , d'ôter 4 mille de 8 mille, ce qui donne pom: reste 4 mille au Iteu de 5. On est donc fbrcS de modifier un résultat déjà écrit, ce (fia. tr'àrtive pas quand on s^ notf e règle.

90. La PBEtfvÈ êé ta somtfctcHm se fait tri lÉJbUtànt le reste et Iç piv» pHiê Mmbrle. Eii vertu de la défirillloii, on dùit trouver pmrèomnie lé ptué grand nùfnbre^ îïôus Fâvdtià fialt^ pour le defnier exejnple.

EXERCICES

*&m mîo fïècë d'êC(yifÈr<dd 1876 âètres, il éri à été Véftda 979 tiïètrëà; cbm-* bLe|[>,eji ifeste-t-il ? Rép, 898.

Louis XIV monta sur le trône on 1643 et mouiut <»i 17ld; combien d'années a-t-îV'régk? hep. 72 ans.

•'^ftemè^'Mifttppe^' Bel, la population de" Paris éiàiiâe fJsWliabîtants; en 4947 i/ «ni émit de. 1059897 babUants ; quel^iélé 0on. «ocroMementP A^p. 938805 habitants. .. > . i

i6 G0UB8 D'ABrrilliÉTiQIIE.

En 1S4$^ U y a eu à Paris 40362 iiaissances et 60284 décès ; quelle A été, dtaprès cela^ la diminution de la population? Hép. 19922 habitants*

La 1" croisade eut lieu en 1096, et la septième et dernière en 1270 j combian d'années ont duré ces expéditions lointaines? Rép. 174 ans.

Le rayon allant du centre de la terre au pôle est de 6356080 mètres; celui qui va àl'équateurest de 6377398 mètres; calculer la différence. Rép. 2t2t8 mètres.

L'église Notre-Dame de Paris fut commencée en 1 162 ; combien &iaWil attendre d'années à partir de 1852, pour qu'elle ait 800 ans d'existence? Rép. 110 ans,

MULTIPUGATION.

81. La multiplication apùur objet , étant domtés deux nombres, d'en trouver un troisième composé d'autant de fois le premier nombre donné qu'il y a d'unités dans le second.

Par exemple, multiplier 5& par 28, c'est trouver un nombre composé de 28 fois 54.

Le premier nombre donné s'appelle multiplicande, le deuxième nombre donné multiplicateur ^ et le résultat de l'opération, produit.

Le multiplicande et le multiplicateur prennent ausirï le nom de facteurs du produit.

La muUîplJcatlon s'indique ainsi : 54 x 28, 54 multiplié par 28; quelquefois aussi de cette manière : 54. 28 (un point entre les ù&wi nombres).

D'après la définition, le produit de 54 par 28 s'obtiendrait en écrivant 28 nombres égaux à 54, en colonne verticale, puis, les additionnant d'après la règle connue ; mais un pareil calcul serait, en général, trop long, et pourrait devenir Impraticable. On a trouvé des procédés plus simples qui sont les règles de multiplication.

Nous considérons trois cas :

l"" La multiplication de deux nombres d^un seul chiffre^

2'' La multiplication d'un nombre de plusieurs chiffres par un

nombre d'un seul chiffre ; 3*" La multiplication de deux nombres de plusieurs chiffres, !à2, V CAS. La multiplication de deux nombres d*un seul chiffre

ne comporte pas de simplification^ c'est le cas élémentaire» On

trouve le produit par voie d'addition.

ItUtnPLICATIOfl.

Ex. : Sôlt à mulUplier 7 par 4.

On additionne ainsi : 7 et 7, 14; ik et 7, 21 ; 21 et 7, 28; 28 est ie produit demandé.

Les produits de deux nombres d'an seul chiffre étant d^un usage continuel, 11 faut les apprendre par cœur. Pour plus de commodité 5 on les réunit dans une tabie , que l'on peut former très-simplement par voie d'addition ^ et disposer de la manière suivante :

On décompose un carré, comme on le voit ci- dessous ^ au moyen de lignes horizontales et yerticales^ de manière à avoir neuf colonnes horizontales partagées chacune en neuf cases ou petits carrés.

Table de multiplication.

Dans les cases de la 1'* colonne horizontale on écrit les neuf premiers nombres; puis ajoutant chaque nombre à lui-même, on écrit le résultat au-dessous de ce nombre, dans la case correspondante de la 2* colonne horizontale. Chaque nombre de la 2' colonne est ainsi le double du nombre écrit au-dessus dans la !'•.

k chaque nombre de la 2* colonne on ajoute le nombre correspondant de la première > et on écrit la somme au-dessous de ces

18 !^cotrji6 n%mmimù^^^

2 nombres dans la case correspood^nt^ d« It df'pAlQPf|p&|)Ofi!i#tt" taie ehaque aopobre de ^et^e nouy^llp i^eimne torisAPtA^ «st

donc égal à 3 fois le nombre correspondant 4^ to 4'^

ûa continue ainsi à remplir de nou¥0U^9 aolPpnea)»prâAirt4}es, m ajoutant k etiaque nombre d^ la premiôre (coUmuia^ q^^ Vm 4 formée le nombre correspoqdant de la ir% et Pel$i iwm'i^ la 9" colonne iiorizontale inclusiveipent.

Pour trouver da»$ o^te kibh un frodmé deimndi > p§r ^9mple celui de 7 par U, on ehwçh$ h muiiiplmndf 7 4aw ^^ P'fmi^rf eolonm horizonêahy et k parmi le^ «lomtr^l 4^ la pr^iire ç(it lonne verticale à gauche ; on parcourt ensuite la sepfi4if(i§ çolqnnf verticale et la quatrième horizontale jusqu'à leur rencontre. Le nombre 2S , commun à ces deux colonnes , est le produit demandé.

23, î^* GA.S. Multiplication d'un wmkrs 4$ plusieurs chiffres par un nombre dun seul chiffre.

Soit ^ multiplier 3^57 par 6.

Le pfoduit devapt être la somme de 6 nombres égaux à 3/ï57, se composera éyidemmept de 6 fois 7 unités , p|us 6 fois 5 dizaines, plus 6 fois l\ centaines , plu9 6 fois 3 qoilie ; (on peut sf figurer posée Ffid^itipn de 6 ppipbr^s ég^u^ à ik^l), ^ou^ opérerpns donc comme il suit :

207Zi3

6 foi| 7^ 42 ; en 42 unités ^ il y 2|. 2 upités et 4 dizaines ; j'écris les 2 upités, et je retiens les 4 dizaines pour |es ajouter au produit suivant des 5 di?:a}ne$ du multiplicande par 6 ^ 6 fqis 5 font 30; et 4 de retenue ^ 34; en 34 dizaines ^ 11 y a 4 dizaines que j'écris à gauche du 2, et 3 centaines que je garde pour les ajouy^ ^^ produit jiuivant ; 6 (pjs ^^1^, et 3, 37 ; eu 37, je pose 7 et j^ retiens 9 ; § fois 3 fo^^ ^^^ e( 2 dç retenue fopt 2Q ; je pose o

et j'î^Y^^<^ ^»

IIÈQ^E. Pmiç t»ultip(ier }in nombre de plu$ie^rs chiffres par un n^mbr^ d*^^ s^/, ot^ tnult^^liç s^çc§^pe1fiç^t ^ et enproçédm^ puf çrdr§, de droite (l ^aucb^f chaque chiffre du multiplicçknde pur ie i[if\uUipliçateun On icrit seulement les unités de chaque prç-

mammcmoMé a

vAv mmi jmqu'ÊÊ^ inwfr itroMt 4 «oiMAf, quê Pon tmt $^ Ce procédé; comme on le voit, «OMiste à 9^H9» Tiédttim

dM es PombrM ég^m tt 9A57 p^r to çwQotowm w'od doit «voir dfii produit! im Dmnbrw dln swl eUffr«»

Ex* : 0» pfopoM dt multipiiir 6ktl par SAM.