PROBLÈMES SUR LES DENSITÉS ET LES DILATATIONS
7)788 , on demande de combien un morceau de fer s'enfonce dam le mercure sur lequel il flotte.
Le fer perd dans le mercure un poids égal à celai da volume de mercure qu'il déplace ; puisqu'il flotte , il perd justement tout son poids.
Soit V le volume de la portion de fer submergée. Y le volume total du fer. v étant le volume du mercure déplacé , v centimètres de mercure doivent peser autant que Y centimètres cubes de fer ; or. 1 centimètre cube de mercure pèse 15,598, et 1 centimètre cube de fer pèse 7,788; donc v X 13,598 = V x 7,788; d'où ^__ 7,788 7788
On évaluera le quotient à 0,001 près par la divifiion abrégée. Il n'y aura qu'à continuer l'opération jusqu'au 3* chiffre
Remarque. Avec les valeurs approchées données dc^ densités, on ne t)eut obtenir une valeur ptus approchée du rapport des volumes.
Notre but, en donnant ces problèmes sur les densités, a été principalement de montrer comment on pouvait abréger les opérations qu'ils exigent. Yoici d'àutt*eâ exemples, toujours pris dans la physique.
417. La dilatation lin'éaire du fer est de 0,0000122 de sa longueur pour chaque degré d'augmentation de température ^ mesuré par le thermomètre tentigrade*, on demande à 0,0001 près la dilatation d'une règle de fer de 2,2a5™*ire8 ^ pour 25' de réchauffement.
Le coefficient de dilatation linéaire, ex. : 0,0000122, est l'allongement de l'îihité de longueur du cort)s pour l*" de réchauifetuent ; ainsi , chaque mètre de la règle, pour l*" de réchauffeme&t, s'allonge de 0n»*t-,0000122 ; pour 25% ce sera 0"»*'-,0000122 x 25 == 0™*' ,bbb305 j)ar inètre ; l'allongement total sera donc 0™*S000305 X 2,2/:i5.
Nous voulons le résiiilal à d,000l lirës, hôiis pbsebit^ ainsi la multiplication abrégée :
Tous les gaz se dilatent de la (j,00Z66'' partie de leur volume à zéro pour chaque degré de réchauffement. Que devient donc un litre
3/!ia COURS D'ARITHMÉTIQUE.
d'ail' à zéro, en passant à la température de 27''. On demande, en même temps y d un milligramme près, le poids d'un litre d'air à cette température de 21\
Il est clair que le litre d'air pris à zéro remplirait à 2T un vase contenant iHi+Oi'i-, 00366 x 27= l»''-, 09882.
En second lieu^ le gaz n'ayant pas changé de poids en changeant de volaïue , il en résulte que :
l«i ,09882 d'air à 27'» pèse !?'• ,298701 ; !«'• X 1,09882 pèse !«'•, 298701, donc
iHt. pèse Ifff-, 298701 : 1,09882 = ,^ZL^ grammes.
Pour avoir ce poids à 0,001 près , c'est-à-dire avec U chi£fï*es , on divisera 129870 par 109882 par la méthode abrégée, en poussant Topération jusqu'au W chiffre ; puis on séparera 3 chiffres décimaux.
La dilatation d*un corps ou volume est exprimée par une frac^ tien triple de celle qui représente la dilatation linéaire^ ainsi elle est de 0,0000366 ;>our le fer.
On demande , à moins de 0,001, la densité du fer à la température de dO*", sachant qu*à l"", elle est de 7,788 , et le poids d'une masse de fer dont le volume à 30° est de l,548°»*'-<în*>-; trouver le volume de la même masse à li? à moins de 0,001.
1 centimètre cube de fer à li° pèse 78r-,788; ce centimètre cube de fer à 30** devient 1 cent, cube x 0,0000366 x 26 = l^- c , 0009516, et pèse toujours 7Kr.,788 ; donc 1 c. cube de for à 30<'
pèse r— --^7737^. Si donc on prend toujours pour unité la densité 1,0009516
de l'eau à ^% la densité demandée du fer à 30° est , ^ ' >.,^ .
On emploiera la division abrégée pour avoir ce quotient à moins
de 0,001 ; le quotient ayant U chiffres, il faudra prendre 6 chif-
' fres du diviseur, 1,000952 (par excès) ; on divisera 7,788000 par
1,000952 et on poussera jusqu'au U* chiffre du quotient; il sera
mieux de prendre les 7 chiffres 1,0009516 du diviseur, de pousser
le quotient jusqu'au 5* chiffre pour effacer le dernier (n** 205). Celte
densité est 7,7859.
PAOBLËMES DE COSMOGRAPHIE. 3A5
La densité du fer à 30" étant 7,7859^ le cent, cube à cette température pèse 7 8f-, 7859; donc 1 mcube^s^g pèse 78f-7859 x 15Û8000 = 7tii.,7859 X 15/i8.
Si on appelle x le volume à ^° ^ le volume a: ^ à la température de 30% devient x +xx 0,0000366 x 26 = a: x 1,0009516. On
a donc Fégalité x x 1,0009516 =1,548 d'où x= ^ 0009516
on évaluera le quotient à 0,001 , c'est-à-dire, à moins d'une unité de sou U* chiffre signiûcatif. On prendra donc 6 chiffres du diviseur, on divisera 1,548 par 1,00096 (par excès). Rep. v = l™c ,546.
Pour plus de sûreté, il vaut mieux calculer 5 chiffres de v pour effacer le 5'.
l,OO0^jji:
l,546jf
Problèmes de coetnographie.
àlQ, Le cycle solaire est une période de 28 années juliennes, après laquelle les jours de la semaine reviennent dans le même ordre aux mêmes jours des mois. Le cycle lunaire, ou nombre d'or, est une période de 19 années juliennes, après lesquelles les nouvelles lunes reviennent aux mêmes jours de l'année. Enfin, le cycle d'indiction, de 15 années juliennes, était relatif à certains actes judiciaires des Romains. Ces 3 périodes ont commencé ensemble 4714 ans avant J.-G. On demande à quelle époque postérieure elles ont de nouveau commencé en même temps, et par suite quel est l'intervalle de ces deux accords successifs, ou ce qu'on nomme la période julienne.
Entre la 1^' année d'un cycle solaire et la l'* année d'un cycle postérieur quelconque, l'intervalle est évidemment un certain multiple de 28 ans ; de même entre deux cycles lunaires quelconques, l'intervalle est un multiple de 19 ans ; entre deux cycles d'indiction, c'est un multiple de 15 ans. L'intervalle demandé qui doit évidemment satisfaire aux 3 conditions analogues que nous venons d'indiquer, doit être un multiple commun de 28, 19,
3&6 COURS iJ*lIIITHMÊTIQCE.
15 , évidemment leur plûk petit multiple commun; 28, 19 et 15 étant pteibiërs edtré eux, deilx à deux, cet intervalle est 28 x 19 X 15 (}^2;. Telle est la durée de la période julienne.
La 1'' période de Tèrë chrétienne était là dixième du cycle solaire, la 2* du bycle lunaire, et la &* du cycle d'indiction; qu'est donc Tannée 1853 relativement à ces 3 cycles?
9 ans avant la i '" année de Tère chrétienne commençait un cycle solait-e ; depuis le commencetnènt de ce cycle jusqu'à 1853, il s'est écoulé 1862 ans; autant de fois 28 dans 1862, autatil de cycltô solaires écoulés depuis celui-là ; on trouve le quotient 66 et le reste iU ; on en eoiiclat qde 1853 est là W àiméë du cycle solaire qui s'écoule actuellement En se reportant de même à 1 an avant l'ère chrétienne on se trpuye an commencement d'un cycle lunaire; depuis il s'est écoulé 1 -}- 1853 = 185/i ans ; on divise 185(i par 19; le quotient est 97 hi \e tesle il ; i'annéc 1853 est la 11* du cycle lunaire actuellement en i^oûrs l le nombre d'or pour 1853 est 11. On trouve de même le nombre 11 poui Tindiction romaine en 1853.
y. le double problèthé traité b'' 25D.
419. L'année solaire moyenne renferme 365,24226 jotirs moyens. Réduire ce tekipê en jours , heurnf , ininUtes ; secondes et dikiémes de secondes.
Voici le calcul
5l«,2l54bO
La réponse est 365J 5^ 48°> 51^,2. La marche à suivre se justifie d'elie-njême ; à chaque opération nous avons multiplié la partie décimale seule du multiplicande , comme si elle était isolée. (0,24226 de jour — 0,24226 de 24 heures = 24*» X 0,24226),
PROBLÈMES DE COSMOGRAPHIE. ZUl
420. /}ifercure tourne autour du soleil en 87,97079 joûr5,' Vénus en ^2i,'tÔ078 jowr5- la terre en 365,!25637 [année sidérale) ; Mars en b86,9796zl; JÛpihr crï 4332,58480; Saturne en iOl 59, 2i^ S ; Urànua en 30686,8205; Neptune en 60127 jours. On demande de convèrlir tum ces nomhreii de jours en années, jours, heures, mînuYes , secondes: en prenant l'année égale au nombre de jours de la révolution terrestre»
Les dedx Ijretinërs liombreis de jours étant inférieurs k 1 année iàki 365i25637. on convertira tout simplement la traction Hfeimale de jobr de dliàcun en heures, minutes, Secoiides. Qiiatit aux boiiibres de jourà pliis grands que 365,256^7, on divisera ctiacun d*éui par 365.2^6*52). La partie entière du quotient exprimerai îc'â années Hiercheès ; là partie entière dll reste les jours eri plus i 6h réduirîi là pàttie décîmalb de ce i*e!»te eil libures; liiitiutes, secondes.
Sachant que lés cairrés dés iempi àes révolutions à'es planèlH sont entre eux iank te même Ya'pport que tes cà^ek des àistancei moyennes de ces astres au soleil, en demande, à moins de 0,01, i}iic/fe iont ces distances , en Jorekah^ la àistance de là terre au shleii pour unité.
É\ dû nomme x Ik distance dé Mercure à ik terre , oh à, d'après rëliolicé :
Ôii pedt obtemr x sôlt eii employ'âht lès IbgkHthmés , ce qui est le tnieux; soit en éxtrayàîit la racliie cubique dii sêcdûd mëtiibre de Tégâlilé. Par lOgaHthmès, oti Irbufre:
, ,,, . ^ 16^^7,97079 ^21ofe3é5,i5637 loglO« XX =n-] ^ — ' ,
, . «. ^n + 2 log 87,97079 ^Siog 365,25637 ou loglO»a:= • 2 — ! — 2 i .
Il suffira de faire n «= 1 pour que la sp^straction soit possible. On a( hèvera comme il est indiqué page 276.
On opérera d'une manière analogue pour Vénus. Pour les autres planètes dont )es distances aq soleil surpassent évidemment celle
3/i8 COURS d'arithmétique.
de la terre, il D'y aura pas besoin de la puissaDce auxiliaire de 10.
Si, eu matière d'exercice de calcul d'approximation, on voulait faire celui-ci sans logarithmes , on observerait que pour calculer x avec 2 décimales , c'est-à-dire avec deux chiffres pour les 2 premières planètes , et S pour les autres , il faut calculer la valeur cidessus de x^ avec 3 chiffres pour les 2 premières et U chiffres pour les autres (302). Celte valeur dex' est le carré d'un quotient ; pour avoir les 3 ou ^ premiers chiffres du carré d'un quotient, il faut déterminer les 5 ou 6 premiers chiffres du quotient lui-même ; on calcule le quotient par la méthode de division abrégée appliquée aux nombres donnés, parmi lesquels le diviseur constant 365,25637 commence par un 3 ; de sorte que pour avoir le quotient avec 5 ou 6 chiffres , il suffira de prendre le dividende et le diviseur chacun avec 6 ou 7 chiffres; or nous avons tous nos nombres avec cette approximation; le quotient trouvé, on calculera son carré par la multiplication abrégée ; x^ étant calculé, on extraira la racine cubique à moins de 0,001 en appliquant à cette valeur de x* la règle du n*" 302.
421. Une longueur BC de 1 mètres est vue d'un point A sous un angle de i"; c'est-à-dire que le point A étant supposé également distant des extrémités B et G de la longueur /, Tang BAC, ou Tare BG qui le mesure égale 1". On demande y à moins d'une unité, combien la distance AB vaut de fois la longueur \t
L'arc BG n'étant que de 1'', on peut regarder, sans erreur relative sensible, cet arc comme égal à sa corde l^ 1" = Z. Une circonférence , en général , se compose de 360^ ou 60' x 360 ou 60^' x 60 X 360= 1296000''. Le contour de celle à laquelle appartient l'arc BG est donc égal à 1296000 /; on a donc l'égalité
1296000 / = 2 w. D, ou 648000 / = tt. D,
D désignant la distance AB. On déduit de là :
8000 , /,,«^^, 1\ , /=( 648000 X -jxi.
Nous n'avons qu'à calculer à moins d'une unité le produit entre parenthèses. Nous l'effectuerons par la multiplication abrégée.
PROBLEMES DE GOSMOGIfAPHIE. 369
D = 206264 / à moins d'une longueur {, par défaut ; nous avons cherché le produit pour plus de sûreté à moins de 0,1. (N"* 205.)
Nous appelons Tattention du lecteur sur cette multiplication de
648000 par - , substituée à la division du même nombre par tt.
Dans la multiplication on n'a aucun égard aux trois zéros qui terminent 648000, si ce n'est pour poser l'opération; la division, au contraire, ne serait guère plus simple avec les zéros qu'avec d'autrès chiffres à leur place.
Le rayon terrestre, r, est vu du soleil sous un angle de 8''57; trouver â moins d!une unité la distance D du soleil à la terre, exprimée en rayons terrestres (8",57 parallaxe horizontale moyenne du soleil) .
Qf'57 - r. M't -. ^
-«^^An^if 1296000 r ^ ^ 1296000" = — --- — s= 2 ir D,
d'où
648000 .r /648000 X -\ D= —^-rz = I ^ Ir.
Ayant effectué le même produit 648000 x -que tout à l'heure,
TC
il nous le faut diviser par 8,57, et obtenir Je quotient k moins d'une unité. Ce quotient aura 5 chiffres , et le diviseur corn-
(*■) Le demi-grand axe de Torbite terrestre étant vu de rétoile la plus rapprochée sous un angle moindre que 1", il résulte de là que cette étoile o^i à une distance de la terre plus grande que 206264,7 fois ce demi -grand axe.
350 COURS O^AKlTHMÉTIQtJE.
mence par on 8 ; il suffira de connaître 6 chiffres du dividende , ou bien 7, pour avoir le quotient à moins de 0,^. On divisera donc 20626M par 8,57.
à moins d'une fois r.
Le demi-grand axe^ a, de V orbite terrestre est vu d*une étoile sous un angle de P''37, auiremeftt dit y la pçirailaxe annuelle d'une étoile est 0",37 {61' du Cygne) (*). Exprimer à moins d'une unité ta distance D de cette étoile à la terre {l'unité étant le demi -grand axe arfe l'orbite terrestre).
0",37 = fl, ou i" X 0,37 = a,- donc 1 '= -r^
=r2içO;rt?oii D =
C'est toujours le même produit 648000 X - à diviser par 0,37,
à moins d'une unité. Le quotient a.ura 6 cfaiflùres; il faut prendre le dividende avec 7, ou 8, pour plus de sûreté.
Ce que nous avons dit dans cet ouvrage au sujet des approxi-
(*) D*aprè8 M. Paye.
lABLES DE DENSllÈS, DILATATIONS, ETC. 3^1
mations suffit pour tous les cas où il s*agit d'une seule opération (addition, soustraction, etp.) effectuée sur des grandeurs approchées. Quand l'opération n'est pas simple , on procède par une série de considérations analogues à celles que nous avons employées dans le problème résolu n° ^20, pour arriver, par Tapplication des principes simples combinés, à trouver le résultat demandé avec l'approximation voulue.
EXERCICES
Afin de donner au lecteur Toccasion et la facilité de résoudre un certain nombre de questions analogues à celles que nous avons traitées , nous inscrivons ici quelques nombres utiles tirés , pour la plupart, du dernier annuaire du bureau des longitudes.
Nous indiquons d'abord quelques densités ou pesanteurs spécifiques principales.
L'unité de pesanteur spécifique pour les corps solides et liquides est celle de Teau distillée à 4« centigrades , et pour les gaz c'est celle de l'air à 0° et sous la pression atmosphérique de O^ylS.
Pesanteurs spécifiques.
Métaox.
Fer, 7,788.
Fer fondu, 7,200.
Acier nonécroui, 7,810.
Zinc, 7,19.
Plomb fondu, U,36.
Cuivre fondu , • 8,85.
Id, forgé, 8,95.
Llqnidei.
Eau distillée, 1,000. Mercure à 0. 13,598.
Alcool absolu, 0,792.
Éther, 0,715.
Lait, 1,03.
Eau de mer, 1,026.
Vin de Bordeaux , 0,994.
/d.de Bourgogne,0,995.
Huile d'olive, 0,915.
Pour établir une liaison entre les pesanteurs spécifiques des solides ou liquides et des gaz, il faut remarquer que, d'après les recherches les plus récentes, le poids de Vair atmosphérique sec k Paris, à la température 0» et soua
Métaux.
Mercure à 0«,
Argent fondu ,
Or forgé,
Or foiidu ,
Platine,
Platine laminé,
Gaz.
^ir.
l.OQO.
pxygène ,
lyUiogèiie , lydrog.carb.desm;
ar.0,555.
Chlore,
Azote ,
Acide carbonique.
Ammoniaque,
352 COURS d'arithmétique.
la pression de 0",76 est, à volume égal, — -— de celui de l'eau distillée ; d'où
il résulte que le poids d'un litre d'air est alors -rr^ = 1 &' 29afl87 (♦).
Par une moyenne entre un grand nombre de pesées , on a trouvé qu'à 0<* et sous la pression de 0™,76, le rapport du poids de l'air à celui du mercure est de 1 à 10513,5.
Dilatations linéaires qu'éprouvent diverses substances depuis le terme de la congélation de Veau y jusqu'à celui de son e'bullitioriy de O» à 100, d'après Laplace et Lavoisier.
Acier non trempé , 0,0010791. Ordedépart, 0,0014661.
Argent de coupelle , .0,0019097. Or au titredc Paris, 0,0015515.
Cuivre, 0,0017173. Platine, 0,0008565.
Cuivre jaune ou laiton, 0,001 8782. Plomb , 0,0028484.
• Élain de Falmouth , 0,0021730. Verye de St-Gobain, 0,0008009.
Fer doux forgé , 0,0012205, Flint-glass anglais , 0,00081 17.
Le mercure se dilate en volume, de 0*à 1000«, de 0,01801^ = 100«/5550.
L'eau de 0,0435= 1/23.
L'alcool de 0,1111 =1/9.
Tous les gaz de 0,366 r= 100/273.
Parallaxes anmielle» de quelques étoiles (d'après M. Faye).
a du Centaure, 0" 91 à 1/13 près. Arcturus, 0,13 incertaine.
61' du Cygne, 0,37 à 1/20 près. La Polaire, 0,11 à 1/10 près.
Sirius, 0,23 incertaine. La Chèvre, 0.05 ; très- incert.
a de la Lyre, 0",21 à 1/5 près.
Déterminer, en adoptant ces parallaxes, la distance de chaque étoile à la terre en rayons de l'orbite terrestre , et le temps que met la lumière à nous venir de chacune d'elles à raison de 77000 lieues de 4 kilom. par seconde, le rayon de l'orbite terrestre étant égal à 38000000 lieues.
(*) Nous avons pris dans le cours de l'ouvrage — comme exprimant le rapport du poids de l'air au poids de l'eau ; c'est le nombre que Ton trouve dans des traités de physique récents; on peut, si l'on veut, refaire les mêmes calculs
*ivec — -— - et 18r. 293187.
•ris. — Imprimé par E. Thonot et C, 20, rot lUclnt.
