ASSURA^C£$ SUR LA YIE ; TONTINES
plus petit que le rapport -^,-^.- , la cpiupagnie aura oioiosà Qpn-
ner. Aussi fait- on en France comme eu Angleterre.
Mais une compagnie a des frais de gestion , le soin de faire y^* loir Targent^ et par suite des risques à courir, toutes choses qui n'existent pas pour l'assuré lia solvabilité ûp la compagnie admise) ; celliç-ci doit donc se faire allouer une rémunératiqn et une compensation ; elle )e fait en stipulant qu'elle retiendra tant pour 100 de la somme que fournit le calcul , à chances égales , tel que nous venons de faire; elle reiieut ^5 p- 100, par exemple, et s'engage à donner seulement {es Q,&5 de cette somme {*).
On place 5000 /r. ^r Iq tête d^un enfant (iel am; combieri' la compagnie devra -t -elle pa}^er $'U pqnUnt d l'dge de 25 ans, sans bénéfice 9 le tai^x étanf 5 p. IQO par an.
5000 placés à intérêts composés pendant 18 ans prennent la valeur 5000 (l,05)'^ D'^rés Uepaccieux, sur ttl5 enfants de 7 ans, 774 atteignent 2i^,n^, et Ui meurent avant cet âge; le bénéfice
Ibl éventuel de la compagnie sera mesuré par les — : de la somme
qu'elle peut gagner, c'est-à-dire, par 5000;i,05)^' X ^r^r; le
même bénéflce éventuj^) ^pL^i açpprdé à l'ent^pt ^p sus de la somme de 5000 (1,05)^^ qui lui gsl apquisç pécps3^|reinent , s'il atteint 25 ans, cet enfant fievr.;| alor^ Ip^cjbe^ en toj^ ;
5000 (1,05)"+ 5000 (1,05," X^^ = ^"^"'^ff><^^^
C'est là le point de déport ppi^r 1^ calcul du béj^fêfic^ naturel de la compagnie et de lasoippie qu'ellç ^'engagf^ ^ p^y/^r ^ut^i^iutses statuts.
(*) Supposons une tontine formée ]^&x p^c association d'un certain pombre d'enfants nouveau-ncs; chacun laisse 1000 fr.,' saris rien toucher, entre les mains d'une compagnie, à condition que la totalité dé la somme placée et ses produits seront partagés entre ceux des assQciés qui attendront l'âge de 20 ans , déduction faite toutefois de )5 p. 100 de la valeur ^ partager at|.ribués à la compagnie pour frais de gestion, etc. La part de chaque survivant est justement ce qui est accordé à l'enfant du problème ci-dessus. La compensation de l'avantage que la compagnie accorde à cet enfant de le considérer comme faisant partie d'une telle association , tandis qu'il verse isolément, c'est la chance que cet enfant ne soit pas du nombre des survivants. (V. les tontines.)
340 COURS D*ABITHMÉTIQUE.
1000000 10000 On remarquera que les fractions telles que , ,
—=-, déduites de la table de mortalité que la compagnie adopte^
sont des multiplicateurs fixes qui dépendent uniquement des âges indiqués dans chaque opération. On conçoit donc que les compagnies puissent former à F avance des tables comprenant ces multiplicateurs; de même pour les rentes viagères qu'elles payent ou qu'elles reçoivent.
Une personne de 30 ans , par exemple^ peut placer sur sa pro-pre tête une somme déterminée , à condition que la compagnie lui payera une autre somme déterminée quand elle aura atteint 50 ans^ par exemple; la compagnie devant garder la somme déposée avec ses mtérêts^ si cette personne n'atteint pas l'âge de 50 ans.
415. Tontines. Les tontines sont des associations formées dans desconditionsquelesexemplessuivantsfontsuffisamment connaître. !•' CAS. 100 personnes âgées de 35 ans ont formé une tontine, c'est-à-dire^ qu* elles ont placé en commun chacune 6000 fr, avec cette condition que les survivants se partageront chaque année le revenu des 600000 /r.p/acé^, et que le capital sera'flcquis au dernier survivant. Le taux de Vintérét étant de 5 p. O/q, le revenu individuel sera à la fin de la V année, 300 fr, , s'il ne meurt aucun des associés durant ce temps-là» On demande au bout de combien de temps le revenu individuel sera doublé, triplé^ quadruplé, quintupléy etc, suivant la table de mortalité de Duvillard^ même question en se servant de la table de Deparcieux.
La question revient à celle-ci : Trouver à quel âge un certain nombre de personnes ayant en même temps 35 ans sera réduit à moitié, ou au tiers, ou au quart, ou au* cinquième. On ouvrira la table adoptée ; on y prendra le nombre qui est â côté de 35 ans; on le divisera successivement par 2, 3, 4, 5; on cherchera à quel âge correspond chacun des quotients ; on aura le temps cherché pour chaque cas ; avec les tables de Duvillard on trouve ainsi, à moins d'une unité, 26, 33^36,39; avec celle de Deparcieux on trouve 33, 39, 42, 44.
2* CAS. 64 personnes de 40 ans forment une tontine , et chacune met 8000 /r. à la masse; quand les associés auront 60 ans, ils se
PROBLÈMES SUR LKS DRNSITÉS. S&l
partageront le capital dont iU auront jusque^à touché les intérêts. On demande quelle sera la part probable de chaque survivant ?
Il suffît évidemment de chercher^ d'après la table choisie, combien de personnes de 40 ans sur 64 atteignent l'âge de 60 ans (n« 413), et de diviser le capital 80000 f'- X 60 = 4800000 fr. par le nombre trouvé.
3* CAS. 48 personnes de 40 ans mettent chacune 7000 fr» en commun ; ce fonds étant placé à intérêts composés et à Up. 0/q par an, les associés survivants se le partageront à Vàge de 60 ans; quelle sera la part probable de chacun ?
On détermine la valeur que prend le fonds commun TOOO^c- x 48 = 336000 fr. placé à intérêts composés pendant 20 ans; c'est 336000(1,04)'^; puis on cherche, d'après Ha table de mortalilé, combien de personnes de 40 ans sur 48 atteignent l'âge de 60 ans; on divise 336000(1,04)*^ par le nombre trouvé; le résultat obtenu est la part probable demandée.
Problèmes sur les densités ou pesanteurs spécifiques.
416. La densité du fer est 7,788; on demande à moins d^un centim. cube le volume d'une masse de fer pesant 15''*'-,520.
15»^"-,520 = 15520 grammes; 7 «'-,788 est le poids d'un centimètre cube de fer (Y. page 187). Le volume demandé se compose donc d'autant de centimètres cubes qu'il y a de fois W.ISS dans 15520 grammes.
On peut employer la méthode de division abrégée.
La densité du mercure est 13,598; quelle est la pression de l'air atmosphérique sur un mètre carré de surface sachant que cette pression équivaut à celle d'une colonne de mercure , qui^ s' appuyant sur la même base, aurait 760 millimètres de hauteur»
1 centimètre cube de mercure pèse 138r-,598; le mètre cube ::» 1000000 centimètres cubes pèse 13598000 grammes, ou 13598 kilog. Si la colonne de mercure avait un mètre de hauteur au-dessus de sa base de 1 mètre carré, ce serait un mètre cube de mercure ; mais n'ayant que 760 millim. de hauteur, elle équivaut
^U2 COURS D'ARli'BilÊtlQbE.
évidemment aux 760 mllliëhiesd'Drt ihèlre cubé, et pèse 13598'^" X 0,760 OUI 3598 K'X 76b.
La densité du zinc est 7,19; comhïen j^èse dans Vair un lingot de zinc pesant dans le vidé ^''•••jSSft , on demande le poids à un gramme près. [f^. page 187).
Il pèsera 2i^i>-,520 moins le poids d'un voluhie d'air égal aa tien; il faut trouver son volumb.
La densité dd zinc e^t 7,19, cela veut dire qu'un centimètre cube de zinc pèse dans le vide 7Kr ,19 ; 11 y aura autàbt dé centimètres cubes dans la masse de zinc qu'il y a de fois 7K'*- ,i9 dans 25208'- ; ce vo-
lume est donc -- — - ceotim. cubes. Chaque ceniimèire cube d*alr
pèSë 0?S001298701. [V. page l87). Le poids de l'air déplacé sera
donc — ' --: ; on évaluera ce quotient à moins
de 0,1 par la méthode abrégée, et ôh retranchera lé résultat de
2520er- • le reste sera le poids demandé du lingot de zinc dans Tair.
^ la pression de 760 ràiltimêïres et à là temjpérature de 0% si on prend la densité de Cair sec pour unité , on trouve pour densité des gaz suivants: oxygène \ A051 \^azoïe 0i9720 ; hydrogène 0,ob91 ; chlore 2,570. On demande le poids d'un litre de ces différents gaz à 0,001 gramme près.
La densité d'un ftaz, quand celle de Tâir sée e^t prise pobr unité; est lé rai)port du pdidâ U'îiii volutitë ^déldoùqOe de ce corps au poids d'un égal volume d'air sec.
D'après cette définition, si on appelle p le poids d'un litre d'oxygène, sachant que Je litre d'air pèsi^ igi*-, 298701 ; on en conclut p : 1,298701= 1,1057, d'où/>== lg'>298701 X 1,1057. Le même raisonhèhietit peut ëtté tait )^'6û les autrëk gaz.
Un obtiendra les poidé dêâiândés avec Tapproximàiion voulue, eH effôdtuâbt lèâ iiiulti^libàlions abrégées 4uè nous allons poser.
chlore.
Hydrogène.
Azote.
Oxygène.
La densité du mercure étant i3,59ë, et celle du fer forgé 9e
