CAS. Soit à diviser 547648 par
DIVISIOPT. 29
Reste. , . . 148
On prend sur la gauche du dividende assez de chiffres paur avoir un nombre qui contienne le diviseur au moins une fois et moins de dix fois ; le nombre ainsi séparé est 5476 ; on divise 5476 par 876 (règle du â^ cas)*, le quotient de cette division est 6. Cette division nous apprend que 5476 est compris entre 876 X 6 et 876 X 7.
876 X 6 étant contenu dans 5476, 876 x 600 est contenu dans 547600, et, à plus forte raison, dans 547648 ; le dividende 547648 contenant 600 fois le diviseur, le quotient cherché vaut au moins
876 X 7 étant plus grand que 5476 , est au moins égal à 5477 ; 876 X 700 est donc au moins égal à 547700, et par suite, plus grand que 547648 ; le dividende 547648 ne contenant pas 700 fois le diviseur 876 , le quotient cherché est moindre que 700.
Ce quotient étant compris entre 600 et 700, se compose de 6 centaines, plus un certain nombre de dizaines et un certain nombre d'unités, chacun moindre que dix, qui nous restent à trouver. Pour cela, remarquant que le dividende contient les produits du diviseur 876, par les six centaines, les dizaines et les unités, plus peut-être un reste moindre que le diviseur ; nous simplifierons en diminuant le dividende de la première partie, 876 X 6 centaines ::=? 5256 centaines. Ces centaines se retranchent directement des 5476 centaines du dividende ; on a ainsi pour reste 220 centaines qui, jointes aux 48 unités restées à part dans le dividende, composent un reste total 22048. Ce reste 22048 contient encore d'après ce qui- précède, les produits du diviseur 676 par
|0 CO^ftd ft^AiltVHÊTIQUË.
les dizaines et les anités du qootiafft, plus peut-étrefiift nombre moindre que le diviseur.
Le prodoit de 876 par les disaines du quotient ^ nombre exact de dizaines terminé par un zéro, est tout entier contenu dans les 220/i dizaines du reste ; abstraction faite d'un zéro de part et d'autre, le produit du diviseur p^r \e chiffre des dizaines du quotient est donc contenu dans 2%Qk* On est ainsi conduit à diviser 220/1 par 876 (*). Cette division, qui rentre dans le 2'» cas , donne le quotient 2. Par un raisonnement semblable à celui qui a été fait après la division de 5476 par 876 , on prouve facilement que 2 est exactement le chifif^e des dizaines du quotient cherché. On écrit ce chiffré sous le diviseur, à droite du chiffre 6 des centaines ûé^ trovvé ; puis, multipliant 876 par 2 diiaines, on retranche le ppodolt du dividende | 816 x 9 dizaines s 1752 diiaines. Ces 1752 diiaines se retranchent directement des fiS04 diiaines ée 98048 1 il reste 452 dizaines qui , jointes aux 8 unités restée! à papt , composent un V reste 4528. Gomme on a retranché suoeeisivement du dividende le produit du diviseur par les centaines et les diiaines eu quotient , le reste 4528 ne eontlent pins que le produit du diviseur par les unités, plus peut-être un reste motndre que le diviseur. La chiffire des unités qui nous reste à trouver est donc le plus grand nombre de fois que 4528 contient le diviseur 896 ; on obtiendra dono oe dernier ehiffire en divisant 4528 par 876, toujours d'après la règle du T eas. On trouve ainsi le quotient 5 , que l'on met à la droite du nombre 62 , déj4 éerftt ^u quotient de la division principale. Le quotient de cette division de 547648 par 876 est maintenant connu; c'est 625. En formant le produit de 876 par 5. et retranchant oe produit 4880 de 4528, nous aurons pour reste F excès du dividende 547648 sur le prodirît de 870 par le quotient 625. Ce reste 448 est le reste final, 'ou simplement le reste de la division de 547648 par 876.
Du raisonnement que nous venons de faire , on déduit (àcitemept une règle générale pour effectuer la division de deux nombres enliers.
D A oàté des 220 eentaines, on a tout à l'heure abaissé 48. U raiaonuQmeiit eç^el nous conduit i séparer sur la droite de 2904# les uultés d'ordre inférieur Qux dizaines ; on n'emploie donc dans la 2* division que l'un des chiffres que Ton vient d'abaisser. Aussi dans la pratique n'abaisse-t-on qu'un seul chflfre k droite de 220. (V. la Règle.)
AU9^M TôiMikMer» maDlioniion^ unt Mmaïqtte t|i|*oKi a pu faire.
Q» Oilitieat lonûotti» h resté corf espondaot à un ehiffre da quotient que l'OB coDstdère , en retrancbant le produit du diviseur par ce chiffre , du dividende partiel qui a fourni ce c|iiffre , et abaissant à la droite du reste les chiffres non employés du dividende pria-
cipal.
RÈGLE. Pour diviser deux nombres entiers, quand U dividende vmrt 0U moins dim foù ie divissur, om sépëre, sur la gstueke du dividende, assez de chiffres pêur avoir un mmkps qui contienne, au moins une fois et moins de dix fois, le diviseur ^ on divise le nombre séparé d gauche par le ditiieur, diaprés la règle du deuxième cas, et on écrit le chiffre fourni pcir celés division à la place marquée pour le quotient que Von cherche ^ c*est le chiffre des plus hautes unités du quotient. On multipKe le diviseur par ce chiffre, et on retranche le produit du dividende partiel employé ,* à droite du Tsste, on abaisse Is premier chiffre qui suie ee dividende partiel dans le dividende principal , puis on divise le nombre ainsi formé pmr Is diviseur*, le chiffre qui résulte de eette division s* écrit â la érûiês du premier chiffre d^é écrit au quoêietii ; on mullipHe le diviseur parce deuxième chiffre, puis on retranche ce produit du second dividende partiel; â droite du reste, on abaisse le chiffre du dividende principal qui vient çtprés le premier chiffre abaissé, et on a un troisième dividende partiel que ron divise par le diviseur^ on continue d^ la rr^n^e manière jusqu'à cç qH'on oit oboistii et employé toMs tes chiffras du dividei^de principçù*
S'il arrivait q^'un divi^eode partiel ne contînt pas le diviseur, &çst que le (fmtiç^t ne contiendrait pas d'\{nHé$ de i'(kr4re 4h ier- . X^ier çhiffrç afiai^^ié {*}\ on mçtlroi( w zéro au qttoti^nt^ ^ cofitiidérant le dividende partiel comn^ un fe^e , ot^ akttissp'oit à sa droite le chiffre suivant du dividende principal pour continuer la divi^iç^.
Chaque reste doit être mçi^dre que le diviseur, puisque chaque chiffre écrit au quotient doit exprimer le plus grand nombre
(*) Cela résujte du raisonnement; s'il y avait seulement une unité 4e cet 0p;4fe, Ije^ividendepartlel contiendrait ^u moins le produit du diviseur par 1, c^Bt-à-dire contiendrait le diviseur (page 30).
32 COURS D'/kmXHHËTIQUfi.
Siùn r^ste était plus grand qm le diviseur, le dividende conti^ii^ drait le diviseur au moins une fois de plus qu'on ne l'a marqué^ le chiffre écrit en dernier lieu au quotient serait trop faible au moins d'une unité ^ il faudrait Vaugm^enter^ et vérifier le nouveau chiffre.
Ces remarques sont des conséquences évidentes du raisonne* ment général.
. Voici l'opération exécutée d'après la règle et avec la simplifi* cation d'écriture indiquée dans le n» 33 â
35. On peut simplifier la division dans le cas où le diviseur n'a qu^un chiffre et le dividende plusieurs.
Cette simplification consiste à n'écrire ni lesTestes ni les dividendes partiels successifs. Nous allons expliquer sur un exemple la marche à suivre.
En 37 il y a 4 fois 8 et un reste 5 qui, suivi du 8 , forme un 2« dividende partiel, 58 ; en 58 il y a 7 fois 8 et 2 de reste , qui, avec le 5 suivant y forme 25 ; en 25 il y a 3 fois 8 et 1 de reste qui avec le 3 suivant forme 13 ; en 13 il y a 1 fois 8 et 5 de reste. Les quotients partiels 4, 7, 3, 1 ayant été écrits les uns à la droite des autres , on trouve le quotient 4731, et le reste 5.
Utilité d'une table des neuf premiers multiples
DU diviseur.
36. Si le quotient d*une division doit avoir un grand nombre de chiffres, il est commode d^avoir à sa disposition le tableau des
W^"^» ^M^^"^-^ "'^^ Premiers mmï>^^;^^\^^^^^ ., .9. Ce tableau se forme par de simples additions; oij^^Jpfijtja Iç ^yjij
t>ITlSIO!l. 33
senr h iQi-niêiiie , pois le difisenr à cette première somioe, pds le (ttriseur à la seconde somme » et ainsi de suite , jusqu'à ce qn*on ait une somme égale à neuf fois le diviseur. On a ainsi les multiples du dlTlsenr par 1, 2, 3, 4* .. 9. ^
Ayant ce tableau devant les yeux , on connaît immédiatement chaque chiffre du quotient à la seule inspection du (Uvidende partiel qui doit le fournir; car on voit quel est le plus grand multiple du diviseur contenu dans ce dividende partiel. Connaissant sans calcul chaque chiffre du quotient et le produit du diviseur par ce chiffre , au lieu d'une division du 2* cas, d'une multiplication et d'une soustraction^ on a tout simplement une soustraction à faire.
Le tableau susdit simplifie donc beaucoup la division quand le quotient doit avoir beaucoup de chiffres.
Voici un exemple :
52ft&
U9Uh &370
50ft2 &370
L'explication de cette opération est ttop simple pour que nous nous y arrêtions.
â4 COURS JDUHTOIMÉTIQtJË.
F^iES)^!^ Bl^ U^ Wfwm Wf: s» ht uvîmaummiaisfi
37. On fait la preuve de la divisloQ ea multipliai 1q âMMnr p«à* te «ROlifl)^ â ]|9îi aimi»Qt le ro$t<e m pcorioU ^ le tésultat éott être A|^t«Qif Dt ^al au dividende.
Oft Ei^9t foire la preuve d'pna sudkiiplifiation es diirliaot It prd;^dllU PdP l'un dds fafitttws } aa doié trouirai pour qootimi TauÉiè fïcteqr.ft^s reste.
i$â« (^«^fis de h division. Poar savoir bien vee^naaitre €Uos 1» ppatiqoe les easoàU division doit s'appliquer, tt faiil naturelle' •i0Bt l^'^tladiec à bieni eanpr«ndre sa déiipitiâii* La (Mvision a pour objet, étant donnés deuxBombrea, Vmi dJ^polé di$idend^ ^ l-Milre diviseur y d'en trouver un 3'' nommé quotient ^ qui, mutypliant le diviseur ou multiplié par le diviseur^ reproduise le dividende. Partant de là : 1° si on considère lcgiM»tieflt eôiBttïe multipliant le diviseur, on peut dire : fàvre eu division^ c'est chèfH^er combien de fois un nombre, le diviseur ^ est contenu dans un {Cfy^tjce^ le dividende,
2° Si on considère , au contraire , le quotie^^ comme multiplié par le divi^fs^r^ pa peut dire : faire une division^ c'est chercher un nombrg ^4 SOit Contenu dans le dividende tmtBnt de fois qu'il y a d'unités 498^ h diviseur.
Ou bieib ^ dividi^de se compose d'autan^ ^ parties égales au quotient q^^k y a d[w^ités dans le diviseur.
39. Ceg\ ï^\en cqfnpris , on reconnaîtra iaeilement que la division doit #^f fen)pU)yée dans les cas suivants, entre autres :
1» On ctw^lt le ^rix d'un objet ; co mbien ^ura-t-on de ces objets pour HUA ^omipe fixée? £x : Le i§^^ d'une étoffe coûte 20 fr. ; combien aura-t-on de mètres pom %$0 fr. ?
R. Évidemment autant de mètres qu^H y a de fois 20 fr. dans 600 fr. On divisera 600 fr. par 20 ; (38, Tj!
2'' Pour une somme donnée on a eu un nombre connu d'objets; combien coûte un objet? Ex. : Pour 6(U>.fr^ 6n a eu 30 mètres d'en tofife ; combien coûte le mètre ? . i
600 fr. se composent de 30 fois le pyij du mètre ; ilfatit 'trdtfver le nombre qui est contenu 30 fois dans 600 ^ on divisera lâionc e^çp^;e 600 par 30 ; (38, 2p).
i° La division sert à partager un nombre don^4 ^ Wfdlfti de
parties égales qu\l y a d^ unités dans un autre nombre donné, Ex. : Partager également 40 fr. entre 5 personnes; il fant trouver la part de chaque personne ; il y a 5 paris égales à celle-là dans hO fr. Le nombre cherché étant contenu 5 fois dans /iO , on le trouvera en divisant UO par 5 ; (38, 2«),
Noos ferons remarquer ce demief usage de la division.
C'est à ce poin( de m^ g^'op ^ 4û primitivement envisager cette opération; car son nom môme, division^ signifie par/a^e; dividende, qui doit être partagé i diviseur^ qui divise ou partage.
60. Quelqu'un a 2596 fr. de revenu. Combien peut^il dépenser par jour Tun dans raifCw, td nàttani êe 6èté ISÛO fr. fnr aD> (L^aimëa ui ik Hs Jours.) Rép. 3 fr.
Un particulier qui a 6000 fr. de revenu doit une somme de 23500 fr. , qu'il est convenu d'acquitter en dix payements égaux, d*année en année. Ses engagements remplis chaque année, combien lui restera-t-ii à dépenser par jour? Rép, 10 fr.
Un ouvrier a reçu pour un ouvrage qu'il a fait en 8 jours, en travaillant 9 featffei^ttr jour, «m loaHMt dt tôt tçûmi fombien obfl^« heur» de travail
lui «^t^lÇ <Uë n^f IWf^ I ^
Beux 6«iBvoi8 partent m wên^e teqips dfi ParU ^ St(9^pi|j:g ; l'un fait \^ KilPr mètres à l'heure; l*autre en fait ^7 -j la distance des (leux yilles^ par le chemin de fer, est de 500 iLilomètres ; après combien d'heures les deux convois se rcn-
U» coft^fj^ «e îUpro^Qnl 4^ 19i HHogEi^ei par Jmwift, e\ Mpt an défait dl^lapt» de âOQ miomé^tro^p donc , etc. if(f|^. ^ l^eqres.
Combien y a-t-U d^ minutes ei d'heures dans 548342 secondes? Rép. 15^ tl* 19 m. 2 s.
Lt circonféreiioe-dek terre ôompreffanf 860' degrés , et chaquff degré Î5 lieues, eMObia» fwMhnnWil àt lempa pauc Mta H t#u> de |a tena à un boom» ^i (frait , 9ana s'fur^tfir, ¥l»^ ^me: paf j^p^ ?. ^é^* a.tj^ jovif a*
La di«t^acQ 4u {^oleD. ^ |^ ^err^ ^ ii im\ r^P"s ^rc^^tros ^e ^3A06.Qa mètres chacun j comhîçn faudrait- \\ de tepips au son qui parcourt 340 mètres par seconde pour parvenir du soteil k br terre > Rép. ôîDSi»*!^ Sim 49».
En 1846 la population entière de la France était d« »i4PM7^1 itobitsnto) M 9U]^î9^e esUe âîî^ IsMojjo^Iffip e(i$fé%jrq$«fit^n ï H-«i^ «5iQye«n^^»^ «^habttai^ts par li^UQpiètre cappq? Jjlç'j;^. 67,
En 1850 il s'est consommé à Paris 5374347000 grammes d^ sel; la populatloTi étant de 1053897 habitants; combien de grammes de sel ont été moyennement consommés par ehaqit» hahltaiit ? Rép, 5099.
if\Ui 'i ih w; /'• •'.
couBs d'arithmétique.
