THÉORÈMES RELATIFS A LA MULTIPUCATION
42. Thêobèus I. On multiplie une somme par un nombre en multipliant chacune de ses parties par ce nombre et additionnant eneuite les produits partiels.
Ex. : Soit à multiplier 5 + 9 + 8 par &.
Ce produit est la somme des nombres du tableau suivant
Cette somme se compose évidemment de 5 répété & fols , ou 5 X & y plus 9 X & , plus 8X4; donc
De régaUté (1), en changeant l'ordre des facteurs (26), on déduit :
Belà un théorème facile à énoncer.
43.'TB£onÈMfi u. On multiplie la différence de det^x nombres par un troisième y en multipliant les deux nombres par ce trgi- Métum eif^ranekant le plus petit prodyàt du plusgfofhd^. ^
JEx.r80 ♦-^^a ><P 12j U^'^t de aéflioatrfir q^e, ,..«. ^ >\ \v^
pùiBr|u« »d ^ i^èk i2;m^tse \S^l2^û*Mi 0af appUHIitidty du théorème I, on déduit 30 x 5 = 18 x 5 -i- 12 x 5.]
44.D6FiifiT]teiN( Oa BoUnde pMMK tl6 pluftietiM BondmSjf du de, faneurs /aoM^, le jlrochfît qu'on ^Mteal en nuiUîpUiiiit'k) premier de ces nombres p«r 1« Htmà ) le firo^uil ^oàa p«if lô lnMfiîè»e poiotara 4 le Miiyea«i pnKluii pnr te <)aaMèiQe minbNi I et idnsi itf miifte juiqu'à 00 q^^'ett iiH «oiytoyé toiM I0» fiH>» teurs.
45. THÉORÈME III. Dans un produit d'un nombre quelconque de facteurs , on pmt intervertir fordr$ éten faoHwf^ 4'nne manière quelconque sans changer le produit.
(^ La Démonstration de oe théorèfdë (éiiAiilnental > ^^ CtiUAi , û* ^6 3 f^ôtir ùtu\ foeteuFs, se co&iposera de troit partie»
i"" Un produit de trois facteurs ne chdUgn paê ^à«nd eil int&r** vertit V ordre des deux dermePi fac^eurst
Ex. : S X 5 X i = Sf X à X i
En effet ,9x5 = 94-9+9 + 9+9. Écrivons cette somme h fois comme^ il est indiqué qi-dessoiis :
9+9+9+9+9 9 + 9 + 9+ 9 + âf
Là somitie d^ éoiiibref d'4iiie çoIobbq ber^lodUte est $ fois 9 ou 9 X 5. Il y a quatre colonnes horizontales; la somme des nôffib^ de toel le i^\Mnk m fl8hé ë^m i 9 -^ ^ réfuté â f9i&, c'est-à-dire, à 9 x 5 x ^. Mais si, d'un autre côté, on additidnltë par coloncies verticales ^ on trouve (}^ns eJEiaqu^ col^nç verticale Ix fois 9 ou 9 X ^ ; il y a cinq colonnes verticales; la somme des nombres du tableau est donc ainsi égaM ^9 Kàf i<pét6 f^foÉfl, c'eât-à^lre « 9 x ^ x 5 ) Aonè
y Dans un produit tfèr ptUsiJêUitÈ fû&têwri; ait péuttrttirifefHir Vori/rt die dm^ç facteur» imniicutif$ fiêdco^ftcisi
jpi. 1 09m le #ro4iit ?i?<«:^«x5Xfeyf«»î«i 23, on peut iotenrerlir i^NPdte doB facteun 5 «t a ; idfisi ;
#tetis pouvons laisser de c&lé les facteurs qui , de part et (Tautre^ viètifaëiii à[)fëS 5 ei S, et h&us ^bruer i déiiiontrer inégalité,
En effet , si ces deux derniers produits sont reconnus égaux , les deux produite [i]; ^u^od bUtiëhi en mùitipliant ceux-ci par les mêmes facteurs, 19 K 23, seiDnl tfridci&œelit égaux.
Occupons-nous donc des produits (2) ; ils commencent tous deux par 7 X 3 X 6 ; eflfettdbfrs té ^dduîi : ^ k ^ x 6 = li^8.
Donc, 7x3x6x5x4 =; 15ft X t :>Kh;
et 7X3X6X4X5 = 426 x4k 6.
Démontrer Végalité (2) revient donc à démontrer celler-ci : (8) 126 i< 3 J^e 4iiilî!6 >< a k 3.
Or, cette égaUté est vraie d'attt'ès !•; dbd» régailtë (9) m vraie ^ et par ftuite , IJégalilé (1) ; on peut dofac intervertit^ Torëre de deux facteurs eMaéoutifs iptMoonqiies:
S"" Dans un produit d'un nék^lre (fU0ttMipie de jftl&téfUH ; M pei/^ inkrv0rtir d'une manière ^uettèn^iM V&tdrt dei fUcfètêrsi
Sft eflël ) cteflger l'ordre éeé iictéiirb A'nti produit abflM devient \09t(mT% à laeKtti.iin fâdtar «KM^flé èê ^ pfdddit It là ^hemière place , un antre également désigné à la seconde plà'ëS; elfe 0», een^drafit dtn^ 1^ !«' ))rodiiit te fiiètdlF^defllIfnë i»hf dbfiuimr la ^feBiière plaee 4tel te secobd^ on p«m H'atifO^d !« fàffS changer de place avec le facteur qui le précède immédiatëDSKVti, p^ te foire >ebftof er (ivee Iob 0€Pihre«a! f oiitâ de gflill^e ^ 6t Sitisi de suite juaqu'à ce qn'ii «pil anrhfé à la (rremtèrQ 1${&c|ii DMi nl> pFodaUidinsi dU^daé.^ m ohcrdhera.dft li^m te fatfâutas^flgW^ pour occuper définitivement la seconde place, et on Ty fëfttUM^v<t^ 49^ll»A9iâîo^ manièse ; ainsi de aaîfe. Tous les facteurs pourront être successivem^fttvafliei^s à iew» place» désignées^
49 ^ou(^I^AS.D'ARlTaM£i;iQIIB.
46. Th£orèii£ IY. Pqwt multiplier un nombre par un produit de plusieurs facteurs, on peut multiplier ce nombre par le premier facteur, le produit obtenu par le secofid facteur y et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les facteurs aient été employés.
£x. : 60 = 3 X 4 X 5. Multiplier 37 par 60 revient à multiplier 37 par 3 , puis le produit obtenu par U, et enfin ce deuxième pro? duit par 5, ce qu'on exprime ainsi : j
En effet: 37x60 = 60x37=3 X4 x 5X37.
Mais 3X4x5x37 = 37x3x4x5.
Donc 37 X 60 = 37 X 3 X 4X 5.
Ce qu'il fallait démontrer.
47. Corollaire L On multiplie ou divise un produit par un nombre en multipliant ou divisant tm de ses facteurs par le nombre.
Ex. : 21 =7 X 3. 19 X 21 =i: 19 X 7 X 3. (Théor. IV.)
Le produit de 19 par 21 est donc trois fois plus grand que celui de 19 X 1, ou si l'on veut , le produit de 19 par 7 est 3 fois plus petit que celui de 19 par 21.
48. Corollaire II. Pour multiplier deux produits l*un par F autre, il suffit de former un produit unique avec les facteurs du multiplicande et ceux du multiplicateur.
Ex. : (9x7x8)X(18xl3x5)=9x7x8 X 18x13x5.
Cette égalité résulte de la définition^ (44) ^et du théorème I V^ ii« 46 . Ce corollaire s'étend évidemment à la multiplication de plusieurs . produits.
49. Corollaire III. Dans un produit de plusieurs ftu^eurs^f on peut remplacer un nombre qwlconque de facteurs par leur produii^ effectué. : ^ • '
En effet , on peut d'abord rendre ces facteurs con^cutils et ieor. donner les premières places; alors ils peuvent évidemment <^e remplacés par leur produit que l'on met ensuite à la' place que l'on veut. ' ' ■- : --"•'
PRINaFE^ RBliAnii^' A EA: ItttiSlON. Kl
jéppUcations, , , ^-v
50. i*" MaltipllcatioD de deux nombres terminés par des zéros.
Ex. : 84000 X 7600.
S&OOO X 7600 = 84 X 1000 X 76 X 100 = 84 X 76 X 1000 X
On multipliera 84 par 76 et on fera suivre le produit de 3 -f- 2 ou 5 zéros. D*oti la règle indiquée n*" 25.
51.2^11 y a quelquefois dans un produit des facteurs ffoïf groupés et multipliés ^ donnent pour produit un nombre par lequel la multiplication est très-facile ; alors il y a avantage évident à remplacer ces facteurs par leur produit eifectné.
2x5:^10;4x25 = 100;le produit donné équivaut à 247 X 19x10X100.
Il sera plus court de multiplier 379 par 900.
En général , quand on a 2 ou 3 facteurs d*un seul chiffre , il est plus simple de les multiplier entre eux pour employer leur produit à leur place.
PRINCIPES REtATirS A LA DIVISION.
SS. En multipliant ou en divisant par un même nombre les deux termes d'une division qui se fait sans reste, on ne change pas le quotient.
Ainsi; supposons que 120 : 12 = 10. Je dis que si Ton divise 120 X 3 par i2 X 3, le quotient sera encore 10.
En effet, par définition, nous avons 120 = 12 x 10 ; d'où 120 x 3 ^12XfOx8 = (12x3) xlO.
Égalité qui démontre ce qu'on a avancé; car elle équivaut i, ,
