CHAPITRE II
DE8 FRAGTIONS mtem ALBS.
1(M La simplicité du calcul des nombres entiers est due à
i^^ M fpB^SffleïlfaJe : Iff unifé^ r^jjnréjentées f^qr Ita différents f*»i?^« fm wmpVtf iH 4( ir«Wfft.Ç 4 ^rojfe, sonf de (fix fndix fois Blm Pttiff^ f^ Vm m ^« Wfr^f P? P?ryient à rendre le calcu} 4§§ frilf ligp? ^8??} çjrpDle cj^fi çe|fl} 4es npipbres pi}tiers^ pn étendanty sans interruption 5 au delà de Tunité, cette loi de flécroissèment.
166. On çfffif^^^e f!Opcl}f$ij?eji\efit ^f§ sprh'e^ ^e runilé dix fois moindres que celle-ci , et, à partir delà inclusivement ^ des parties * Imité 4e (fùf c^ fii^ foi^fllif petites les unes ^ue les (nôtres; C^J Pfirtl^s çopt p^H^S Qg'oi) a nommées les parties décimales de
mU:
1^9 P^rfiçS dépig)^le$ ^e l'upif.é sont les dixièmes, |es centièmes,
jesçffM^W» ÇfPH général le^papties .d'unité dontruffe peut
s'écrire ainsi : -rr-- .
1*9» PJlFtîps 4^0B}a|e? prespeçt le Bpuj 4'tf»i<(^? décimales de divers ordres ; les dixièmes sont les unités décimales du 1*' oràff-^ 1(B| iirti|^(??^| cajles (l{4 ?• 9rrfr« , pfc. ..
W Wf^ire d^ci^l e;^ un nombre compqsfé (jp p^rt|e^ déciwale« , «M <}\IM) wnibrfi içntier apcoippagné i}p par^gs dépifRjiieç.
Ex. : 367 millièmes; ^9 uni^^^, 59 pentièfnç^.
On appelle aussi fraction décimale un assem})(^e quelconque de parties décimal^;(.
Vit. : 367 millièmes.
P|f pQiQpirsUson avec les fractions ordinaires ^ od peut dire : Une fraction décimale est une fraction qui a pour iinonm^teur
112 GOuits d'arithmétique.
Punité tuivie iPun certain nombre de zéros, autrement dit , une puissance de 10.
167. Dix unités d'un ordre décimal quelconque en composent une de l'ordre immédiatement supérieur. Il résalte de là que tout nombre décimal est la somme de plusieurs parties dont chacune se compose d'un certain nombre d'unités d'un certain ordre , en nombre moindre que dix (3) .
Eu égard à cette composition des nombres décimaux, et à la loi continue de décroissement des unités entières et décimales, on a pu facilement étendre aux nombres décimaux les conventions de la numération écrite; voici, à leur sujet, le complément de cette numération.
Manière d'écrire les nombres décimaux.
168. Pour écrire un nombre décimal, on écrit d'abord le nom" bre entier qu'il contient ,* puis à la droite de ce nombre entier, une virgule; à la droite de cette virgule y un chiffre représentant le nombre des dixièmes ; puis le chiffre des centièmes ^ puis le chiffre des millièmes y et ainsi de suite, de gauche à droite^ et par ordre, jusqu'aux plus petites unités^décimales. Lorsqu'il n'y a pas d'unités entières, on met un zéro pour en tenir la place; d la droite de ce zéro , la virgule ; puis les unités décimales comme il vient d^être dit.
S'il manque des unités décimales j d'un ordre quelconque, supérieures aux plus petites^ on fait tenir la phce de chaque ordre manquant par un zéro , de manière à donner aux autres chiffres la place qui convient à leur valeur.
476 4 7 6 Ex. : 57 + — i- = 57 + ~ -J 1 (*).0n écrit 57,476.
" ' *" ~ jQoO ^ 10 ' 100 ^ 1000^ ;.vucwn,u ,*♦!
(*) — := h H =■ + , de même pour les
fractions décimales suivantes.
NUMÊRiLTIOlt OSS FRACTIONS DÉCIMALES. 113
bSk & S & jL
= 77; + ITTÂ + ît::::;* Ecrlva 0,48&. Soit encore 57 -h
= 57 + .-rrrr + .^^^^ . Il n'y a ni dixièmes ni centièmes.
Écrives 57,0058.
11 y a trois manières de lire un nombre décimal écrit on d'énoncer un nombre décimal que Ton a dans l'Idée.
1** MANiÈBB. On énonce V entier iP abord y puie Mueeessivement y et iane V ordre décroissant, le$ dixièmes ^ les centièmes ^ les millièmes, etc. Ex. t &67 unités^ U dixièmes^ 7 centièmes, 6 millièmes.
Pour écrire un nombre dédmal dicté de cette manière , on suit littéralement la règle précédente ; Ml, &76.
2*ifAiviÈBB (c'est la plos usitée). On énonce l'entier d^ abord j puis F ensemble des parties décimales ^ comme uns seule fraction ordinaire composée de parties de la plus petite espèce décimale.
Ex. : ^67 unités, &76 millièmes.
Pour écrire un nombre dédmal ainsi dicté, on écrit d* abord rentier y à droite y une virfpule -, puis , à droite de la virgule y le nombre des unités décimales y comme un nombre entier ordinaire ; 467, 476. Mais il faut avoir égard à la remarque suivante : // est indispensable que le dernier chiffre du nombre écrit à droite de la virgule, occupe la place qui convient aux unités décimales de l'espèce énoncée ; si le nombre n'avait pas assez de chiffres pour cela y on placerait entre ItU et la virgule un nombre suffisant de^ zéros. Ex. : 67 unités, 56 dix millièmes; 57,0056.
S"* MANIÈRE. On énonce tout le nombre dédmtU comme un seul nombre fractionnaire composé de parties décimales de la plus peiite espèce. Ex. : 467476 millièmes.
Pour écrire un nombre dicté de cette manière , on écrit le nombre énoncé comme un nombre entier ) puis on sépare sur la droite , par une virgule, assez de chiffres pour que le dernier y à droite y occupe la place des unités décimales nommées. Ainsi, dans l'exemple cité^ on écrira d'abord 467476 ; puis avec une virgule , 467,476.
SI le nombre entier écrit d'abord n'avait pas autant de chiffres qu'il en faut séparer d'après cette règle, on compléterait par un ou plusieurs zéros écrits k gauche de ce nombre entier ; on pla-
au COURS D'ARITHMÉTIQUE.
cerait une virgule à gauche 4e ces zéros ^ puis à la gauche de la virgule 9 un zéro pour tenir la place des ufaités eutièreb. £x. : 78 dix-millièmes, écrivez 0,0078.
La lecture de Tégalité suivante résume et démontre tout oe qiie nous venons de dire.
De ces égalités on conclût encore la règle suif ante :
169. Pour passer de l'écriture abrégée d'un nombre décimai û In forme d'un nombre fractionnaire ordinaire , on supprime iû 7 irgule^ puis on donne au nombre résultant pour dénominateur i unité suivie d'autant de zéros quHt y a de chiffres après ta tw^Ule dans le nombre décimai donnéi
170. On considère deux valeurs pour iiil chlffi^ d'tlti HODlfire (iédmal, i^ava^r absolue et sa valeur ¥elatif>è. Qès déDomHiations ont exactement le même sens que pour les diiffres d'un nombre entier. La valeur relative â*uii chiffre dans im nombre décimal dépend uirïquement éa rang qu'il occupe à gauche ott à droite ù^ la virgule. On peut déduire de là diverses conséquences.
171. En déplaçant la virgule pour la porter vers la droite ou terk la gauche^ dans un nohibre décimai ^ ontkMipiiéou on d(^ vUe le nombre proposé par Vunité suivie li'oiitant de zéros qu'on a fait parcourir de rangs à la virgule.
Soit par exemple 5^81,368. En avançant la virgule de djeiix rangs vers la droite, nous obtiendrons le nombre ô/idiSô^S, cent fois plus grand que 5^81,368. Eh la reculant de trois rangs , nous aurons le nombre 5^4813689 mille fois plus petit que le nombre donné 5/i81,368. Par le premier changement , chaque chiffre de 5^81,368 a acquis une valeur relative cent fdis plus. grande; c'est ce qu'il est facile de vérifier en comparant 6631^368 et 548156,8, chiffre à chiffre y de droite à gauche
Remarque analogue pour le deuxième changement.
172. Un nombre dévimal ne change pas quand on ajoute ou supprime sur sa droite u>n wimbre qwoltonque de e^os.
Ex. : 19,237 = 19,23700.
En ofitet, dans le deuxième nombre ^ chaque chiffre ayant par rapport à la virgule le même rang que dans le premier, a conservé la même valeur relative. Le 7, par exemple, qui exprimait des
